复数的向量表示(一)教案示例

复数的向量表示 ( 一) ·教课设计示例
目的要求
1．掌握复数的几何表示法，理解复平面、实轴、虚轴等观点的意义．2．理解共轭复数的观点，认识共轭复数的几个简单性质．
内容剖析
1．如图 5－ 1，复数的几何表示就是指用复平面内的点中复数 z＝a＋bi 中的 z，书写时用小写，复平面内的点
Z(a ，b) 来表示复数 z＝a＋bi ．其Z(a ，b) 中的 Z，书写时用大写．
成立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．复平面除了是用来表示复数的平面这一特色以外，其余与直角坐标系是同样的．比方它也有四个象限，在此平面内也可研究曲线方程、曲线性质等．
由于任何一个复数z＝a＋bi ，都是由一个有序实数对(a ，b) 独一确立，所以复数集
与复平面内全部的点所成的会合是一一对应的．比方点
与纯虚数 bi 对应，点 (a ， b) 与复数 a＋bi 对应．
(a ， 0) 与实数 a 对应，点 (0 ，b)
2．当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．共轭
复数有很多实用的性质，跟着后续学习，我们会逐渐领会到应用这些性质来解题的优胜性．
由共轭复数的定义，我们能够获得：
(4)互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点对于实轴对称．
3．本课增补了三道例题．例 1 是为稳固共轭复数和复数相等的定义等知识而设计
的．例 2 波及复数的几何表示及分析几何等相关知识，其难点是解一元二次不等式组．预计部分学生会有些困难，教课中，教师要依据实质状况对学生进行启迪和指导．例 3 波及共轭复数的性质及分析几何中曲线与方程等相关知识，解题的重点是将问题化归成学生熟习的问题——分析几何中动点轨迹问题．
教课过程
1．复习发问
(1)虚数单位 i 的两个规定的内容是什么？
(2)填空：
复数 z 的代数形式是 ________；当________时， z 为实数；当 ________时， z 为虚数；当________时， z 为纯虚数； z 的实部为 ________；虚部为 ________．
(3)已知 (x ＋3y) ＋(2x － 10y)i ＝5－6i ，此中 x， y∈ R，求 x 与 y．
(4)随意一个复数 z＝a＋bi 与一个有序实数对 (a ， b) 之间有什么对应关系？
2．提出复平面等相关观点
在复习问题 (4) 的基础上，指出：任何一个复数 z＝a＋bi 都能够由一个有序实数对(a ，b)独一确立．而有序实数对 (a ，b) 与平面直角坐标系中的点是一一对应的．由此，能够成
立复数集与平面直角坐标系中的点集之间的一一对应．
这时，提出复平面、实轴、虚轴等观点，并联合实例对这些观点进行一一说
明．由此可知，复数集 C 和复平面内全部的点所构成的会合是一一对应的，即
这就是复数的几何意义．这时提示学生注意复数z＝a＋bi 中的字母z 用小写字母表示，点 Z(a ，b) 中的 Z 用大写字母表示．
3．讲堂练习
教科书中课后练习第2、3 题．
4．提出共轭复数的观点
(1)当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚
部不为 0 的两个共轭复数也叫做互为共轭虚数．
(2)复数 z的共轭复数用 z表示，即假如 z＝ a＋ bi ，那么 z a bi
(3)在复平面内，假如点 Z表示复数 z，点 Z表示复数 z，那么点 Z
和点 Z对于实轴对称，如图 5－ 2所示．
(4) 复数 z∈ R z＝ z．
(5) 复数 z∈ { 纯虚数 } z＋ z＝ 0，且 z≠ 0．
(6)(z) ＝ z．
5．解说例题．
例1 已知复数 x2＋x－2＋(x 2－3x＋ 2)i(x ∈R)是 4－20i 的共轭复数，求 x 的值．剖析：依据互为共轭复数的定义，已知复数为4＋ 20i ．由复数相等的定义，可列出对于 x 的两个方程，这两个方程的公共解就是所求x 的值．
解：由于 4－20i 的共轭复数是 4＋20i ，依据复数相等的定义，可得
x 2＋ x－ 2＝ 4，①
x 2－ 3x＋ 2＝ 20．②
方程①的解是 x＝－ 3 或 x＝2；方程②的解是 x＝－ 3 或 x＝6．
所以 x＝－ 3．
例2 实数 x 分别取什么值时，复数 z＝x2＋ x－ 6＋ (x 2－ 2x－15)i 对应的点 Z 在(1) 第三象限？ (2) 第四象限？ (3) 直线 x－ y－ 3＝ 0 上？
剖析：由于 x 是实数，所以 x2＋x－ 6、 x2－2x－ 15 也是实数．若复数 z＝a＋bi ，则当 a＜0，且 b＜0 时，复数 z 对应的点在第三象限；当 a＞0，且 b＜ 0 时，复数 z 对应的点在第四象限；当 a－b－3＝0 时，复数 z 对应的点在直线 x－y－3＝0 上．
解： (1) 当实数 x 知足
x 2＋ x－ 6＜ 0，
x 2－ 2x－ 15＜ 0．
即－ 3＜x＜2 时，点 Z 在第三象限．
(2)当实数 x 知足
x 2＋ x－ 6＞ 0，
x 2－ 2x－ 15＜ 0．
即 2＜x＜5 时，点 Z 在第四象限．
(3)当实数 x 知足
(x2＋x－6) － (x 2－2x－15) － 3＝ 0．
即 x＝－ 2 时，点 Z 在直线 x－ y－ 3＝ 0 上．
例 3 已知复数 3x＋2y＋ (x 2＋ y2－1)i(x ， y∈ R)的共轭复数是它自己，试在复平面
内画出复数 z＝ x＋yi 对应的点 Z 构成的图形．
剖析：由条件求出 x、y 知足的曲线方程，便可得出点 Z 在复平面内构成的图形．
解：由于 x、y∈ R，所以 3x＋2y、x2＋y2－ 1 都是实数．由题设及共轭复数的定义，得
x2＋y2＝1．
即点 Z(x ， y) 的坐标知足方程 x2＋ y2＝1．所以，点 Z 构成的图形是一个以原点为圆心，以 1 为半径的单位圆，如图 5－3 所示．
6．讲堂练习
教科书中的课后练习第1、 4、 5 题．
7．概括总结
本小节内容包含复平面、共轭复数的观点，复数的几何表示等内容．教师对这些内容作一次简洁简要的概括．
部署作业
教科书习题 5．2 第 2、 5 题．。