2017高考数学文新课标版考前冲刺复习讲义：第2部分专

第1讲 三角函数的图象与性质
三角函数的定义、诱导公式及基本关系[学生用书P23]自主练透 夯实双基
1．三角函数的定义
若角α的终边过点P (x ，y )，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y
x (其中r ＝x 2＋y 2)．
2．诱导公式
(1)sin(2k π＋α)＝sin α(k ∈Z )，cos(2k π＋α)＝cos α(k ∈Z )，tan(2k π＋α)＝tan α(k ∈Z )．
(2)sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α.
(3)sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α.
(4)sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α.
(5)sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫π
2－α＝sin α，
sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫π
2＋α＝－sin α. 3．基本关系
sin 2x ＋cos 2x ＝1，tan x ＝sin x cos x .
[题组通关]
1．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－3
2，且角φ的终边上有一点(2，a )，则a ＝( )
A ．－3
B ．2 3
C ．±2 3
D. 3
B [解析] 由cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－32得sin φ＝32，则a 4＋a 2＝3
2，解得a ＝2 3.
2．已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是______．
[解析] 由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.
所以2sin αcos α－cos 2
α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－1
4＋1
＝－1.
[答案] －1
3．(2016·高考全国卷乙)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝3
5，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝
________．
[解析] 法一：因为sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫θ－π
4＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝3
5，因为θ为第四象限角，所以－π2＋2k π＜θ＜2k π，k ∈Z ，所以－3π4＋2k π＜θ－π4＜2k π－π4，k ∈Z ，所以sin ⎝⎛⎭⎫θ－π
4＝－
1－⎝⎛⎭⎫352＝－45，所以tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝sin
⎝⎛⎭⎫θ－π4cos ⎝
⎛⎭⎫θ－
π4＝
－4
3
. 法二：因为θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝3
5，所以θ＋π4为第一象限角，所以
cos ⎝
⎛⎭⎫θ＋π4＝4
5，
所以tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝－cos ⎣⎡⎦⎤π
2＋⎝⎛⎭⎫θ－π4sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫θ－π4＝－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－4
3.
[答案] －4
3
应用三角函数的概念和诱导公式的注意事项
(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，机械地使用三角函数的定义就会出现错误．
(2)应用诱导公式与同角关系开方运算时，一定注意三角函数的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．
三角函数的图象与解析式[学生用书P23]高频考点 多维探明
函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图
设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π
2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线
可得．
(2)图象变换 y ＝sin x
――→向左（φ＞0）或向右（φ＜0）
平移|φ|个单位
y ＝sin(x ＋φ)
错误!y ＝sin(ωx ＋φ)
――→纵坐标变为原来的A （A ＞0）倍
横坐标不变
y ＝A sin(ωx ＋φ)．
由函数的图象特征求解析式
(2016·石家庄模拟)
已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π
2的部分图
象如图所示，则f ⎝⎛
⎭⎫
11π24的值为( )
A ．－6
2 B ．－
32
C ．－
22
D ．－1
【解析】 由图象可得A ＝2，最小正周期T ＝4×⎝⎛⎭
⎫
7π12－π3＝π，则ω＝2πT ＝2.又
f ⎝⎛
⎭⎫7π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫7π6＋φ＝－2，得φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，f ⎝⎛⎭⎫11π24＝2sin ⎝⎛⎭
⎫
11π12＋π3＝2sin
5π
4
＝－1，选项D 正确． 【答案】 D
函数图象变换
(1)(2016·高考全国卷乙)将函数y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移1
4个周期后，所得
图象对应的函数为( )
A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
4
B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3
C ．y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
4
D ．y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
3
(2)(2016·昆明两区七校联考)将函数f (x )＝3sin x －cos x 的图象沿着x 轴向右平移a (a ＞0)个单位后的图象关于y 轴对称，则a 的最小值是( )
A.π6
B.π
3 C.π2 D.2π3
【解析】 (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为π，所以将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
6的图象向
右平移
π4个单位长度后，得到函数图象对应的解析式为y ＝2·sin ⎣⎡⎦
⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π
6＝2sin ⎝
⎛⎫2x －π
3.故选D.
(2)依题意得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，函数f (x －a )＝2·sin ⎝⎛⎭⎫x －a －π6的图象关于y 轴对称，因
此sin ⎝⎛⎭⎫－a －π
6＝±1，所以a ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即a ＝k π＋π3，k ∈Z ，因此正数a 的
最小值是π
3
，选B.
【答案】 (1)D (2)B
解决三角函数图象问题的方法及注意事项
(1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．
(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换，变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．
[题组通关]
1．(2016·陕西质量检测(二))
已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的部分图
象如图所示，且f (α)＝1，α∈⎝⎛⎭⎫0，π3，则cos ⎝
⎛⎭⎫2α＋5π
6＝( )
A.1
3 B ．±223
C.223
D ．－223
D [解析] 由题图可知A ＝3，易知ω＝2，φ＝5π6，即f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π
6.因为f (α)
＝3sin ⎝⎛⎫2α＋5π6＝1，所以sin ⎝⎛⎫2α＋5π6＝13，因为α∈⎝⎛⎫0，π
3，所以2α＋5π6∈⎝⎛⎭⎫5π6，3π2，
所以cos ⎝
⎛⎭⎫2α＋5π6＝－22
3，故选D.
2．(2016·高考全国卷丙)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向
右平移________个单位长度得到．
[解析] 因为y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π
3，
所以函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移π
3
个单位长度得到．
[答案]
π3
三角函数的性质[学生用书P24]共研典例 类题通法
1．三角函数的单调区间
y ＝sin x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π
2(k ∈Z )，
单调递减区间是⎣
⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π
2(k ∈Z )；
y ＝cos x 的单调递增区间是[2k π－π，2k π](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )；
y ＝tan x 的递增区间是⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π
2(k ∈Z )．
2．y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数； 当φ＝k π＋π
2
(k ∈Z )时为偶函数；
对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π
2(k ∈Z )求得．
y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π
2(k ∈Z )时为奇函数；
当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；
对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得． y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π
2
(k ∈Z )时为奇函数．
已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝⎛
⎭⎫π2－x cos ⎝⎛⎭
⎫x －π
3－ 3. (1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦
⎤－π4，π
4上的单调性．
【解】 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪x ≠π
2＋k π，k ∈Z .
f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭
⎫x －π
3－3
＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎫x －π
3－3
＝4sin x ⎝⎛⎭⎫12cos x ＋3
2sin x －3
＝2sin x cos x ＋23sin 2x －3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
3.
所以f (x )的最小正周期T ＝2π
2
＝π.
(2)令z ＝2x －π3，函数y ＝2sin z 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π
2＋2k π，k ∈Z .
由－π2＋2k π≤2x －π3≤π
2＋2k π，得
－π12＋k π≤x ≤5π
12
＋k π，k ∈Z . 设A ＝⎣⎡⎦⎤－π4，π4，B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π
12＋k π，k ∈Z ，
易知A ∩B ＝⎣⎡⎦
⎤－π12，π
4.
所以，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤－π4，－π
12上
单调递减．
三角函数的单调性、周期性及最值的求法
(1)三角函数单调性的求法
求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω＞0)的单调区间的一般思路是令ωx ＋φ＝z ，则y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求解．
(2)三角函数周期性的求法
函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π
|ω|.应特别注意y ＝|A sin(ωx
＋φ)|的最小正周期为T ＝π
|ω|
.
(3)三角函数最值(或值域)的求法
在求最值(或值域)时，一般要先确定函数的定义域，然后结合三角函数性质可得函数f (x )的最值．
[题组通关]
1．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意的x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π
6＝________．
[解析] 函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意的x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π
6－x ，则其对称轴为x ＝π6，
所以f ⎝⎛⎭⎫π
6＝±
2.
[答案] ±2
2．已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π
4(A ＞0，ω＞0)，g (x )＝tan x ，它们的最小正周期之积为
2π2，f (x )的最大值为2g ⎝⎛
⎭⎫
17π4.
(1)求f (x )的单调递增区间；
(2)设h (x )＝3
2f 2(x )＋23cos 2x ，当x ∈⎣⎡⎭⎫a ，π3时，h (x )的最小值为3，求a 的值．
[解] (1)由题意得2π
ω
·π＝2π2，所以ω＝1.
又A ＝2g ⎝⎛
⎭
⎫17π4＝2tan 17
4π＝2tan π4＝2.
所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π
4.
由2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π
2(k ∈Z )，得
2k π－3π4≤x ≤2k π＋π
4
(k ∈Z )．
故f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－3π4，2k π＋π
4(k ∈Z )．
(2)h (x )＝3
2f 2(x )＋23cos 2x
＝3
2×4sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋23cos 2x ＝3(sin x ＋cos x )2＋23cos 2x ＝3＋3sin 2x ＋3(cos 2x ＋1) ＝3＋3＋3sin 2x ＋3cos 2x ＝3＋3＋23sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π6.
因为h (x )的最小值为3，令3＋3＋23sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝3⇒sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝－1
2.
因为x ∈⎣
⎡⎭⎫a ，π3，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎭⎫2a ＋π6，5π
6，
所以2a ＋π6＝－π6，即a ＝－π
6
.
课时作业[学生用书P113(独立成册)]
1．已知角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于P ⎝⎛⎭⎫12，y 0，则sin ⎝⎛⎭⎫π
2＋2α＝( ) A ．－1
2
B ．1 C.12
D ．－
32
A [解析] 由题意知当x ＝12时，y 0＝－32或y 0＝32，即sin α＝－32或sin α＝3
2，
又因为sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos 2α＝1－2sin 2α，所以sin ⎝⎛⎭
⎫π2＋2α＝1－2×34＝－1
2.
2．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
2
B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
2
C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x
D ．y ＝sin x ＋cos x
A [解析] y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
2＝－sin 2x ，最小正周期T ＝2π2＝π，且为奇函数，其图象
关于原点对称，故A 正确；y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，其图
象关于y 轴对称，故B 不正确；C ，D 均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故C ，D 不正确．
3．(2016·长春质量检测)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋
φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，ω＞0，|φ|＜π
2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式
为( )
A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
4
B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
4
C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π
4
D ．f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎫4x －π
4
A [解析] 由题图可知，函数f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝⎝⎛⎭⎫3π8
－π
8×4＝π，所以
ω＝2.又函数f (x )的图象经过点⎝⎛
⎭⎫π8，1，所以sin ⎝⎛⎭
⎫π
4＋φ＝1，则π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，
解得φ＝2k π＋π4(k ∈Z )，又|φ|＜π2，所以φ＝π4，即函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
4，故选A.
4．(2016·银川模拟)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ＜π
2图象上每一点的横坐
标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π
3个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则函数
f (x )的单调递增区间为( )
A.⎣
⎡⎦⎤2k π－π12，2k π＋5π
12，k ∈Z
B.⎣
⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋5π
6，k ∈Z
C.⎣
⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π
12，k ∈Z
D.⎣
⎡⎦⎤k π－π6，k π＋5π
6，k ∈Z
C [解析] 法一：将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，则函数变为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12ωx ＋φ，再向左平移π
3个单位长度得到的函数为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12ω⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫1
2ωx ＋ωπ6＋φ＝sin x ，
又ω＞0，所以⎩
⎨⎧1
2ω＝1，ωπ
6
＋φ＝2k π，k ∈Z ，
又
－π2≤φ＜π2，所以ω＝2，φ＝－π3，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－π12≤x ≤k π＋5π
12
，k ∈Z .选C.
法二：将y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度得到的函数为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π
3，将函数y
＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上每一点的横坐标缩短为原来的1
2(纵坐标不变)，则函数变为y ＝
sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
3＝f (x )，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，
k ∈Z ，选C.
5．(2016·兰州诊断考试)将函数f (x )＝cos 2x 的图象向右平移π
4个单位后得到函数g (x )
的图象，则g (x )具有性质( )
A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π
2
对称
B ．在⎝⎛⎭⎫0，π
4上单调递增，为奇函数
C ．在⎝⎛⎭⎫－3π8，π
8上单调递增，为偶函数
D ．周期为π，图象关于点⎝⎛
⎭
⎫3π
8，0对称 B [解析] 由题意可知将f (x )＝cos 2x 的图象向右平移
π
4
个单位得到g (x )＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＝cos ⎝⎛⎭
⎫π2－2x ＝sin 2x 的图象，因为函数g (x )为奇函数，所以排除C ，又当x ＝π
2时函数值为0，当x ＝3π8时，函数值为2
2
，所以A 和D 中对称的说法不正确，选B.
6.(2016·呼和浩特模拟)如图是函数f (x )＝sin 2x 和函数g (x )
的部分图象，则函数g (x )的解析式可能是( )
A ．g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
3
B ．g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π
3
C ．g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －5π
6
D ．g (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎫2x －π
6
B [解析] 在函数f (x )＝sin 2x 的图象上，⎝⎛
⎭
⎫
π8，y 关于对称轴x ＝π4对称的点为⎝⎛⎭⎫3π8，y ，17π24
－3π8＝π3，故g (x )的图象可能是由f (x )的图象向右平移π3个单位得到的，故
g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x －2π
3，选B.
7．sin(－600°)＝________．
[解析] sin(－600°)＝sin(－7×90°＋30°)＝cos 30°＝32
. [答案]
3
2
8．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为________． [解析] 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m
4.又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin
θcos θ，所以m 24＝1＋m
2，解得m ＝1±5，
又Δ＝4m 2－16m ≥0，所以m ≤0或m ≥4，所以m ＝1－ 5. [答案] 1－ 5
9．(2016·山西考前质量检测)若函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝
⎛⎭⎫||φ＜π2的图象关于直线x ＝π12对称，且当x 1，x 2∈⎝⎛⎭
⎫－π6，π3，x 1≠x 2时，f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________． [解析] 由题意得，2×π12＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π3＋k π，k ∈Z ，因为|φ|＜π2
，所以k ＝0，φ＝π3
， 又x 1，x 2∈⎝⎛⎭
⎫－π6，π3，所以2x 1＋π3，2x 2＋π3∈(0，π)，所以2x 1＋π3＋2x 2＋π32＝π2，解得x 1＋x 2＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝sin ⎝
⎛⎭⎫2×π6＋π3＝32. [答案] 32
10．已知f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2满足f (x )＝－f (x ＋π)，f (0)＝12，则g (x )＝2cos(ωx ＋φ)在区间⎣
⎡⎦⎤0，π2上的最大值为________． [解析] 由f (x )＝－f (x ＋π)可得f (x ＋2π)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2π，所以ω＝2π2π
＝1.由f (0)＝12得sin φ＝12，又|φ|＜π2，所以φ＝π6，因为g (x )＝2cos ⎝⎛⎭
⎫x ＋π6，且0≤x ≤π2，所以π6≤x ＋π6≤2π3，所以－12≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32
，因此g (x )max ＝ 3. [答案] 3
11．设函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π3＋33sin 2x －33cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期及其图象的对称轴方程；
(2)将函数f (x )的图象向右平移π3
个单位长度，得到函数g (x )的图象，求g (x )在区间⎣⎡⎤－π6，π3上的值域． [解] (1)f (x )＝12sin 2x ＋32cos 2x －33
cos 2x ＝12sin 2x ＋36cos 2x ＝33sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2
＝π. 令2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得对称轴方程为x ＝k π2＋π6
(k ∈Z )．
(2)将函数f (x )的图象向右平移π3
个单位长度， 得到函数g (x )＝
33sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋π6＝－33cos 2x 的图象， 即g (x )＝－33
cos 2x . 当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3时，2x ∈⎣⎡⎦⎤－π3
，2π3， 可得cos 2x ∈⎣⎡⎦
⎤－12，1， 所以－33cos 2x ∈⎣⎡⎦⎤－33，36，即函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上的值域是⎣⎡⎦
⎤－33，36.
12.已知函数f (x )＝cos(πx ＋φ)⎝
⎛⎭⎫0＜φ＜π2的部分图象如图所示． (1)写出φ及图中x 0的值；
(2)设g (x )＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋13，求函数g (x )在区间⎣⎡⎦
⎤－12，13上的最大值和最小值．
[解] (1)因为
32＝cos(0＋φ)，0＜φ＜π2，所以φ＝π6， 因为32＝cos ⎝
⎛⎭⎫πx 0＋π6，所以2π－π6＝πx 0＋π6，可得x 0＝53. (2)由题意可得f ⎝⎛⎭⎫x ＋13＝cos ⎣⎡⎦
⎤π⎝⎛⎭⎫x ＋13＋π6 ＝cos ⎝
⎛⎭⎫πx ＋π2＝－sin πx . 所以g (x )＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋13＝cos ⎝
⎛⎭⎫πx ＋π6－sin πx ＝cos πx cos π6－sin πx sin π6
－sin πx ＝
32cos πx －12sin πx －sin πx ＝32cos πx －32
sin πx ＝3cos ⎝
⎛⎭⎫πx ＋π3. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－12，13，所以－π6≤πx ＋π3≤2π3
， 所以当πx ＋π3＝0，即x ＝－13
时，g (x )取得最大值3；
当πx ＋π3＝2π3，即x ＝13时，g (x )取得最小值－32
. 13．已知定义在区间⎣
⎡⎦⎤－π，3π2上的函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，当x ≥π4时，f (x )＝－sin x .
(1)作出y ＝f (x )的图象；
(2)求y ＝f (x )的解析式；
(3)若关于x 的方程f (x )＝a 有解，将方程中的a 取一确定的值所得的所有解的和记为M a ，求M a 的所有可能的值及相应的a 的取值范围．
[解] (1)y ＝f (x )的图象如图所示．
(2)任取x ∈⎣
⎡⎦⎤－π，π4， 则π2－x ∈⎣⎡⎤π4
，3π2， 因为函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π4
对称， 则f (x )＝f ⎝⎛
⎭⎫π2－x ，又当x ≥π4时，f (x )＝－sin x ， 则f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ，
即f (x )＝⎩⎨⎧
－cos x ，x ∈⎣⎡⎭⎫－π，π4，－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π2.
(3)当a ＝－1时，f (x )＝a 的两根为0，π2，则M a ＝π2；当a ∈⎝
⎛⎭⎫－1，－22时，f (x )＝a 的四根满足x 1<x 2<π4<x 3<x 4，由对称性得x 1＋x 2＝0，x 3＋x 4＝π，则M a ＝π；当a ＝－22
时，
f (x )＝a 的三根满足x 1<x 2＝π4<x 3，由对称性得x 3＋x 1＝π2，则M a ＝3π4；当a ∈⎝⎛⎦
⎤－22，1时，f (x )＝a 的两根为x 1，x 2，由对称性得M a ＝π2
. 综上，当a ∈⎝⎛⎭
⎫－1，－22时，M a ＝π； 当a ＝－22时，M a ＝3π4
； 当a ∈⎝
⎛⎦⎤－22，1∪{－1}时，M a ＝π2.。