人教版九年级上册数学弧、弦、圆心角测试题

人教版九年级数学
考试题
测试题
人教版
初中数学
24.1.3 弧、弦、圆心角
一、课内练习：
1．下列命题中，正确的有（）
A．圆只有一条对称轴
B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条
C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴
D．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴
2．下列说法中，正确的是（）
A．等弦所对的弧相等B．等弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等
3．下列命题中，不正确的是（）
A．圆是轴对称图形B．圆是中心对称图形
C．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形D．以上都不对
4．如果两个圆心角相等，那么（）
A．这两个圆心角所对的弦相等; B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等; D．以上说法都不对
5．如图1，半圆的直径AB=4，O为圆心，半径OE⊥AB，F为OE的中点，CD∥AB，则弦CD的长为（）
A．23B．3C．5D．25
6．已知：如图2，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为P，且AP=4cm，PD=2cm，则⊙O 的半径为（）
A．4cm B．5cm C．42cm D．23cm
7．如图3，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为（）
A．3：2 B．5：2 C．5：2D．5：4
8．在⊙O中，圆心角∠AOB=90°，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的直径的长为（）
A．42B．82C．24 D．16
9．如果两条弦相等，那么（）
A．这两条弦所对的弧相等B．这两条弦所对的圆心角相等
C．这两条弦的弦心距相等D．以上答案都不对
10．半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最短的弦长是，最长的
弦长是．
11．弓形的弦长6cm，高为1cm，则弓形所在圆的半径为 cm．
12．一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为．
13．弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是，弦所对的圆心角是．
14．如图，∠AOB=90°，C、D是弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，
求证：AE=BF=CD．
初三第一学期期末学业水平调研
数学
本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分。

考试时间120分钟。

一、选择题（本题共16分，每小题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
．．．
1．抛物线()212
y x
=-+的对称轴是
A．1
x=-B．1
x=C．2
x=-D．2
x=
2．在△ABC中，∠C=90°．若AB=3，BC=1，则sin A的值为
A．
1
3
B．C D．3
3．如图，线段BD，CE相交于点A，DE∥BC．若AB=4，AD=2，DE=1.5，
则BC的长为
A．1 B．2
C．3 D．4
4．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段
BC的延长线上，则B
∠的大小为
A．30°B．40°
C．50°D．60°
5．如图，△OAB∽△OCD，OA:OC=3:2，∠A=α，∠C=β，△OAB与△OCD的面积
分别是
1
S和
2
S，△OAB与△OCD的周长分别是
1
C和
2
C，则下列等式一定成立的是
O
E
B C D
A
D
E
C
B
A
C
A ．
3
2OB CD
=
B ．
32
αβ= C ．
12
32
S S = D ．12
32
C C =
6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 从（3，4）出发，绕点O 顺时针旋转一周，则点A 不．
经过 A ．点M B ．点N C ．点P D ．点Q
7．如图，反比例函数k y x
=的图象经过点A （4，1），当1y <时，x 的取
值
范围是
A ．0x <或4x >
B ．04x <<
C ．4x <
D ．4x >
8．两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A 出发沿线段AB 运动到点B ，小兰从点C 出发，以相同的速度沿⊙O 逆时针运动一周回到点C ，两人的运动路线如图1所示，其中AC =DB ．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C 的距离y 与时间x （单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是
y
x
9.68
7.49
1.09
O C
O
D A B
17.12
x
y
4
1A
O
x
y
–1–2–3–4–5–6123456
–1–2–3
–4
–5
1
2345P
Q
N M
A
O
C
D
A O
B
图1 图2
A ．小红的运动路程比小兰的长
B ．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇
C ．当小红运动到点
D 的时候，小兰已经经过了点D D ．在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O 的半径
二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．方程220x x -=的根为 ．
10．已知∠A
为锐角，且tan A =A 的大小是 °． 11．若一个反比例函数图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，则此反比例函
数表达式可以是 ．（写出一个即可） 12．如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为1x =，点P ，点Q 是抛物线与x 轴的两个交点，若点P 的坐标为（4，0），则点Q 的坐标为 ．
13．若一个扇形的圆心角为60°，面积为6π，则这个扇形的半径为 ． 14．如图，AB 是⊙O 的直径，PA ，PC 分别与⊙O 相切于点A ，点C ，若∠P =60°，
PA
=，则AB 的长为 ．
15．在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安
全距离．如图，在一个路口，一辆长为10m 的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m 的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾x m ，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m ，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m ，若小张能看到整个红灯，则x 的最小值为 ．
停止线
信号灯
16．下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．
请
回
答
：
该
尺
规
作
图
的
依
据
是 ．
三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26小题，每小题6分；
第27~28小题，每小题7分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算：2sin 30°2cos 45-°
18．已知1x =是关于x 的方程2220x mx m --=的一个根，求(2)1m m +的值．
19．如图，在△ABC 中，∠B 为锐角， AB =AC =5，sin 3
5
C =
，求BC 的长． B A
20．码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．轮船到
达目的地后开始卸货，记平均卸货速度为v （单位：吨/天），卸货天数为t ． （1）直接写出v 关于t 的函数表达式：v = ；（不需写自变量的取值范围）
（2）如果船上的货物5天卸载完毕，那么平均每天要卸载多少吨？
21．如图，在△ABC 中，∠B =90°，AB =4，BC =2，以AC 为边作△ACE ，∠ACE =90°，
AC=CE ，延长BC 至点D ，使CD =5，连接DE ．求证：△ABC ∽△CED ．
22．古代阿拉伯数学家泰比特·伊本·奎拉对勾股定理进行了推广研究：如图（图1中
BAC ∠为锐角，图2中BAC ∠为直角，图3中BAC ∠为钝角）
． A
B B' C' C
A
B B'(C')
C B C' B' C
A
在△ABC 的边BC 上取B '，C '两点，使AB B AC C BAC ''∠∠∠==，则ABC △∽B BA '△∽C AC '△， (
)
AB
B B
AB
'=，
(
)
AC C C
AC
'=
，进而可得22AB AC += ；（用
BB CC BC ''，，表示）
若AB =4，AC =3，BC =6，则B C ''= ． 23．如图，函数k
y x
=
（0x <）与y ax b =+的图象交于点A （-1，n ）和点B （-2，1）． （1）求k ，a ，b 的值； （2）直线x m =与k
y x
=
（0x <）的图象交于点P ，与1y x =-+的图象交于点Q ，当90PAQ ∠>︒时，直接写出m 的取值范围．
图1 图2 图3
E B C D A
24．如图，A ，B ，C 三点在⊙O 上，直径BD 平分∠ABC ，过点D 作DE ∥AB 交弦BC
于点E ，在BC 的延长线上取一点F ，使得EF =DE ． （1）求证：DF 是⊙O 的切线；
（2）连接AF 交DE 于点M ，若 AD =4，DE =5，求DM 的长．
25．如图，在△ABC 中，90ABC ∠=︒，40C ∠=°，点D 是线段BC 上的动点，将线段
AD 绕点A 顺时针旋转50°至AD '，连接BD '．已知AB =2cm ，设BD
为x cm ，B D '为y cm ．
小明根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数） （1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如下表：
数的图象．
D' B D C A
（3）结合画出的函数图象，解决问题：
线段BD '的长度的最小值约为__________cm ；
若BD '≥BD ，则BD 的长度x 的取值范围是_____________． 26．已知二次函数243y ax ax a =-+．
（1）该二次函数图象的对称轴是x = ；
（2）若该二次函数的图象开口向下，当14x ≤≤时，y 的最大值是2，求当14x ≤≤时，y 的最小值；
（3）若对于该抛物线上的两点11() P x y ， ，22() Q x y ，，当1+1t x t ≤≤，25x ≥时，
均满足12y y ≥，请结合图象，直接写出t 的最大值．
27．对于⊙C 与⊙C 上的一点A ，若平面内的点P 满足：射线．．AP 与⊙C 交于点Q （点Q
可以与点P 重合），且12PA
QA
≤
≤，则点P 称为点A 关于⊙C 的“生长点”． 已知点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A （-1，0）．
（1）若点P 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且点P 在x 轴上，请写出一个符合条件
的点P 的坐标________；
（2）若点B 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且满足1tan 2
BAO ∠=
，求点B 的纵坐标
t 的取值范围；
（3
）直线y b =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在点A
关于⊙O 的“生长点”，直接写出b 的取值范围是_____________________________．
28．在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ．
（1）如图1，△ABC 的角平分线BD ，CE 交于点Q ，
请判断“QB =”是否正确：
________（填“是”或“否”）；
（2）点P 是△ABC 所在平面内的一点，连接PA ，PB ，且PB
=PA ．
①如图2，点P 在△ABC 内，∠ABP =30°，求∠PAB 的大小；
②如图3，点P 在△ABC 外，连接PC ，设∠APC =α，∠BPC =β，用等式表示α，β之间的数量关系，并证明你的结论．
P
P
E
D
Q
B C
A
B C
A
B C
A
图1 图2 图3
北京市海淀区初三第一学期期末学业水平调研
数学参考答案及评分标准
2018．1
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．0或210．60 11．
1
y
x
=（答案不唯一）12．（2-，
0）
13．6 14．2 15．10
16．三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；
或：直径所对的圆周角为直角，三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，直角三角形两个锐角互余；
或：直径所对的圆周角为直角，
1
sin
2
A=，A
∠为锐角，30
A
∠=︒.
三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26小题，每小题6分；第27~28小题，每小题7分）
17．解：原式=
1
22
22
⨯-⨯+………………3分
= 1
=
1………………5分18．解：∵1
x=是关于x的方程22
20
x mx m
--=的一个根，
∴2
120
m m
--=.
∴
2
21
m m
+=. ………………3分∴
2
(2)2
11
m m
m m
=
++=. ………………5分19．解：作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵AC=5，
3
sin
5
C=，
∴sin3
AD AC C
=⋅=. (2)
分
∴在Rt△ACD中，
4
CD==. ………………3分
∵AB=，
∴在Rt△ABD中，
3
BD==. ………………4分
∴
7
BC BD CD
=+=. ………………5分20．解：
（1）240
t
. ………………3分（2）由题意，当5
t=时，
240
48
v
t
==. ………………5分
答：平均每天要卸载48吨.
21．证明：∵∠B=90°，AB=4，BC=2，
∴AC=.
B
E
A
∵ CE =AC ，
∴ CE = ∵ CD =5，
∴ AB AC
CE CD
=
. ………………3分 ∵ ∠B =90°，∠ACE =90°，
∴ ∠BAC +∠BCA =90°，∠BCA +∠DCE =90°.
∴ ∠BAC =∠DCE . ∴
△
ABC ∽△
CED . ………………5分
22．BC ，BC ，()BC BB CC ''+ ………………3分
11
6
………………5分 23．解：
（1）∵ 函数k
y x
=
（0x <）的图象经过点B （-2， 1）， ∴ 1
2
k
=-，得
2k =-. ………………1分
∵ 函数k
y x
=（0x <）的图象还经过点A （-1，n ），
∴ 2
21
n -==-，点A 的坐标为（-1，2）. ………………2分
∵ 函数y ax b =+的图象经过点A 和点B ， ∴
2,2 1.
a b a b -+=⎧⎨
-+=⎩解得
1,
3.a b =⎧⎨=⎩
………………4分 （
2）20m -<<且
1m ≠-. ………………6分 24．（1）证明：∵ BD 平分∠ABC ， ∴ ∠ABD =∠CBD . ∵ DE ∥AB ， ∴ ∠ABD =∠BDE .
∴ ∠CBD =∠
BDE . ………………1分 ∵ ED =EF ，
∴ ∠EDF =∠EFD . ∵∠EDF +∠EFD +∠EDB +∠EBD =180°， ∴ ∠BDF =∠BDE +∠EDF =90°.
∴ OD ⊥DF . ………………2分 ∵OD 是半径， ∴
DF 是⊙O 的切
线. ………………3分
（2）解： 连接DC ，
∵ BD 是⊙O 的直径， ∴ ∠BAD =∠BCD =90°. ∵ ∠ABD =∠CBD ，BD =BD ，
∴ △ABD ≌△CBD . ∴ CD =AD =4，AB =BC. ∵ DE =5，
∴
3CE =，EF =DE =5. ∵ ∠CBD =∠BDE ， ∴ BE =DE =5.
∴ 10BF BE EF =+=，8BC BE EC =+=. ∴
AB =8. ………………5分
∵ DE ∥AB ， ∴ △ABF ∽△MEF . ∴
AB BF
ME EF
=
. ∴ ME =4.
∴
1DM DE EM =-=. ………………6分
25．（1）0.9. ………………1分 （2）如右图所示. ………………3分 （3）0.7， ………………4分 00.9x ≤≤. ………………6分
26．解：
（1）2． ………………1分
（2）∵ 该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线2x =， ∴ 当2x =时，y 取到在14x ≤≤上的最大值为2. ∴ 4832a a a -+=.
∴ 2a =-，2286y x x =-+-. ………………3分
∵ 当12x ≤≤时，y 随x 的增大而增大， ∴ 当1x =时，y 取到在12x ≤≤上的最小值0. ∵ 当24x ≤≤时，y 随x 的增大而减小， ∴ 当4x =时，y 取到在24x ≤≤上的最小值6-. ∴ 当14
x ≤≤时，y 的最小值为
6-. ………………4分
（3）4. ………………6分
27．解：
1
1
2
O
（1）（2，0）(答案不唯
一). ………………1分
（2）如图，在x 轴上方作射线AM ，与⊙O 交于M ，且使得1tan 2
OAM ∠=
，并在AM 上取点N ，使AM =MN ，并由对称性，将MN 关于x 轴对称，得M N ''，则由题意，线段MN 和M N ''上的点是满足条件的点B . 作MH ⊥x 轴于H ，连接MC ， ∴ ∠MHA =90°，即∠OAM +∠
AMH =90°. ∵ AC 是⊙O 的直径，
∴ ∠AMC =90°，即∠AMH +∠
HMC =90°. ∴ ∠OAM =∠HMC . ∴ 1tan tan 2
HMC OAM ∠=∠=. ∴
1
2
MH HC HA MH ==. 设MH y =，则2AH y =，1
2
CH y =
， ∴ 522AC AH CH y =+==，解得45y =，即点M 的纵坐标为4
5
.
又由2AN AM =，A 为（-1，0），可得点N 的纵坐标为8
5
，
故在线段MN 上，点B 的纵坐标t 满足：48
55
t ≤≤. ……………
3分
由对称性，在线段M N ''上，点B 的纵坐标t 满足：84
55
t -≤≤-.……………
4分
∴ 点B 的纵坐标t 的取值范围是8455t -≤≤-或48
55
t ≤≤.
（3
）41b --≤≤-
或
14b ≤≤ ………………7分
28．解：
（1）否. ………………1分
（2）① 作PD ⊥AB 于D ，则∠PDB =∠PDA =90°， ∵ ∠ABP =30°，
∴ 1
2PD BP =. ………………2分
∵
PB =， ∴
PD =
. ∴
sin PD PAB PA ∠== 由
∠
PAB 是锐角，得∠
PAB =45°. ………………3分
另证：作点P 关于直线AB 的对称点'P ，连接',','BP P A PP ，则
',',','P BA PBA P AB PAB BP BP AP AP ∠=∠∠=∠==.
∵∠ABP =30°， ∴'60P BP ∠=︒. ∴△'P BP 是等边三角形. ∴'P P BP =.
∵PB =，
∴
'P P =. ………………2分 ∴222''P P PA P A =+. ∴'90PAP ∠=︒. ∴
45PAB ∠=︒
.
………………3分
B
B
C
② 45αβ+=︒
，证
明如
下： ………………4分
作AD ⊥AP ，并取AD =AP ，连接DC ，
DP .
∴ ∠DAP =90°. ∵ ∠BAC =90°，
∴ ∠BAC +∠CAP =∠DAP +∠CAP , 即 ∠BAP =∠CAD .
∵ AB =AC ，AD =AP ， ∴ △BAP ≌△CAD .
∴ ∠1=∠2，
PB =CD . ………………5分
∵ ∠DAP =90°，AD =AP ，
∴
PD =，∠ADP =∠APD =45°. ∵
PB =， ∴ PD =PB =CD . ∴ ∠DCP =∠DPC . ∵ ∠APC =α，∠BPC =β，
∴ 45DPC α∠=+︒，12αβ∠=∠=-. ∴ 31802902DPC α∠=︒-∠=︒-. ∴ 139045ADP αβ∠=∠+∠=︒--=︒.
∴
45αβ+=︒. ………………7分
B。