优化设计的数学模型由设计变量目标函数和约束条件三部分组成

西 南
问题的方法叫图解法。
科 技
２、图解法的步骤
大 学
1）确定设计空间；
网 络
2）作出约束可行域；
教
育 系
3）画出目标函数的一簇等值线；
列 课
4）最后判断确定易优点。
程
5.1.6 优化问题的图解法
由图解法可解，
例5.2是一个二维
线性优化问题。
其可行域见图5.6，
目标函数的等值
西 南 科
线见图5.3，将这 两个图叠加在一
教 育
一种约束条件。是对设计变量所加的间接变量。
系 列
例如：零件的强度条件，刚度条件，稳定性条
课 程
件均属于性能约束。
5.1.5 约束条件与可行域
3、可行域
每一个不等式或等式约束都将设计空间分为两
个部分，满足所有约束的部分形成一个交集，该交 集称为此约束问题的可行域，记作φ。
西 南
可行域可看作满足所有约束条件的设计点的集
课 程
∴ x=1 为所求解。
5.1.2 数学模型的一般形式
实例可以看出，优化设计的数学模型由设计
变量、目标函数和约束条件三部分组成，可写成
以下统一形式：
设计变量
求变量
x1,x2, …..,xn
目标函数
西 南
使极小化函数 f(x1,x2, …..,xn)
科 技
满足约束条件
不等式约束条件
大
学 网
gu(x1,x2,…..,xn)≤0 (u=1,2,…m) 等式约束条件
西 南
g2 ( X ) x12 x2 1 0
科 技
g3( X ) x1 0
大
学
网
络
教
育
系
列
课
程
5.1.6 优化问题的图解法
图解法只适用于一些极其简单的优化问题， 所以没有什么实用价值。
西 南 科 技 大 学 网 络 教 育 系 列 课 程
西 南 科 技 大 学 网 络 教 育 系 列 课 程
西
南
科
技
大
学
网
络
教
育
系
列
课 程
图5.3函数的等值线簇
返回
5.1.4 目标函数与等值线
例4 函数f(x)＝xl2十x22 一4x1十4的图形(旋转 抛物面)，以及用平面
f(X)＝c切割该抛物面
西 所得交线在设计空间
南 中的投影。
科
技
大
学
网
络
教
育
系
列
课
程
图5.4 函数的等值面簇 返回
5.1.5 约束条件与可行域
下
5.1.5 约束条件与可行域
此题的约束
可行域是由
约束边界线
西 南
围成的封闭
科 技
五边形O
大 学
ABCD。
网
络
教
育
系
列
课
程
图5.6 例5.2的可行域 返回
5.1.6 优化问题的图解法
1、图解法的定义
在设计平面作出约束可行域，画出目标
函数的一簇等值线，根据等值线与可行域的
相互关系确定出最优点的位置，这种解优化
列
课
程
5.1.5 约束条件与可行域
2、约束条件的分类
1）约束条件根据形式不同分为不等式约束和等 式约束。
2）根据性质不同分为边界约束和性能约束。
边界约束：考虑了设计变量变化的范围，是对设
西 南
计变量本身所加的直接限制。
科 技 大
比如：ai-xi≤0
学 网 络
xi-bi≤0 性能约束：是根据设计性能或指标要求而定的
络 教
hv(x1,x2,…..,xn)=0 (v=1,2,…p)
育
系
列
课
程
实例 2
某工厂生产甲、乙两种产品。生产每种产品所
需的材料、工时、电力和可获得的利润，以及能够
提供的材料、工时和电力见下表。试确定两种产品
西 每天的产量，以使每天可能获得的利润最大。
南
科 技
产品 材料 /kg 工时/h 电力/(kw.h) 利润/元
2）当n=2时，该点集是设计平面中的一条 直线或曲线；例3。
3）当n=3时，该点集是设计空间中的一个
平面或曲面；例4。
西
南 科
4）当n大于3时，该点集是设计空间中的一
技
个超曲面。
大
学
网
络
教
育
系
列
课
程
下
5.1.4 目标函数与等值线
例3 目标函数f(x)＝一60x1一120x2的等值线族。 这是一组相互平行的直线，函数值沿箭头所指方 间逐渐下降。如图所示。
西 南
设计变量的选择：
科
技 大
应该选择那些与目标函数和约束函数
学 网
密切相关的，能够表达设计对象特征的基
络 教
本参数。
育
系
列
课
程
5.1.3 设计变量与设计空间
•2 设计变量的分类
１）连续变量：可以在实数范围内连续取值 的变量。
注：大多数机械优化问题的设计变量都属
西 南
于这种变量。可用常规的优化方法进行求解。
科 技
２）离散变量：只能在给定数列或集合中取
大 学
值的变量。
网 络
注：少数的机械优化问题的设计变量是离
教 育 系
散变量，对于离散变量的优化问题，可先将其 视为连续变量，用常规的优化方法最优解。
列
课
程
5.1.3 设计变量与设计空间
•3 设计空间
们形若成n的个向设量计X变=[量x1x,x1,2x,…2,…xnx]nT相的互全独体立集，合则构由成它的 一个n维实欧氏空间，称为设计空间，记Rn。
技 大
每天实际消耗的材料、工时和电力可分别用函
学 网
数g1(x1,x2)、g2(x1,x2)和g3(x1,x2)表示，即
络
教 育
g1( x1, x2 ) 9x1 4x2
系 列
g2 ( x1, x2 ) 3x1 10x2
课
程
g3( x1, x2 ) 4x1 5x2
于是上述生产计划问题可归结为
g4 (x1, x2 ) x1 0
系 列 课
g5 (x1, x2 ) x2 0
程
最优化问题的分类:
1、按是否包含有约束条件分：无约束优化问题和约 束优化问题。
２、按设计变量的多少可分：单变量优化和多变量优
化。
西 南
３、按目标函数和约束函数的性质可分：线性规划和
科 技
非线性规划。
大 学 网
1、约束条件的定义
对任何设计都有若干不同的要求和限制，将
这些要求和限制表示成设计变量的函数并写成一
系列不等式和等式表达式，就构成了设计的约束
西 条件，简称约束。
南
科 技
约束条件是对在设计过程中的一些附加设
大 学
计条件和对设计变量给的某些限制。
网 络
约束条件的作用就是对设计变量的取值加
教 育
以限制。
系
求变量 x1, x2 使函数 f (x1, x2 ) 60x1 120x极2大化
西 南
满足条件 g1(x1, x2 ) 9x1 4x2 360
科
技 大
g2 (x1, x2 ) 3x1 10x2 300
学 网 络
g3 (x1, x2 ) 4x1 5x2 200
教 育
学 网
因此，目标函数的最小值及其对应的设计变量的
络 教
取值称为设计问题的最优解。
育 系
3）目标函数的选择
列 课
必须针对具体问题，选择主要的技术指标作为设计
程 的目标函数，如：利润、体积、重量、功率等。
5.1.4 目标函数与等值线
2、等值面和等值线
对于简单的问题，可用等值线或等值面来
描述函数的变化趋势，还可以直观地给出极值 点的位置。
课
程
5.1.1 优化设计的定义
于是，上述问题可描述为
变量 x—设计变量
f(x)＝x(6-2x)2—目标函数
g(x)＝x>0 —约束条件
西 南
使函数 f(x)＝x(6-2x)2 极大化
科 技
即对 f(x)= 6x-2x3 求导
大
学 网
f’(x)=1-x2=0
络 教
得出：x=1, -1
育
系 列
∵ x>0
当数学模型中的目标函数和约束函数均为设计变 量的线性函数时，称此设计问题为线性优化问题或线
络 教
性规划问题。
育 系
当数学模型中的目标函数和约束函数中至少一个
列 为非线性函数时，称此设计问题为非线性优化问题或
课 程
非线性规划问题。
5.1.3 设计变量与设计空间
•1 设计变量的定义
设计变量是指在设计过程中可以进行 调整和优选的独立参数。
学
网
络
教
育
系
列 课
图5.5 约束边界
程
返回
5.1.5 约束条件与可行域
根据例2的约束条件如下：
g1(x1, x2 ) 9x1 4x2 360
g1(x1, x2 ) 9x1 4x2 360 0
西
g2 (x1, x2 ) 3x1 10x2 300
南 科
g2 (x1, x2 ) 3x1 10x2 300 0
5.1.1 优化设计的定义
一、优化设计的定义
最优化设计是借助最优化数值计算方法和 计算机技术，求取工程问题的最优设计方案。
西
即：进行最优化设计时，首先必须将实际
南 科
问题加以数学描述，形成一组由数学表达式组
技 大
成的数学模型，然后选择一种最优化数值计算
学 网
方法和计算机程序，在计算机上运算求解，得
络 教
科 技
合，因此，可用集合式表示如下：
大 学 网
D X | gu ( X ) 0，hv ( X ) 0, (u 1,2, , m；v 1,2, , p)
络 教
约束边界：等式约束本身就是约束边界。如
育 系
图5.5所示
列
课
程
下
5.1.5 约束条件与可行域
西
南
科
技
大
大 学
甲
9
3
4
60
网
络 教
乙
4
10
5
120
育
系
列 课
供应量
360
300
200
程
这是一个生产计划问题，可归结为既满足各项生
产条件，又使每天所能获得的利润达到最大的优化设
计问题。
解：设每天生产甲产品x1件，乙产品x2件，每天
西 南 科
获得的利润可用函数f(x1,x2)表示，即 f(x1,x2)=60 x1+120x2
西 南
一组设计变量可看作设计空间中的一个点，
科 称为设计点。
技
大 学
设计变量的个数n称为是二维设计问题，可用图5.1所示 的平面直角坐标来表示；
育
系 列 课
2）如n=3就是三维设计问题，可用图5.2所示 的直角空间坐标来表示。
程
下
5.1.3 设计变量与设计空间
技 大
g3 (x1, x2 ) 4x1 5x2 200
学 网
g3 (x1, x2 ) 4x1 5x2 200 0
络 教
g4 ( x1, x2 ) x1 0
育 系
g5 ( x1, x2 ) x2 0
列 课
g4 (x1, x2 ) x1 0
程
g5 ( x1, x2 ) x2 0
西
1）目标函数的等值面，其数学表达式为f
南 科
(x)=c。
技 大
在这种线或面上所有点的函数值均相等，
学 网
因此，这种线或面就称为函数的等值线或等值
络
面。
教
育 系 列
当c取一系列不同的常数值时，可以得到 一组形态相似的等值线或等值面，称为函数的
课 程
等值线簇或等值面簇。
下
5.1.4 目标函数与等值线
技 大
起就形成了图5.7。
学 网 络 教 育
求解得每天生产
甲产品20件，乙 产品24件，可获
系 列
得最大利润4080
课 元。
程
图5.7 例5.2的图解法
5.1.6 优化问题的图解法
例5.3 用图解法求解
min f ( X ) x12 x22 4x1 4
g1( X ) x1 x2 2 0
到一组最佳的设计参数。
育
系
列
课
程
5.1.1 优化设计的定义
实例1：
有一块边长为6m的正方形铝板，四角各
裁去一个小的方块，做成一个无盖的盒子。
西 试确定裁去的四个小方块的边长，以使做成
南
科 技
的盒子具有最大的容积。
大
学 网
解：设裁去的四个小方块的边长为x，
络 教
则盒子的容积可表示成x的函数
育
系 列
f(x)＝x(6-2x)2
西
南
科
技
大
学
网
络
教
育
系
列
课 程
图5.1 二维设计平面
图5.2 三维设计空间 返回
5.1.4 目标函数与等值线
1、目标函数
1）目标函数的定义
目标函数是通过设计变量来表示的设计所追求目标 的数学表达式，又称为标量函数。
西 2）目标函数的意义
南 科
目标函数值的大小是衡量设计方案优劣的定量标准。
技 大
目标函数的值越小，对应的设计方案越好。