毕业设计一阶倒立摆的自适应滑模控制仿真研究

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二○○七年六月
本科毕业设计说明书 题 目：一阶倒立摆的自适应滑模控制仿真研究 学生姓名：xx 学 院：xx 系 别：xx 专 业：xx 班 级：xx 指导教师：xx
摘要
倒立摆系统是一种非线性、高阶次、多变量、快速和自然不稳定的动态系统，是研究各种控制理论和方法的理想对象及典型试验装置。

在控制过程中能有效地反映诸如可镇定性、鲁棒性、随动性以及跟踪等许多控制中的关键问题。

因此，倒立摆机理的研究又具有重要的应用价值，成为控制理论中经久不衰的研究课题。

本文以一阶倒立摆系统为研究对象，研究其自适应滑模控制策略。

主要完成了以下工作：
(1)利用动力学方程建立一阶倒立摆的数学模型，得出描述系统的微分方程。

(2)基于滑模变结构控制、模糊控制和自适应控制设计一阶倒立摆的自适应模糊滑模控制器，并对其进行了李雅普诺夫稳定性分析。

(3)在MATLAB/SIMULINK环境下，针对位置信号为正弦波和方波两种情况进行了该自适应模糊滑模控制器仿真研究。

仿真表明，控制效果良好。

尽管本文做了许多工作，但由于时间关系仅进行了仿真研究而未进行实物控制，有待于进一步实现。

关键词:滑动模态；变结构控制；模糊控制；倒立摆系统；李雅普诺夫函数
Abstract
Inverted Pendulum, which is a dynamic system with nonlinearity, high equation orders, multivariable, fast reaction and instinct instability, has become an ideal object and typical experiment technique. Many key matters can be effectively reflected during the control process, such as steady, robustness, stochastic and track issues. Therefore, the research of inverted pendulum mechanism has lasted for many years due to its significant application value and has become an unfailing research task in the field of control theory.
The paper uses the single inverted pendulum system as a research object to research its adaptive sliding mode fuzzy control strategy. The main research works are as follows:
(1) We use dynamics equation to build the mathematical model of the single inverted pendulum and the differential equations describing the inverted pendulum are given.
(2) Based on the principle of fuzzy control, sliding mode variable control and adaptive control, an adaptive sliding mode fuzzy controller for the single inverted pendulum is designed and its stability is analyzed by Lyapunov theorem of stability.
(3) Aimed at the things of sine wave or square wave being position signal, we respectively simulated for the indirect adaptive fuzzy controller under MATLAB/SIMULINK environment and good simulation results are obtained.
Though a lot of research work have been done in this paper, there are still many things to do such as single inverted pendulum’s real control.
Key words：Sliding Mode ;Variable Structure Control ;Fuzzy Control;
Inverted Pendulum System; Lyapunov theorem of stability.
目录
引言 (1)
第一章概述 (2)
1.1 倒立摆系统研究的意义 (2)
1.2 滑模变结构控制 (2)
1.3 倒立摆控制的发展及研究现状 (4)
1.3.1 倒立摆控制的发展 (4)
1.3.2 倒立摆的研究现状 (6)
1.4 本文主要工作 (6)
第二章一阶倒立摆的数学模型 (8)
2.1 倒立摆系统的组成 (8)
2.2 倒立摆工作原理 (8)
2.3 倒立摆模型的数学建模 (9)
第三章自适应滑模变结构控制理论基础 (11)
3.1 滑模变结构理论的起源和背景 (11)
3.2 滑模控制的基本概念及原理 (13)
3.2.1 滑动模态的定义 (13)
3.2.2滑模变结构控制的定义 (14)
3.2.3滑动模态的数学表达 (14)
3.2.4滑动模态存在和到达条件 (15)
3.2.5滑动模态的不变性 (16)
3.2.6滑模变结构控制系统的抖振问题 (18)
3.3 模糊控制的原理 (18)
3.4 李雅普诺夫稳定性分析 (22)
第四章一阶倒立摆自适应滑模控制器设计与仿真 (24)
4.1 自适应滑模控制器设计 (24)
4.2 自控制算法设计及稳定性分析 (26)
4.3 仿真研究 (28)
4.3.1 S函数 (28)
4.3.2 被控对象S函数程序设计 (28)
4.3.3 控制器S函数程序设计 (29)
4.3.4 作图程序设计 (30)
4.3.5 Simulink主程序设计 (31)
4.3.6 仿真研究 (32)
结论 (35)
1、工作总结 (35)
2、研究展望 (35)
参考文献 (37)
附录A 位置信号为正弦波时有扰动的仿真程序 (38)
附录B 位置信号为正弦波时无扰动的仿真程序 (44)
附录C 位置信号为方波时的仿真程序 (46)
谢辞 (52)
引言
杂技顶杆表演之所以为人们所熟悉，不仅是其技艺的精湛引人入胜，更重要的是其物理本质与控制系统的稳定性密切相关。

它深刻揭示了自然界一种基本规律，即一个自然不稳定的被控对象，通过控制手段可使之具有良好的稳定性。

不难看出杂技演员顶杆的物理机制可简化为一个倒立摆，人们常称之为倒立摆系统(一阶倒立摆系统)。

倒立摆系统属于多变量、快速、非线性和绝对不稳定系统。

早在上世纪60年代人们就开始了对倒置系统的研究，1966年Schaefer和Cannon应用Bang-Bang控制理论，将一个曲轴稳定于倒置位置。

在19世纪60年代后期，作为一个典型的不稳定、严重非线性例证提出了倒立摆的概念，并用其检验控制方法对不稳定、非线性和快速性系统的处理能力，受到世界各国许多科学家的重视，从而用不同的控制方法控制不同类型的倒立摆，成为具有挑战性的课题之一。

由于在滑模变结构中滑动模态可以进行设计且与对象参数及扰动无关，这就使得变结构控制具有快速响应、对参数变化及扰动变化灵敏、无需系统在线辨识、物理实现简单等优点。

本文运用自学习算法的自适应模糊控制理论与滑模控制理论相结合所产生的自适应模糊滑模控制方法对倒立摆进行控制，经仿真验证，效果良好。

第一章概述
1.1倒立摆系统研究的意义
倒立摆是日常生活中许多重心在上、支点在下的控制问题的抽象模型，本身是一种自然不稳定体。

它在控制过程中能有效地反映控制中的许多抽象而关键的问题。

由于形象直观、结构简单、构件组成参数和形状易于改变；便于模拟和实现多种不同的控制问题。

因而成为控制理论教学与研究中的经久不衰的研究课题。

倒立摆的研究也具有重要的工程应用背景。

行走机器人的关节控制、火箭发射中的垂直度控制和在飞行中的姿态控制等问题，都可以抽象为倒立摆倒置平衡问题。

因此，倒立摆控制策略可以扩展应用到航空航天、军事、机器人、工业过程等领域中的倒置物体和平衡问题，具有重要的应用价值和深远的社会意义。

1.2 滑模变结构控制
变结构控制本质上是一类特殊的非线性控制，其非线性表现为控制的不连续性。

这种控制策略与其他控制的不同之处在于系统的“结构”并不固定，而是可以在动态过程中，根据系统当前的状态有目的地不断变化，迫使系统按照预定“滑动模态”的状态轨迹运动，所以又常称为变结构控制为滑动模态控制，即滑模变结构控制。

由于滑动模态可以进行设计且与对象参数及扰动无关，这就使得变结构控制具有快速响应、对参数变化及扰动变化灵敏、无需系统在线辨识、物理实现简单等优点。

该方法的缺点在于当状态轨迹到达滑模面后，难于严格地沿着滑模面向着平衡点运动，而是在滑模面两侧来回穿梭，从而产生颤动。

变结构控制的发展经历了三个发展阶段。

早期的工作主要由苏联学者完成。

在第一阶段，以误差及其导数为状态变量研究单输入单输出线性对象的变结构控制。

在1957年至1962年间，主要研究二阶线性系统。

以误差信号或加上它的导数作为反馈。

反馈系数可在两组数值之间切换，研究的方法是相平面分析法，以系统误差和其导数构成相平面坐标。

从1962年起，开始对任意阶的单输入单输出线性(定常或时变)对象进行研究，仍然采用误差及其各阶导数构成状态空间，亦即规范空间。

控制量是各个相坐标的线性组合，其系数按一定切换逻辑进行切换，
所选的切换流形都为规范空间中的超平面。

滑动模在规范空间中对系统参数变化的不变性无疑对人们有很大的吸引力，以至于认为它可以轻易地解决鲁棒性问题。

在实际应用中，人们发现采用微分器获取误差的各阶导数信号这一做法并不取，因为可实现的微分器传递函数总是有极点的，导致滑动模偏离理想状态，甚至使系统性能变坏到不可接受的程度。

因此，这一阶段建立起来的变结构控制系统理论实际上很少被采用，这期间的文献也没有受到普遍重视。

20世纪60年代末开始了变结构控制系统理论研究的第二阶段，人们不再于规范空间中进行研究，并且研究的对象扩大到多输入多输出系统和非线性系统，切换流形也不只限于超平面。

特别是Utkin的专著《滑动模及其在变结构系统理论中的应用》英文版发表以后，西方学者对滑模变结构控制系统理论产生了极大的兴趣，在此期间取得了相当多的研究成果，如关于滑动模的唯一性、稳定性及切换面方程式的设计等。

但是由于没有相应的硬件技术支持，这一时期的主要研究工作还仅局限于基本理论的研究。

进入20世纪80年代以来，随着计算机、大功率电子切换器件、机器人及电机等技术的迅速发展，变结构控制理论和应用研究开始进入了一个新阶段。

以微分几何为主要工具发展起来的非线性控制思想极大地推动了变结构控制理论的发展，如基于精确输入/状态和输入/输出线性化及高阶滑动模的变结构控制等，都是近10多年来取得的成果。

各种重要的国际和国内学术会议都设有滑动变结构控制专题小组，许多有影响的学术刊物都陆续出版了专题特刊。

当前的滑模变结构控制主要集中在以下几个方面:
（1）滑模变结构控制系统抖振的抑制
由于抖振是滑模变结构控制所固有的缺点，因此很多学者都在寻找能有效消除控制信号抖动的近似变结构控制算法。

Slotine et al.提出了一种平滑控制算法，在切换函数的边界层内对控制的不连续性进行平滑。

罗宁苏等提出了一种具有拟滑动特性的抖动消除方法。

高为炳等利用趋近律概念，提出了一种变结构控制系统的抖动消除方法。

Shtesse et al.利用滑动模的有限到达时间要求，提出了另一种连续的近似变结构控制算法。

NasabT .M.还提出了一种在被控对象中增加一个纯积分环节或低通滤波器的思想，通过对象增广并结合自适应等方法来抑制抖动。

（2）滑动模态面的研究
除了传统的线性滑模面，许多学者也提出了各种不同的滑模面。

如文献(Itkis
U.1976)详细阐述了二次型滑模面。

与连续滑模面相对应，不连续的滑模面也取得了许多研究成果。

此外，为了实现滑模面的有限时间达到，许多学者对终态滑模面(Terminal Sliding Mode)进行了广泛的研究。

（3）滑模变结构控制理论与其他控制理论的相结合
将其他控制理论与滑模变结构控制理论相结合，相互取长补短，取得了相当大的研究成果。

目前已有学者将自适应控制理论引入到滑模变结构的控制理论中来，一方面可以用变结构思想来设计自适应控制系统，同时也可以利用自适应思想进行在线估计变结构控制器中不连续项控制增益。

此外模糊控制、神经网络及遗传算法等先进控制技术也被综合应用到变结构控制系统中.以解决变结构控制器所存在的不利抖动对实际应用所带来的困难。

（4）特定的被控对象的滑模变结构控制
目前的滑模变结构控制所研究的控制对象也己涉及到离散系统、分布参数系统、广义系统、滞后系统、非线性大系统及非完整力学系统等众多复杂系统。

文献(Choi H. H, 1997; flu, 1999)专门研究了不匹配不确定性系统的变结构控制系统设计问题。

文献(Gouaisbaut F,1999)对于具有输入时滞的不确定性系统，通过状态变换等方法，得到了变结构控制系统。

（5）滑模变结构控制理论的应用
由于机器人动力学一般是非线性动力学，同时存在多种不可预见的外部干扰，所以机器人控制是近年来变结构控制系统理论的主要应用环境之一。

变结构控制理论的另一个典型应用环境是飞行器的运动控制。

此外在一些工业控制方面也有利用滑模变结构成功控制的例子。

虽然变结构控制理论在近40年来取得了一定的研究进展，但是仍然有许多理论问题尚待解决，在应用研究方面，目前还主要局限于机器人、电机及航天器等对象。

1.3 倒立摆控制的发展及研究现状
1.3.1 倒立摆控制的发展
由于对倒立摆系统的稳定控制有着重要的理论意义和实际意义，国内外的学者对此给予了广泛的关注和研究。

早在上世纪60年代，国外有学者对倒立摆系统进行了系统的研究，分析了
倒立摆系统的的机械稳定性问题和可控性问题，讨论了多级倒立摆的稳定控制，提出了bang-bang的稳定控制。

在60年代后期，作为一个典型的不稳定、严重非线性例证，控制理论界提出了倒立摆的概念，并用其检验控制方法对不稳定、非线性和快速性系统的控制能力，受到世界各国许多科学家的重视，从而用不同的控制方法控制不同类型的倒立摆，成为具有挑战性的课题之一。

从上世纪70年代初期开始，用状态反馈理论对不同类型倒立摆的控制问题成了当时的一个研究热点，并且在很多方面取得了比较满意的效果。

但是由于状态反馈控制依赖于线性化的数学模型，因此对于一般的工业过程尤其是数学模型变化的或不清晰的非线性控制对象无能为力。

这种状况从上世纪80年代后期开始有了很大的变化。

随着模糊控制理论的发展，以及将模糊控制理论应用于倒立摆系统的控制，对非线性问题的处理有了很大的改进。

将模糊理论应用于倒立摆的控制，其目的是为了检验模糊理论对快速、绝对不稳定系统的适应能力。

在这一阶段，将模糊理论用于控制一级倒立摆取得了很大的成功。

针对模糊控制器随着输入量的增多，控制规则数随之成指数增加，进而使模糊控制器的设计异常复杂，执行时间大大增长的问题，张乃尧等人对倒立摆采用双闭环模糊控制方案控制一级倒立摆，很好地解决了这个问题。

程福雁等人研究了使用参变量模糊控制对二级倒立摆实行实时控制的问题,通过传统的控制理论得出倒立摆系统各状态变量间的综合关系，来处理系统的多变量问题;通过仿真寻优和重复实验相结合的方法，得到了控制倒立摆的最优参数;采用高精度清晰化方法，使输出控制等级更为细腻。

模糊控制理论应用于倒立摆的最新研究成果是北京师范大学数学系李洪兴教授领导的科研队伍利用变论域自适应模糊控制理论实现了对四级倒立摆的稳定控制。

神经网络控制倒立摆的研究，从上世纪90年代开始有了快速的发展。

早在1963年，Widrow和Smith就开始将神经网络用于倒立摆小车的控制。

神经网络控制倒立摆是以自学习为基础，用一种全新的概念进行信息处理，显示出巨大的潜力。

就本论文查阅到的参考文献而言，目前神经网络用强化学习方法来实现对倒立摆的稳定控制,利用神经网络与其他控制方法相结合的方法来控制倒立摆。

另外，还有其他的控制方法用于倒立摆的控制。

例如，利用云模型实现倒立摆的智能控制倒立摆，利用云模型的方法主要的优点是，不用建立系统的数学模型，根据人的感觉、经验和逻辑判断，将人用语言值定性表达的控制经验，通过语言原子和云模型转换到语言控制规则器中，解决了倒立摆控制的非线性问题和
不确定性问题。

1.3.2 倒立摆的研究现状
①PID控制。

通过对倒立摆物理模型的分析，建立倒立摆系统的动力学模型，设计出PID控制器实现控制；
②状态反馈控制。

在平衡点附近利用线性化方法求出状态方程，然后利用状态空间理论推导出状态方程和输出方程，利用状态反馈的各种设计方法实现对倒立摆的控制；
③模糊控制。

主要是确定模糊规则，利用所设计的模糊规则克服系统的非线性和不确定性从而实现对倒立摆的稳定控制；
④自适应控制。

它以模糊控制命题表示一组控制规律，将指标函数与控制量联系起来，经模糊推理决定控制量，而不管系统本身的内在方式或直接变化方式，通过设计自适应控制器对倒立摆进行控制；
⑤神经网络控制。

利用神经网络能够充分逼近复杂的非线性关系，学习与适应严重不确定系统的动态特性，与其他控制方法结合实现对倒立摆的稳定控制；
⑥几种控制算法相结合的控制方式。

充分利用各控制算法的优越性，来实现一种组合式的控制方法，如遗传算法与神经网络结合的方法，神经网络与模糊理论结合的方法，模糊控制与PID结合的方法等等。

1.4 本文主要工作
本文在掌握滑模变结构控制理论的国内外研究现状，结合实际应用对滑模变结构控制理论提出的要求基础上，将模糊系统应用到滑模变结构控制系统设计中。

并将滑模变结构控制理论应用于倒立摆系统的仿真控制。

论文的主要内容如下：
第一章主要介绍了倒立摆系统研究的意义和自适应模糊滑模控制的基本概念，并阐述了倒立摆控制的发展及研究现状，最后简要介绍了本论文的主要结构安排。

第二章系统的介绍了倒立摆系统的组成及工作原理，并对倒立摆建模所需的条件进行分析，同时将建模中用到的各量予以说明，最后对倒立摆系统的动态方程进行详细推导。

第三章针对一类非线性系统提出了一种滑模变结构的控制方法。

然后针对控制器中的不确定非线性环节采用自适应模糊系统进行逼近。

将滑模变结构理论应用到一级倒立摆的控制中，利用滑模控制中的切换函数作为模糊统的输入，可设计单输入模糊控制器。

采用积分滑模面设计切换函数，并采用自适应滑模控制方法，可实现高精度模糊自适应滑模控制。

最后用李雅普诺夫理论对其稳定性进行分析。

第四章针对前面各章一阶倒立摆自适应模糊滑模控制仿真研究中所做的主要工作进行总结并对论文中有待进一步研究的方面给予说明，对本研究课题未来的前景提出展望。

第二章 一阶倒立摆的数学模型
2.1 倒立摆系统的组成
图2-1 一阶倒立摆系统结构图
倒立摆系统主要由倒立摆、控制计算机及接口电路三部分组成。

如图2-1，倒立摆由导轨、摆杆、小车、电机、位置和角度电位器等构成。

角度电位器装在摆杆与小车联接铰链处，用来检测摆杆与铅垂线的角度偏移，而小车相对轨道中心点的位移由固定在皮带轮轴上的电位器来检测。

计算机主要完成算法的解算与执行。

接口电路包括检测电路、微分电路和功率放大电路三部分，主要完成信号检测、变换及功率驱动的功能。

2.2 倒立摆工作原理
x
图2-2 倒立摆工作原理图
倒立摆是一个数字式的闭环控制系统，其工作原理为:角度、位移信号经检测电路获取后，由微分电路获取相应的微分信号。

这些信号经A/D 转换器送入计算机，经过计算机内部的控制算法解算后得到相应的控制信号，该控制信号经过D/A 变换、再经功率放大由执行电机带动皮带拖动小车在导轨上做往复运动，从
而实现对小车位移和倒立摆角位移的控制。

2.3 倒立摆模型的数学建模
在建立系统的运动学及动力学方程时，为方便数学推导，忽略一些次要因素，作出以下假设：
① 摆杆及小车都是刚体。

② 皮带轮与皮带之间无相对滑动，传送皮带无伸长现象。

③ 小车的驱动力与直流放大器输入成正比，忽略电极电枢绕组的电感。

④ 略去摩擦力，小车受到的摩擦力正比于小车的速度，下摆杆转动时所受的摩擦力矩正比于其转动角速度，上摆转动时所受的摩擦力矩正比于上摆对下摆的相对角速度。

并约定以下记号：
c m —小车的质量，单位：kg 。

文中定义为1kg ；
m —倒立摆的质量，单位：kg 。

文中定义为0.1kg ；
l —摆杆转动轴心到杆质心的长度，单位：m 。

文中定义为0.5m ；
x —小车的位移，单位：m ；
1x —摆杆与垂直向上方向的夹角，单位：rad ； 2x —摆杆的摆速，单位：/rad s ；
J —摆杆对于质心的转动惯量，单位：
2kg m ⋅；
u —作用在摆上的力，单位：N 。

文中小车允许运行的轨道长度为0.72m 。

根据以上假设建立倒立摆的动态方程。

一阶倒立摆系统受力分析如图2-3所示。

根据刚体绕定轴转动的动力学微分方程，转动惯量与加速度乘积等于作用于刚体主动力对该轴力矩的代数和，则摆杆绕其重心的转动方程为
211sin cos y X Jx
u l x u l x =- (2-1) 摆杆重心的水平运动可描述为
2
12(sin )X d u m x l x dt
=+ (2-2)
摆杆在垂直方向上的运动可描述为
2
12(cos )y d u mg m l x dt
-= （2-3）
由式（2-1），式（2-2）和式（2-3）得
2211()cos sin J ml x ml x x
mgl x ++⋅= （2-4） 整理（2-4）得到：
22211121
222221cos sin cos ()sin cos ()()c c ml x m l x x x m m mgl x x
m l x m m J ml +⋅-+=-++ （2-5） 因为摆杆为均匀细杆，所以可以求其对于质心的转动惯量。

因此设细杆摆长为2l ，单位长度的质量为l ρ，取杆上的一个微段dx ，其质量为1m dx ρ=,则此杆对于质心的转动惯量有
230
()/3l
l l J dx x l ρρ=
=⎰
（2-6）
杆的质量为
l m l ρ= （2-7）
所以此杆对于质心的转动惯量为：
23
ml J = （2-8）
将（2-8）带入（2-5），得
2
012111222
11sin cos sin /()cos /()(4/3cos /()(4/3cos /())c c c c g x mlx x x m m x m m x u l m x m m l x m m -++=+-+-+
（2-9） 由以上各式知倒立摆的动态方程为：
122
0121112
2211sin cos sin /()cos /()(4/3cos /()(4/3cos /())c c c c x
x g x mlx x x m m x m m x u l m x m m l x m m =⎧⎪-++⎨=+⎪-+-+⎩
第三章自适应滑模变结构控制理论基础
3.1 滑模变结构理论的起源和背景
1948年维纳的《控制论》奠定了控制理论的基础，开创了工业生产、航空航天、国防建设等科学技术发展的自动控制时代。

控制理论的日渐应用，对科学和技术的发展是至关重要的，以至于对人类社会发展的影响也是巨大的。

控制科学从诞生起，就在不断的工程应用中发展各种新的理论，新的理论又不断地推向工程实践。

马克思主义认为，理论来源于实践，反过来又指导实践。

短短的半个世纪，控制理论以惊人的发展速度呈现出百花齐放的局面：多变量、不确定性、未建模动态、鲁棒性；最优化、自适应、系统辨识；鲁棒控制、预测控制、模糊逻辑、神经网络等等。

新的概念、新的控制方法的出现，都来源于工程实践提出的新的要求，并试图解决工程实践中的各种问题。

然而，“变结构”的概念恐怕在“鲁棒性”、“不确定性”等概念为大家所熟悉之前，以及其他各种先进的控制方法诞生以前，就已经出现了。

控制论诞生不久，“改变系统结构”这一思想最早出现于1953年Wunch.W.S 的博士学位论文中(Wunch.W.S 1953)，这个时期发表的少数文献应用了这种方法。

之后，前苏联学者Emelyanov首先提出了变结构控制系统(Variable Structure Control Systems, VSCS)的概念，并且逐步形成了一个控制系统的综合方法。

Uthin V I.等在此基础上进一步发展、完善了变结构控制理论，使得变结构控制理论成为控制科学中的一大分支，并且为后来学者们开辟了一条很好的非线性系统控制的研究方向。

在变结构控制方法、理论出现并且发展的同时，控制科学、控制技术处于古典控制理论极端发展和完善的巅峰期。

五十年代初到八十年代初，基于频域传递函数的古典控制理论，在工业上广泛的应用起来，极大的改变了世界工业生产和自动化方式。

根轨迹、频率响应方法己经成为这个年代以及以后的自动控制工程技术人员的必备知识。

作为古典控制理论的完善，多变量频域控制理论提供了多输入多输出系统的分析、设计方法。

虽然古典控制理论在工程上己经成功运用，但是幅值裕度和相角裕度本身是一对此消彼长的矛盾，对应的动、静态性能无法都能满足，快速的响应就只能有较差的稳定性，多变量频域理论中也是如此，性能指标和稳定鲁棒性之间总是有矛盾。

古典控制理论不能满足工业控制的越来越。