大学数学《对数求导法》课件

g( x)ln
f
( x).
(按隐函数求微分或导数)
4
y (1 sin x)x ,
解 恒等变形得 ln y x ln(1 sin x)
根据微分法则知
1 dy dx ln(1 sin x) x 1 cos xdx
y
1 sin x
因此
dy
y
dx
ln(1
sin
x)
x 1 1 sin x
2
一、幂指函数的对数求导法则
例1 设 y xsin x ( x 0), 求y.
解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 y cos x ln x sin x 1
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
x sin x (cos x ln x sin x ) x
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
y
( x 1)3 x ( x 4)2 e x
1[ x
1

1
1 3( x
1)
x
2
4
1]
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例5 设 y ( x 1)( x 2) , 求y. ( x 3)( x 4)
解 等式两边先取绝对值再取对数得
ln y 1 ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4
cos
xdx
(1
sin
x)x
ln(1
sin
x)
x cos x 1 sin x
dx.
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求导法则:
对幂指函数 y uv , 其中u u( x),v v( x),可用对数
求导法求导:
ln y v ln u,
1 y
y
v ln
u
uv u
,
y
uv
vln u uv u
.
注
y uv ln u v vuv1 u.
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三、小结 对数求导法则： 对方程两边取对数，按隐函数的求导法则求导. 对数求导法适用的函数类型：
1. 幂指函数； 2. 乘积形式函数.
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对数求导法的步骤: 1. 取自然对数； 2. 等式两端分别对自变量求导；
3. 等式两端再乘以y, 左端即y( x).
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作业
1.认真看书。
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按指数函数求导公式
按幂函数求导公式 6
y uv ln u v vuv1 u. 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式 幂指函数的求导公式: 将幂指函数当作幂函数求导加上将幂指函数 当作指数函数求导.
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例3 利用求导公式求
的导数.
解 根据求导公式可得
y sin x xsin x1 x xsin x ln x sin x
2
对 x 求导
y 1 1 1 1 1 ,
y 2 x1 x2 x3 x4
1 1 1 1 .
x1 x2 x3 x4
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例6 设 求y.
解 两边取对数 ln y x ln a a[lnb ln x ] b[ln x lna ], b
两边对 x 求导
y ln a a b , y b xx
1.4.3 对数求导法
一、幂指函数的对数求导法则 二、乘积形式函数的对数求导法则 三、小结
1
观察函数
( x 1)3 x 1 y ( x 4)2 e x ,
y x sin x .
求导方法:
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导
方法求出导数.
-----对数求导法
适用范围:
多个函数相乘和幂指函数u( x)v( x)的情形.
y
( x 1) 3 x ( x 4)2e x
1
,
则过程显得非常繁琐，因此也先取对数，再求导.
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例4
设
y
( x 1) 3 x 1 ( x 4)2e x
,
求y.
解 等式两边先取绝对值再取对数得
ln y ln x 1 1 ln x 1 2ln x 4 x 3
上式两边对 x求导得
3
例2 设 y (1 sin x)x , 则 dy _______ .
分析 要求幂指函数 f ( x) g( x)的微分或导数，
根据对数恒等式，先变换成
y e e . ln f ( x)g( x)
g( x )ln f ( x )
(按复合函数求微分或导数)
或
ln
y
ln
f
( x)
g( x)
sin x xsin x1 xsin x ln x cos x
xsin x
sin x x
ln
x
cos
x
.
注 结果与例1中利用对数求导法所得完全一致.
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二、乘积形式函数的对数求导法则
乘积形式函数的求导法则：如果利用
uv uv uv
来求导，理论上是可行的，但对于比较复杂的情 形，例如