欧氏空间子空间的标准正交基求法改进

欧氏空间子空间的标准正交基求法改进
欧氏空间子空间的标准正交基是指由线性无关的向量组成的一组基，且每个向量都与该子空间内的其他向量垂直（即内积为0）且模长为1。

求解标准正交基的算法是 Gram-Schmidt 过程，但是该过程在计算过程中会出现数值不稳定的问题。

为了改进Gram-Schmidt 过程的数值稳定性，我们可以使用Householder 变换。

其基本思想是对于给定的向量，构造一个Householder 矩阵，把向量变换为一个新的向量，使得该向量除第一
个元素外所有元素都为0，并且其模长不变。

通过 Householder 变换，我们可以将矩阵中的列向量逐个变换，使得变换后的向量满足标准正
交基的要求，从而得到子空间的标准正交基。

具体实现过程如下：
1. 选择一个初始向量作为第一个基向量，并将其除第一个元素
外所有元素设为0。

2. 对于第二个基向量，我们选取一个不在第一个基向量的子空
间中的向量作为初始向量，并利用 Householder 矩阵将其变换为垂直
于第一个向量的向量。

3. 对于后续的基向量，我们重复第二步的过程，对于已选取的
基向量集合，我们可以从中选择一个不在向量线性组合的结果中的向
量作为初始向量，并利用 Householder 矩阵将其变换为垂直于已有基
向量集合的向量。

通过这种方式，我们可以得到原始欧氏空间子空间的标准正交基。