2016-2017学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.4.1 抛物线的标准方程学业分层测评 苏教版选修1-1

学业分层测评(十) 抛物线的标准方程
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1.抛物线y 2
＝4x 的准线方程为________.
【解析】 根据抛物线的几何性质得抛物线y 2
＝4x 的准线方程为x ＝－1. 【答案】 x ＝－1
2.抛物线y 2
＝－2px (p >0)的焦点恰好与椭圆x 29＋y 2
5＝1的一个焦点重合，则p ＝
________.
【解析】 椭圆中a 2
＝9，b 2
＝5，∴c 2
＝a 2
－b 2
＝4，∴c ＝±2，∴F 1(－2,0)，F 2(2,0)，
抛物线y 2
＝－2px (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－p 2，0与F 1重合，∴－p
2＝－2，∴p ＝4.
【答案】 4
3.设抛物线y 2
＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________.
【解析】 由抛物线的方程得p 2＝4
2
＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝
6.
【答案】 6
4.抛物线y ＝1a
x 2
(a ≠0)的焦点坐标为________.
【解析】 抛物线y ＝1a x 2的标准形式为x 2
＝ay ，故焦点在y 轴上，坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 4.
【答案】 ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
0，a 4
5.(2016·盐城高二检测)以双曲线x 24－y 2
5＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为
焦点的抛物线方程为________.
【解析】 由x 24－y 2
5＝1知a 2＝4，b 2＝5，∴c 2＝a 2＋b 2
＝9，双曲线右焦点为(3,0)，
依题意，抛物线的焦点F (3,0)，p
2＝3，∴p ＝6，∴抛物线方程为y 2
＝12x .
【答案】 y 2
＝12x
6.焦点在y 轴上，且抛物线上一点A (m,3)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为________.
【解析】 设抛物线方程为x 2
＝2py (p ＞0)，∵A (m,3)到焦点的距离为5，∴p
2＋3＝5，
∴p ＝4，∴抛物线为x 2
＝8y . 【答案】 x 2
＝8y
7.已知开口向下的抛物线上一点Q (m ，－3)到焦点的距离等于5，则该抛物线的标准方程为________.
【解析】 ∵Q (m ，－3)到焦点的距离等于5.∴Q 到准线的距离也等于5. ∴准线：y ＝2，即p
2＝2，∴p ＝4.即：抛物线标准方程为：x 2
＝－8y .
【答案】 x 2＝－8y
8.(2016·常州高二检测)抛物线y ＝－14x 2
上的动点M 到两定点(0，－1)，(1，－3)的
距离之和的最小值为________.
【解析】 将抛物线方程化成标准方程为x 2
＝－4y ，可知焦点坐标为F (0，－1)，因为－3<－1
4
，所以点E (1，－3)在抛物线的内部，如图所示，设抛物线的准线为l ，过点E 作
EQ ⊥l 于点Q ，过点M 作MP ⊥l 于点P ，所以MF ＋ME ＝MP ＋ME ≥EQ ，又EQ ＝1－(－3)＝4，
故距离之和的最小值为4.
【答案】 4 二、解答题
9.设抛物线顶点在原点，焦点在y 轴负半轴上，M 为抛物线上任一点，若点M 到直线l ：3x ＋4y －14＝0的距离的最小值为1，求此抛物线的标准方程.
【导学号：24830046】
【解】 设与l
平行的切线方程为3x ＋4y ＋m ＝0，由⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2
＝－2py
3x ＋4y ＋m ＝0
得2x 2
－3px －
pm ＝0.
∴Δ＝0即m ＝－98p .又d ＝|14－9
8p |
5＝1，∴p ＝8或p ＝152
9(舍)，
∴抛物线的标准方程为x 2
＝－16y .
10.(1)已知抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛
物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，试给出FP 1，FP 2，FP 3之间的关系式；
(2)设F 为抛物线y 2
＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，求|FA
→
|＋|FB →|＋|FC →|.
【解】 (1)由抛物线方程y 2
＝2px (p >0)得准线方程为x ＝－p
2，
则由抛物线的定义得FP 1＝x 1＋p 2，FP 2＝x 2＋p 2，FP 3＝x 3＋p
2，
则FP 1＋FP 3＝x 1＋p 2＋x 3＋p
2＝x 1＋x 3＋p ，因为x 1＋x 3＝2x 2，
所以FP 1＋FP 3＝2x 2＋p ＝2⎝ ⎛
⎭⎪⎫
x 2＋p 2＝2FP 2，
从而FP 1，FP 2，FP 3之间的关系式为FP 1＋FP 3＝2FP 2.
(2)设点A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，C (x C ，y C )，由题意知2p ＝4，p ＝2，F (1,0)， 又FA →＋FB →＋FC →
＝0，则有x A －1＋x B －1＋x C －1＝0，即x A ＋x B ＋x C ＝3. 由抛物线的定义可知，
|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝
⎛⎭⎪⎫x A ＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x B ＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x C ＋p 2＝(x A ＋x B ＋x C )＋3×p 2＝3＋3＝6.
能力提升]
1.对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1).
其中满足抛物线方程为y 2
＝10x 的是________.(要求填写适合条件的序号)
【解析】 抛物线y 2
＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；设M (1，y 0)是y 2
＝10x
上一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足；由于抛物线y 2
＝10x 的焦点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫52，0，
过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －52，若由原点向该直线作垂线，
垂足为(2,1)时，则k ＝－2，
此时存在，所以④满足.
【答案】 ②④
2.设抛物线y 2
＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足.如果直线AF 的斜率为－3，那么PF ＝________.
【解析】 由抛物线定义得PF ＝PA ，又由直线AF 的斜率为－3可知，∠PAF ＝60°， 所以△PAF 是等边三角形，
即PF ＝AF ＝4
cos 60°＝8.
【答案】 8
3.(2016·驻马店高二检测)从抛物线y 2
＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且PM ＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为________.
【导学号：24830047】
【解析】 因为抛物线方程为y 2
＝4x ，则准线方程为x ＝－1.设P 点坐标为P (x 0，y 0)， 由图可知(图略)，PM ＝x 0＋1＝5.所以x 0＝4，把x 0＝4代入y 2
＝4x ，解得y 0＝±4， 所以△MPF 的面积为12PM ×y 0＝1
2×5×4＝10.
【答案】 10
4.设P 是曲线y 2
＝4x 上的一个动点.
(1)求点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2)若B (3,2)，点F 是抛物线的焦点，求PB ＋PF 的最小值.
【解】 (1)如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线是x ＝－1，由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离，于是，问题转化为在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小.显然，连接AF 交曲线于P 点，故最小值为22
＋1＝ 5.
(2)如图，自B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于P 1，此时，P 1Q ＝P 1F ， 那么PB ＋PF ≥P 1B ＋P 1Q ＝BQ ＝4，即PB ＋PF 的最小值为4.。