天津市南开中学高考数学二轮复习 解答题训练6

天津南开中学2015届高三数学第二阶段复习资料——解答题训练
6
已知函数
()x
x x x x f 22sin cos sin 32cos -+=．
（1）求函数()x f 的最小正周期及单调递增区间；
（2）需要把函数()x f y =的图像经过怎样的变换才能得到函数x x g cos )(=的图像？ （3）在ABC △中，A 、B 、C 分别为三边a 、b 、c 所对的角，若3=a ，()1=A f ，求c b +的最大值．
如图所示，在边长为12的正方形11
ADD A 中，点,B C 在线段AD 上，且3AB =，
4BC =，作1BB //1AA ，分别交11D A 、1AD 于点1B 、P ，作1CC //1AA ，分别交11D A 、1AD 于点
1C 、Q ，将该正方形沿1BB 、1CC 折叠，使得1DD 与1AA 重合，构成如
图所示的三棱柱
111
ABC A B C -．
（1）求证：AB ⊥平面
11
BCC B ； （2）求四棱锥A BCQP -的体积；
（3）求二面角A PQ C --的平面角的余弦值．
将10个白小球中的3个染成红色，3个染成黄色，试解决下列问题： （1）求取出3个小球中红球个数ξ的分布列和数学期望； （2）求取出3个小球中红球个数多于白球个数的概率．
给定椭圆C ：)0(122
2
2>>=+b a b y a x ，称圆心在原点O ，半径为22b a +的圆是椭圆
C 的“准圆”。

若椭圆C 的一个焦点为)0,2(F ，其短轴上的一个端点到F 的距离为3.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程.
（Ⅱ）点P 是椭圆C 的“准圆”上的一个动点，过动点P 作直线21,l l 使得21,l l 与椭圆C 都只有一个交点，且21,l l 分别交其“准圆”于点N M ,； （1）当P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求21,l l 的方程. （2）求证：MN
为定值.
若函数
()
f x在(0,)
+∞上恒有,()()
xf x f x
>成立（其中,()
f x为()
f x的导函数），则称
这类函数为A类函数．
若函数
2
()1
g x x
=-，试判断()
g x是否为A类函数;
若函数
1
()3ln
a
h x ax x
x
-
=---
是A类函数，求函数
()
h x的单调区间;
（3）若函数
()
f x是A类函数，当12
0,0
x x
>>
时，证明1212
()()()
f x f x f x x
+<+.
已知各项均为正整数的数列
{}
n a 满足
1
n n a a +<，且存在正整数(1)k k >,使得
*1212,()
k k n k n a a a a a a a k a n N +++⋅⋅⋅+==+∈g g g g
当
1233,6
k a a a ==时，求数列
{}
n a 的前36项的和
36
S ；
求数列
{}
n a 的通项
n
a ；
（3）若数列{}n b 满足8
1121()2n a n n b b -+=-⋅，且1192,b =其前n 项积为n T ，试问n 为何
值时，
n
T 取得最大值？
天津南开中学2015届高三数学第二阶段复习资料——解答题训练6参考答案
解：（1）
()⎪
⎭⎫ ⎝⎛
+=+=-+=62sin 22cos 2sin 3sin cos sin 32cos 22πx x x x x x x x f 最小正周期为
ππ==
22T ，由π+π≤π+≤π+π-k x k 226222(k ∈Z)可得π
+π
≤≤π+π-k x k 63(k ∈Z)
即函数的单调递增区间为⎥
⎦⎤
⎢⎣
⎡π+ππ+π-k ,k 63(k ∈Z)
（2）要得到函数x x g cos )(=的图像只需把函数()x f y =的图像经过以下变换得到：
①把函数()x f y =横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变得到函数⎪
⎭⎫
⎝⎛+=6sin 2πx y 的图像；②
再把函数⎪
⎭⎫
⎝⎛+=6sin 2πx y 的图像纵坐标缩短为原来的21,横坐标不变,得到函数⎪
⎭⎫
⎝⎛+=6sin πx y 的图
像；③再把函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6sin πx y 的图像向左平移3π个单位得到x
x y cos 36sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ππ的图像
（3）由()1=A f 可得162sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA ,即2162sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA ，又0＜A ＜π，所以
3π=
A ． 由余弦定理可得A bc c b a cos 2222-+=,即bc c b -+=223，即
()bc c b 332-+=． 又22⎪
⎭⎫
⎝⎛+≤c b bc ,所以()()2
222333⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+≥-+=c b c b bc c b
故32≤+c b 故当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=-+=322bc c b c
b ,即3
==c b 时,c b +取得最大值32
解．（1）证明：在正方形
11
ADD A 中，因为5CD AD AB BC =--=，所以三棱柱
111
ABC A B C -的底面三角形ABC 的边5AC =．
因为3AB =，4BC =，所以2
2
2
AB BC AC +=，所以AB BC ⊥． 因为四边形
11
ADD A 为正方形，B B AA 11是矩形，所以
1
AB BB ⊥，而
1BC BB B
=I ，
所以AB ⊥平面
11
BCC B ．
（2）解：因为AB ⊥平面
11
BCC B ，所以AB 为四棱锥A BCQP -的高．
因为四边形BCQP 为直角梯形，且3BP AB ==，7CQ AB BC =+=，
所以梯形BCQP 的面积为
()1
202BCQP S BP CQ BC =
+⨯=
所以四棱锥A BCQP -的体积1
20
3A BCQP BCQP V S AB -=⨯=．
（3） 建系如图所示坐标系，则A （0,0,3）,P （0,3,0）,Q （4,7,0）
(4,7,3),(0,3,3)AQ AP =-=-u u u r u u u r
(,,),
APQ x y z =u u r
1设平面的法向量n
0,011=⋅=⋅AP n AQ n 330
4730
y z x y z -=⎧⎨
+-=⎩有x=-1，y=1,z=1(1,1,1),(0,0,1),=-=u u r u u r
12n 又平面BCQ 的法向量n
设1n 与2n 的夹角为θ，
3
3|
|||cos 2121=
⋅=
n n n n θ
A PQ C --由图可知二面角的平面角为锐角， A PQ C --所以二面角的平面角的余弦值为33 .
解：（1）因为从10个球中任取3个，其中恰有k 个红球的概率为
)3,2,1,0(,)(3
10
37
3===-k C C C X P k
k ξ
所以随机变量X 的分布列是
X 的数学期望：
109120134072402112470=⨯+⨯+⨯+⨯
=EX
（2）设“取出的3个球中红球数多于白球数”为事件A ，“恰好1个红球和两个黄球”为事件1A ，“恰好2个红球”为事件2A ，“恰好3个红球”为事件
3
A ；由题意知：
3
21A A A A Y Y =
又
1201
)3()(,407)2()(,403)(323
102
3131========X P A P X P A P C C C A P 故
12031
1201407403)()()()(321=
++=
++=A P A P A P A P .
解：（Ⅰ）1,3,2=∴==b a c Θ，∴椭圆方程为1
322
=+y x
准圆方程为
42
2=+y x 。

（Ⅱ）（1）因为准圆
42
2=+y x 与y 轴正半轴的交点为)2,0(P ， 设过点)2,0(P 且与椭圆有一个公共点的直线为2+=kx y ，
所以由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1
32
2
2y x kx y 消去y ，得0912)31(22=+++kx x k .
因为椭圆与2+=kx y 只有一个公共点，
所以
0)31(941442
2=+⨯-=∆k k ，解得1±=k 。

所以21,l l 方程为2,2+-=+=x y x y . （2）①当21,l l 中有一条无斜率时，不妨设1l 无斜率， 因为1l 与椭圆只有一个公共点，则其方程为3±=x ， 当1l 方程为3=x 时，此时1l 与准圆交于点
()(
)
1,3,1,3-，
此时经过点
()1,3（或(
)
1,3-）且与椭圆只有一个公共点的直线是1=y （或1-=y ）
，
即2l 为1=y （或1-=y ），显然直线21,l l 垂直； 同理可证1l 方程为3-=x 时，直线21,l l 垂直.
②当21,l l 都有斜率时，设点),(00y x P ，其中42
020
=+y x . 设经过点
)
,(00y x P 与椭圆只有一个公共点的直线为
0)(y x x t y +-=，
则⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=13)(2
200y x tx y tx y 消去y ，得03)(3)(6)312000022=--+-++tx y x tx y t x t （.
由0=∆化简整理得：012)32
0002
2
0=-++-y t y x t x （ 因为42
02
0=+y x ，所以有
0)3(2)32
0002
2
0=-++-x t y x t x （. 设21,l l 的斜率分别为21,t t ，因为21,l l 与椭圆只有一个公共点，
所以21,t t 满足上述方程
0)3(2)32
0002
2
0=-++-x t y x t x （， 所以121-=•t t ，即21,l l 垂直. 综合①②知：因为21,l l 经过点
)
,(00y x P ，又分别交其准圆于点N M ,，且21,l l 垂直，
所以线段MN 为准圆
422=+y x 的直径，所以MN =4. 解：⑴因为()2g x x '=，所以222
()()2(1)10xg x g x x x x '-=--=+>在(0,)+∞上恒成立，即()()xg x g x '>在(0,)+∞上恒成立，所以
2
()1g x x =-是A 型函数． ⑵
211()(0)
a
h x a x x x -'=-+>，由
()()
xh x h x '>，得
1113ln ---+
>---a a ax ax x x x ，
因为0>x ，所以可化为2(1)2ln -<+a x x x ，
令()2ln p x x x x =+，()3ln p x x '=+，令()0p x '=，得3e -=x ， 当
3
(0,e )-∈x 时，()0p x '<，()p x 是减函数； 当
3(e ,)-∈+∞x 时，()0p x '>，()p x 是增函数， 所以3
3
min
()(e )e p x p --==-，所以3
2(1)e --<-a ，
3
11e 2a -<-．
①当0=a 时，由
21()0x
h x x -'=
>，得1<x ，所以增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞；
②当0<a 时，由
21()(1)()0a
a x x a h x x --
-'=
>，得01x <<，
所以增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞；
③当
102a <<
时，得1x <，或1a x a ->，所以增区间为(0,1)，1(,)
a a -+∞，减区间为
1(,1)a
a -；
④当
1
2a =
时，()0h x '≥，所以，函数增区间为(0,)+∞；
⑤3111e 2
2a -<<-时，由21()(1)
()0
a
a x x a h x x --
-'=
>，得
1a x a -<，或1x >， 所以增区间为(1,)+∞，
1(0,
)a a -，减区间为1(,1)a
a -．
⑶证明：函数()f x 是(0,)+∞上的每一点处都有导数，且()()xf x f x '>在(0,)+∞上恒
成立，设
()()f x F x x =
，2
()()
()0xf x f x F x x '-'=>在(0,)+∞时恒成立， 所以函数()
()f x F x x =
在(0,)+∞上是增函数，
因为
120,0x x >>，所以
1211220,0
x x x x x x +>>+>>，
所以
121122()(),()()F x x F x F x x F x +>+>，即121122121122()()()()
,f x x f x f x x f x x x x x x x ++>>
++， 所以
1122
12121212
()()
(),()x f x x x f x x f x f x x x x x ++<
<++，两式相加，得1212()()()f x f x f x x +<+.
解：⑴当3k =，1236a a a =则1236a a a ++=．
设32313n n n n c a a a --=++，由33n n a a +=+，得19n n c c +=+，所以数列{}n c 是公差为9的等
差数列，故
3612121211
12696662S c c c ⨯=+++=⨯+
⨯=L ．
⑵若2k =时，1212a a a a +=⋅，又12a a <，
所以1222a a a ⋅<，所以11a =，此时221a a +=，矛盾．
若3k =时，123123a a a a a a ++=⋅⋅，所以12333a a a a ⋅⋅<，123a a ⋅<， 所以1231,2,3a a a ===，满足题意．
若4k ≥时，1212k k a a a a a a +++=⋅⋅⋅L L ，所以12k k a a a ka ⋅⋅⋅<L ，即
121k a a a k -⋅⋅⋅<L ，
又因为12112(1)22k a a a k k k -⋅⋅⋅>⨯⨯⨯-->L L ≥，所以4k ≥不满足题意． 所以，11a =，22a =，33a =，且33n n a a +=+，
所以3213(1)32n a a n n -=+-=-，3123(1)31n a a n n -=+-=-，333(1)3n a a n n =+-=，
11 故n a n =． ⑶又81121()2n a n n b b -+⋅=-⋅ 所以18
121
21()2n a n n b b +-++⋅=-⋅ 所以212n n b b +=
，所以{}{}221,n n b b -都是以1
2为公比的等比数列, 所以1
621
2132(), 1,2114(), 2,2n
n n
n n b n n --⎧⋅⋅⎪⎪=⎨⎪-⋅⎪⎩≥为奇数
,
≥为偶数.
令11n n b b +⋅<，即8
121()12n --⋅<，81
1
()221n -<，所以13n ≥
n 为奇数时有,12341112131415161,11,1,1b b b b b b b b b b ⋅>⋅>⋅>⋅<⋅<L ，，， 从而24121214,T T T T T <<<>>L L ，
n 为偶数时，有23451213141516171,1,,1,1,1b b b b b b b b b b ⋅>⋅>⋅>⋅<⋅<L ， 从而13131315,T T T T T <<<>>L L ，
注意到12130,0T T >>，且131********T b T T T =⋅=>，
所以数列{}n b 的前n 项积n T 最大时n 的值为13．。