广东省汕头市金山中学高一数学上学期第二次月考试题

广东省汕头市金山中学2014-2015学年高一数学上学期第二次月考试
题
1． 下列命题中，正确的是（ ）
A ．|a r |＝|b r |⇒a r ＝b r
B ．|a r |＞|b r |⇒a r ＞b r
C ．a r ＝b r ⇒a r ∥b r
D ．｜a r ｜＝0⇒a r
＝0
2．设1e →、2e →
是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( )
A ．1e →
与1e →
-2e → B ．1e →+2e →与1e →-32e →
C ．1e →
-22e →与－31e →+62e → D ．21e →+32e →与1e →-22e →
3. 若cos(2)πα-=
22,且α∈(,0)2
π
-，则sin()πα+=( ) A ．-13 B.-23 C.13 D.2
3
4．sin (x ＋27°)cos (18°－x )＋sin (18°－x )cos (x ＋27°)＝( )
A.12 B ．－12 C ．－22 D.22
5.如图，已知,,3AB a AC b BD DC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，用,a b r r 表示AD u u u r ，则AD =u u u r
（ ）
A ．34a b +r r
B ．1344a b +r r
C ．1144a b +r r
D ．3144
a b +r r
6. 若O 是ABC ∆所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →
|，则ABC ∆一定是( )
A ．等边三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰直角三角形
7．如果不等式0--)(2
>=c x ax x f 的解集为)1,2-(，那么函数(-)y f x =的大致图象是( )
8．同时具有以下性质：“①最小正周期是π，②图象关于直线3
x π=对称；③在[,]63
ππ
-
上
是增函数”的一个函数是（ ） A ．sin()26x y π=+
B ．cos(2)3
y x π
=+ C ．sin(2)6y x π
=-
D ．cos(2)
6y x π
=-
9．在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，AD ＝1，点P 在线段AD 上，则PA →
•（→
→+PC PB ）的最小值为( ) A ．－1 B ．1 C.12 D ．－1
2
10．已知向量(,)m a b →
=，(,)n c d →
=，(,)p x y →
=，定义新运算*m n r r
＝(ac bd +，ad bc +)，
其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如果对于任意向量p ρ
都有*m p →→=p →成立，那么向量m ρ
为( )
A ．(1,0)
B ．(－1,0)
C ．(0,1)
D ．(0，－1)
11.cos 600o
=__________
12． ,,O N P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且
PA PB PB PC PC PA •=•=•，则点,,O N P 依次是ABC ∆的____心、____心、____心（请
按顺序填写）。

13．函数()f x =|cos |
1
()
3
x 在[],ππ-上的单调减区间为_____/
14. 关于平面向量a →
、b →
、c →
，有下列三个命题：
①若a b a c →→→→•=•，则b c →→
=
②若(1,),(2,6),a k b →→==-a →∥b →
，则3k =-
③非零向量a →
和b →
满足||||||,a b a b →
→
→
→
==-则a →与a →+b →
的夹角为60°.
④若a →＝(λ，-2)，b →＝(－3,5)，且a →与b →
的夹角是钝角，则λ的取值范围是
10
(,)3
λ∈-
+∞其中正确命题的序号为 。

（写出所有正确命题的序号） 15．（12分）
向量(sin ,cos )p x x →
=，(2,1)q →
=，
（1）若 p →
∥q →
，求2
sin sin cos x x x -的值 （2）若p →
⊥q →，求sin x 的值 16．（12分）
已知平面向量,AB a AC b ==u u u r u u u r r r ，||4,||3a b ==r r ，BAC β∠=,(23)a b -r r ·(2)61a b +=r
r
（1）求β的大小；（2）求||BC →
17. （14分）
已知函数()1
2sin()3
3
f x x π
=+。

（1）求()f x 的最小正周期；
（2）若将()f x 的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的
23，再向右平移3
π
个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间[],ππ- 上的最小值。

18.（14分）
据市场调查，某种商品出厂价按月呈()sin()(0,0,||)2
f x A x B A π
ωφωφ=++>><
的模型
波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元；该商品每件售价为()g x (x 为月份)，且满足()g x ＝(2)f x -＋2.
（1）分别写出每件该商品的出厂价函数()f x ，售价函数()g x 的解析式； （2）问：哪几个月能盈利？ 19.（14分）
已知函数()f x =2
cos 1+，()g x sin x =
（1）求()h x =
()1()2g x f x --，(0,)6
x π
∈的值域
（2）若0,
2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时,()h x = 2
()2()f x m g x -的最小值为21，求实数m 的值.
20、（14分）
已知A 、B 、C 是直线l 上的不同的三点，O 是外一点，若OC u u u r
分解为不共线的两个向量
λOA u u u r 和μOB uuu r ，则OA u u u r 、OB uuu r
的系数λ、μ之和为1。

（1）若A 、B 、C 三点共线且有3
(31)(
)023OA x OB y OC x
-+•--•=+u u u r u u u r
u u u r r 成立。

记()y f x =，求函数()y f x =的解析式；
（2）在（1）的条件下，若对任意11[,]63
x ∈，不等式|ln |ln[()3]0a x f x x --->恒成立，求实数a 的取值范围.
1.C
2.C
3.C
4. D
5.B
6. B
7. C
8. C
9.D 10.A
11.12
-
12.外心 重心 垂心 13.［－2π,0］，［2π,π］14.②
15.（1） 由 p →∥q →得 sinx-2cosx=0 …3分 tanx=2
1
…4分
2
sin sin cos x x x -=1tan tan tan 2
2+-x x x …6分 =2
5
…7分 （2） 2sinx+cosx=0…10分 且1cos sin 2
2=+x x 解得x= 5
±
…12分 2014-2015学年度第一学期 高一月考 数学 答案
16.解：(1)原式展开得：613442
2=-⋅-
63||,4||-=⋅==b a b a 代入得 …2分
,
21||||cos -=⋅=
∴b a β…5分 0B π<<Q …6分23π
β∴= …7分 （2）||→
BC =||→
→
-AB AC =2
2
2→→
→→+•-b b a a =+••-=2233
2cos
3424
π
… 12分
17.解:)(x f 的最小正周期为
213
π
=6π． ………………………3分 （2）Θ若将()f x 的图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的
2
3
倍，得到12sin()23y x π=+，再将)(x f 的图象向右平移
3π
个单位，得到函数1()2sin[()]233g x x ππ=-+12sin()26
x π
=+的图象，…8分
12[,][,]2633
x x πππ
ππ∈-∴+∈-Q 时，…9分
∴当1262x ππ+=时，即 23
x π= 时…11分，)(x g 取得最大值2 …12分
18.解：(1) ()sin()(0,0)f x A x B A ωφω=++>>.由题意可得A ＋B ＝8，－A ＋B ＝4，T ＝8，∴A ＝2，B ＝6，ω＝π
4
.…3分
∵当x ＝3时，()f x 取得最大值8.即2sin(3π4＋φ)＋6＝8，∴φ＝2k π－π
4，k ∈Z ，不防
令φ＝－π
4
，…5分
所以()f x ＝2sin(π4x －π
4
)＋6(1≤x ≤12，x 为正整数)，…6分
()g x ＝()2f x -＋2＝2sin(π
4x －
3π
4
)＋8(1≤x ≤12，x 为正整数)．……8分 (2)将x ＝1,2，…，12代入f (x )，g (x )求出数值比较知，当x ＝4,5,6,7,8,12时，()g x >()f x ，故4,5,6,7,8,12月能赢利．…14分
19.解： （1）()h x =()1()2g x f x --2sin 1cos 1x x -=-2
sin 1sin x x -=-=2
11()sin sin x x
-+…3分 设11
,sin (0,)(2,)sin 2
t x t x =
∈∴∈+∞Q …4分 2()h t t t =-在(2,)+∞为递增函数，故()h t 2222>-= …6分
所以()h x 的值域为(2,)+∞ … 8分
（2）()I x =2
2
2
2
cos 12sin sin 2sin 2x m x x m x +-=--+
()
2
24sin 2
x m
m =-+++ ………………… 10分
又]2
π,0[∈x 则]1,0[sin ∈x 当≤02
12<
m 时， ()I x 的最小值224
1()(1)222I m m π=-+++=．
412=∴m ，2
1
±=∴m ………………… 12分
当2
12≥m 时， ()I x 的最小值212)0()0(4
22=+++-=m m f ．m ∴无解
综上，21
±=m ………………… 14分
20.解：（1）3
(31)()023OA x OB y OC x
-+•--•=+u u u r u u u r u u u r r Q ，
3(31)()23OA x OB y OC x
∴=+•+-•+u u u r u u u r u u u r ， ……………… 1分
又A Θ、B 、C 在同一条直线上，
3
(31)(
)123x y x ∴++-=+ ……………… 2分 x x y 3323++=，即x x
x f 3323)(++=， ……………… 5分
（2）3
()323f x x x
=++Q ，
∴原不等式为3
|ln |ln(
)023a x x
-->+， 得x x a 323ln ln +-<，或x
x a 323
ln ln ++>， ……………… 8分
设3
32ln 323ln ln )(2
x x x x x g -=+-=，
x
x
x x x h 323ln 323ln
ln )(+=++=， ……………… 10分
依题意知a<()g x 或a>()h x 在]3
1,61[∈x 上恒成立，
)(x g Θ与()h x 在]3
1
,61[上都是增函数， ……………… 12分
∴要使不等式①成立，当且仅当)61
(g a <或)3
1(h a >，
即365
ln <a ，或3
1ln >a ， ……………… 14分。