甘肃省2003年中考试卷

甘肃省2003年中考试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将此选项的代号填入括号内） 1．下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）． A ．1) 2(1)3(2
＋x x =+ B ．
021
12＝－＋x
x C ．0 2
=c bx ax ＋＋ D ．1 2 2
2
－＋x x x =
2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝6，则cos A 的值是（ ）． A ．
53 B ．54 C ．43 D ．3
4
3．⊙1O 与⊙2O 的半径分别为2和5，当 2.521=O O 时，两圆的位置关系是（ ）． A ．外切 B ．相交 C ．内切 D ．内含
4．点M （3，－4）关于x 轴的对称点M ′的坐标是（ ）． A ．（3，4） B ．（－3，－4） C ．（－3，4） D ．（－4，3） 5．已知正六边形的外接圆的半径是a ，则正六边形的周长是（ ）． A ．3a B ．6a C ．12a D ．24a
6．结合正比例函数y ＝4x 的图象回答：当x ＞1时，y 的取值范围是（ ）． A ．y ＜1 B ．1≤y ＜4 C ．y ＝4 D ．y ＞4
7．为了判断甲、乙两个小组学生英语口语测验成绩哪一组比较整齐，通常需要知道两组成绩的（ ）．
A ．平均数
B ．方差
C ．众数
D ．频率分布
8．已知h 关于t 的函数关系式为2
2
1
gt h ＝(g 为正常数，t 为时间)，则函数图象为（ ）．
9．在地表以下不太深的地方，温度y （℃）与所处的深度x （km ）之间的关系可以近似用关系式y ＝35x ＋20表示，这个关系式符合的数学模型是（ ）．
A ．正比例函数
B ．反比例函数
C ．二次函数
D ．一次函数
10．如图，ABCD 为圆内接四边形，E 为DA 延长线上一点．若∠ C ＝45°，则∠BAE 等于（ ）．
A ．90°
B ．30°
C ．135°
D ．45° 11．已知3是关于x 的方程
0123
42
＝＋－a x 的一个解，则2a 的值是（ ）
． A ．11 B ．12 C ．13 D ．14
12．如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝2，⊙A 与BC 相切，则图中阴影部分的面积为（ ）．
A ．2
π1－
B ．3π1－
C ．4π1－
D ．5π
1－
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案填在题中的横线上）
13．分解因式：1452
－
－x x ＝________． 14．一个函数的图象过点（1，2），且y 随x 的增大而增大，则这个函数的解析式是
________．（任写一个）．
15．关于x 的一元二次方程0122
=＋
＋kx x 有两个相等的实根，则k ＝________． 16．用一张面积为9002
cm 的正方形硬纸片围成一个圆柱的侧面，则这个圆柱的底面直径为________cm ．（用含π的式子表示）
17．据资料记载，位于意大利的比萨斜塔1918－1958这41年间，平均每年倾斜1.1毫米；1959－1969这11年间，平均每年倾斜1.26毫米，那么1918－1969这52年间，平均每年倾斜约________毫米．（保留两位小数） 18．为了解中学生的身体发育情况，对某中学同年龄的60名同学的身高进行了测量．经统计，身高在148.5～151.5之间的频数为3，则这一组的频率为________．
19．已知抛物线c bx ax y ＋＋2
=的图象与x 轴有两个交点，那么一元二次方程
02=c bx ax ＋＋的根的情况是________________________．
20．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三个点，当BC 平分∠ABO 时，能得出结论：_________ ________（任写一个）．
三、画图题（本题5分）
21．某地板厂要制作一批正六边形形状的地板砖，为适应市场多样化需求，要求在地板砖上设计的图案能够把正六边形6等分，请你帮他们设计等分图案（至少设计两种）．
四、解答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分．写出必要的文字说明及演算步骤）
22．已知一次函数y ＝kx ＋k 的图象与反比例函数x
y 8
＝的图象在第一象限交于B （4，n ），求k ，n 的值．
23．用换元法解方程
71
)
3(63)1(2＝－＋＋＋－x x x x ．
24．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，以C 为圆心，r 为半径作圆．当r ＝2.4 cm 时，AB 与圆有怎样的位置关系?为什么?
25．已知二次函数23)(2)(2
＋＋＋＋－m x m x m y =的图象过点（0，5）．
（1）求m 的值，并写出二次函数的解析式； （2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．
26．右图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB ＝CD ＝30 m ，两楼间的距离AC ＝24 m ．现需了解甲楼对乙楼的采光的影响情况，当太阳光与水平线的夹角为30°时，问甲楼的影子在乙楼上有多高?（精确到0.1m ，41.12≈，73.13≈）
五、解答题（本大题共6小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
27．（本题满分8分）
如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE＝BE，E在BC上．求证：PE是⊙O的切线．
28．（本题满分8分）
如图，在梯形ABCD中，BC∥AD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，AD＝4，E为AD的中点，F为CD的中点，P为BC上的动点（不与B、C重合）．设BP为x，四边形PE－FC 的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
29．（本题满分8分）
现需测量一井盖（圆形）的直径，但只有一把角尺（尺的两边互相垂直，一边有刻度，且两边长度都长于井盖半径）．请配合图形、文字说明测量方案，写出测量的步骤（要求写出两种测量方案）．
30．（本题满分9分）
某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为1万元，其原材料成本价（含设备损耗等）为0.55万元，同时在生产过程中平均每生产一件产品有1吨的废渣产生．为达到国家环保要求，需要对废渣进行脱硫、脱氮等处理，现有两种方案可供选择：
方案一由工厂对废渣直接进行处理，每处理1吨废渣所用的原料费为0.05万元，并
且每月设备维护及损耗费为20万元．
方案二 工厂将废渣集中到废渣处理厂统一处理，每处理1吨废渣需付0.1万元的处理费．
（1）设工厂每月生产x 件产品，每月利润为y 万元，分别求出方案一和方案二处理废渣时，y 与x 之间的函数关系式；（利润＝总收入－总支出）
（2）若你作为工厂负责人，如何根据月生产量选择处理方案，既可达到环保要求又最合算．
31．（本题满分9分） 已知抛物线bx ax y ＋2
=经过点A （2，0），顶点为D （1，－1）．
（1）确定抛物线的解析式；
（2）直线y ＝3与抛物线相交于B 、C 两点（B 点在C 点左侧），以BC 为一边，原点O 为另一顶点作平行四边形，设平行四边形的面积为S ，求S 的值；
（3）若以（2）小题中BC 为一边，抛物线上的任一点P 为另一顶点作平行四边形，当平行四边形面积为8时，试确定P 点的坐标； （4）当－2≤x ≤4时，（3）小题中平行四边形的面积是否有最大值?若有请求出，若无请说明理由．
32．（本题满分8分） 阅读以下材料并填空． 平面上有n 个点（n ≥2），且任意三个点不在同一直线上，过这些点作直线，一共能作出多少条不同的直线?
（1）分析：当仅有两个点时，可连成1条直线； 当有3个点时，可连成3条直线； 当有4个点时，可连成6条直线； 当有5个点时，可连成10条直线； ……
（2）归纳：考察点的个数n 和可连成直线的条数n S ，发现：
（3
个点B 有（n －1）种取法，所以一共可连成n （n －1）条直线，但AB 与BA 是同一条直线，
故应除以2，即2)
1(－＝
n n S n ． （4）结论：2
)
1(－＝n n S n ．
试探究以下问题：
平面上有n （n ≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形，一共能作出多少不同的三角形? （1）分析：
当仅有3个点时，可作________个三角形； 当有4个点时，可作________个三角形； 当有5个点时，可作________个三角形； ……
（2）归纳：考察点的个数n 和可作出的三角形的个数n S ，发现：
（3）推理：_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ （4）结论：___________________________
参考答案
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．A 2．A 3．D 4．A 5．B 6．D 7．B 8．A 9．D 10．D 11．C 12．C 二、填空题（每小题3分，共24分）
13．（x ＋2）（x －7） 14．写出符合条件的一个即可，如y ＝2x ，y ＝x ＋1等 15．
22 16．
π
30
17．1.13 18．0.05 19．有两个不相等的实数根 20．写出符合条件的一个即可，如∠ABO ＝∠AOC ，∠AOC ＝2∠OBC 等． 三、画图题（5分）
21．只要符合题目要求，即可得分，设计一种得3分，设计两种得5分．如：
四、解答题（每小题7分）
22．解：∵ B （4，n ）在反比例函数x
y 8
＝
的图象上， ∴ 24
8＝＝n ．…………………………………………………………………………3分 又∵ B （4，2）在一次函数y ＝kx ＋k 的图象上，
∴ 2＝4k ＋k ，5
2＝k ．…………………………………………………………………6分 答：k ，n 的值分别是
5
2
，2．……………………………………………………………7分 23．解：设
y x x ＝＋－3
1
，那么
y x x 113＝－＋， 原方程变形为76
2＝＋y
y ，……………………………………………………………2分
整理得06722
＝＋－y y ．
解这个方程，得2
31＝y ，22＝y ．………………………………………………………4分
当23＝y 时，2
3
31＝＋－x x ，去分母，得
3x ＋9＝2x －2，∴ x ＝－11．…………………………………………………………5分
当2＝y 时，
23
1
＝＋－x x ，去分母，得 2x ＋6＝x －1，∴ x ＝－7．……………………………………………………………6分 检验，把x ＝－11，x ＝－7分别代入原方程的分母，各分母都不等于0，所以它们都是原方程的根．
∴ 原方程的根是111＝－x ，72＝－x ．……………………………………………7分 24．解：过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，如图．…………………………………………1分 在Rt △ABC 中，
522＝＋＝BC AC AB ．………………………………………………………………3分 根据三角形的面积公式有 BC AC AB CD ⋅⋅＝， ∴ cm 4.2＝＝
AB
BC
AC CD ⋅．
…………………………………………………………5分
∵ r ＝2.4 cm
∴ r ＝CD ．因此AB 与⊙O 相切．……………………………………………………7分
25．解：（1）∵ 点（0，5）在二次函数2)3()2(2
＋＋＋＋－＝m x m x m y 的图象上， ∴ 5＝m ＋2，解得m ＝3．……………………………………………………………2分 ∴ 二次函数的解析式为562
＋＋＝x x y ．……………………………………………4分 （2）∵ 4)3(562
2
－＋＝＋＋＝x x x y ， ∴ 图象的顶点坐标为（－3，－4），对称轴为x ＝－3．……………………………7分 26．解：设甲楼的影子在乙楼上的最高点为E ，作EF ⊥AB ，垂足为F ，如图．…1分 ∵ ∠BEF ＝30°，
∴ 在Rt △BFE 中，︒︒⋅⋅30tan 30tan AC EF BF ＝＝
8.1384.1338≈≈＝（m ）．……………………………………………………………4分 ∴ CE ＝AF ＝AB －BF ≈16.2（m ）……………………………………………………6分 答：甲楼的影子在乙楼上的高度约为16.2米．………………………………………7分
五、（本大题共6小题，共50分）
27．如图，连接OP 、BP ．………………………………………………………………1分 AB 是⊙O 的直径…………………………………………………………………………1分
EB EP BE CE APB =⇒⎭
⎬⎫=︒=∠⇒90
PE ⇒是⊙O 的切线．…………………………………………………………………8分
28．解：过F 作FG ⊥AD ，G 为垂足．…………………………………………………1分 ∵ F 为CD 的中点，∠A ＝90°，AB ＝2， ∴ FG ＝1．
∵ BC ＝3，BP ＝x ，∴ PC ＝3－x ．
∵ AD ＝4，E 为AD 的中点，∴ ED ＝2．…………………………………………4分
那么EFD PEDC PEFC S S S ∆－＝梯形四边形 122
1
22]2)3[(⨯⨯⨯－＋－＝
x
＝5－x －1＝4－x ．………………………………………………………7分
∴ y ＝4－x ，0＜x ＜3．…………………………………………………………………8分 29．解法一：如图（1），把井盖卡在角尺间，可测得AB 的长度．
记井盖所在圆的圆心为O ，连接OB 、OC ，由切线的性质得OB ⊥AB ，OC ⊥AC ．又AB ⊥AC ，OB ＝OC ，则四边形ABOC 为正方形．
那么井盖半径OC ＝AB ，这样就可求出井盖的直径．
解法二：如图（2），把角尺顶点A 放在井盖边缘，记角尺一边与井盖边缘交于点B ，另一边交于点C （若角尺另一边无法达到井盖的边上，把角尺当直尺用，延长另一边与井盖边缘交于点C ），度量BC 长即为直径．
解法三：如图（3），把角尺当直尺用，量出AB 的长度，取AB 中点C ，然后把角尺顶点与C 点重合，有一边与CB 重合，让另一边与井盖边缘交于D 点，延长DC 交井盖边于E ，度量DE 长度即为直径．
解法四：如图（4），把井盖卡在角尺间，记录B 、C 的位置，再把角尺当作直尺用，可测得BC 的长度．
记圆心为O ，作OD ⊥BC ，D 为垂足，由垂径定理得BC DC BD 2
1＝＝，且∠BOD ＝∠COD ．
由作图知∠BOC ＝90°，∴ ︒︒⨯∠45902
1＝＝BOD ． 在Rt △BOD 中，︒
45sin BD
BO ＝
，这样就可求出井盖的半径，进而求得直径．
解法五：如图（5），把角尺当作直尺用，先测得AB 的长度，记录A 、B 的位置，再量AC ＝AB ，记录C 的位置，然后测得BC 的长度．
作等腰三角形BAC 底边BC 上的高AD ，D 为垂足． ∵ AD 垂直平分BC ，
∴ 由垂径定理的推论可知AD 一定过圆心O ． 由BC BD 2
1＝，可求出BD ．
∵ AB 已测出．
∴ 在Rt △BDA 中，根据勾股定理可求出AD ． 那么，在Rt △BDO 中，
2
2
2
2
2
)(AO AD BD OD BD OB －＋＝＋＝． 设井盖半径为r ，则2
2
2
)(r AD BD r －＋＝．
∵ BD 、AD 都已知，
∴ 解一元二次方程就可求出井盖的半径r ，这样就可求出井盖的直径．
注：学生的其他测量方案只要符合题目要求，且是可行的都应得分．写出一种方案得4分，两种方案得8分．
30．解：（1）因为工厂每月生产x 件产品，每月利润为y 万元，由题意得
选择方案一时，月利润为
204.02005.055.01－＝－－－＝x x x x y ．……………………………………………2分 选择方案二时，月利润为
x x x x y 35.01.055.02＝－－＝．…………………………………………………………4分
（2）若21y y ＞，即0.4x －20＞0.35x ．
解得 x ＞400．……………………………………………………………………………6分
则当月生产量大于400件时，选择方案一所获得利润较大；
则当月生产量等于400件时，两种方案所获得利润一样大； 则当月生产量小于400件时，选择方案二所获得利润较大．…………………………9分
31．解：（1）∵ 抛物线bx ax y +2＝过点A （2，0），D （1，－1），
∴ ⎩⎨⎧.1.024＝－
＋＝＋b a b a 解得 a ＝1，b ＝－2． 则抛物线的解析式为x x y 22－＝.………………………………………………………1分
（2）在抛物线解析式为x x y 22
－＝中，令y ＝3，
即x x 232－＝．解得11＝－x ，32＝x …………………………………………………1分
则B （－1，3）、C （3，3）．
故 BC ＝4，那么S ＝4×3＝12．…………………………………………………………3分
（3）当P 点在直线BC 下方时， S ＝4×（3－y ）＝12－4y ＝8，y ＝1． 由122＝
－x x ，得211－＝x ，212＋＝x ． 则P 点的坐标为
1P （21－，1），2P （21＋，1）．…………………………………………………5分
当P 点在直线BC 上方时，
S ＝4×（y －3）＝4y －12＝8，y ＝5．
由522＝－x x ，得613－＝x ，614＋＝x ．
则P 点的坐标为
3P （61－，5），4P （61＋，5）．…………………………………………………7分
（4）把x ＝－2代入x x y 22
－＝，得y ＝8，
把x ＝4代入x x y 22－＝，得y ＝8，
当－2≤x ≤4时，顶点D 到BC 的距离为4，抛物线上与线段BC 距离最远的有两个点，坐标分别为（－2，8）、（4，8）与线段BC 的距离都为5．
∴ S 有最大值，其最大值为
S ＝4×（8－3）＝20．……………………………………………………………………9分
32．（1）1，4，10…………………………………………………………………………3分
（2）6123⨯⨯，6234⨯⨯，6345⨯⨯，6
)2)(1(－n n n -…………………………… 5分 （3）平面上有n 个点，过不在同一条直线上的三点可以确定一个三角形，取第一个点A 有n 种取法，取第二个点B 有（n －1）种取法，取第三个点C 有（n －2）种取法，所以一共可以作n （n －1）（n －2）个三角形，但△ABC 、△ACB 、△BAC 、△BCA 、△CAB 、△CBA 是同一个三角形，故应除以6，即6)2)(1(-n n n S n －＝
．……………………………7分 （4）6
)2)(1(-n n n S n －＝
………………………………………………………………8分。