第七章 非正弦周期电流电路

cos(uk
ik )
Uk Ik cosk
第7章 非正弦周期电流电路
P P0 Uk Ik cosk
k 1

Q Uk Ik sink
k 1


S UI U02
U
2 k

I02
I
2 k
k 1
k 1
等效正弦波替代原来的非正弦波。等效的条件是: 等效 正弦量的有效值为非正弦量的有效值，等效正弦量的频率 为基波的频率, 平均功率不变。
第7章 非正弦周期电流电路
例7.2 试把表7.1中振幅为50V、周期为0.02s的三角波电 压分解为傅里叶级数（取至五次谐波）。
解 电压基波的角频率为
2 2 100 rad / s
T 0.02
u(t)

8U m
2
(sin
t

1 9
sin
3t

1 25
sin
5t)

8
k 1
第7章 非正弦周期电流电路
7.2.2 平均值
Iav

1 T
T
i(t) dt
0
当 i(t) Im sint 时, 其平均值为
I av

1
2
2
0 Im sint dt
1

0
Im
s in t
dt

2Im

0.637 Im 0.898 I
第7章 非正弦周期电流电路

3
5
第7章 非正弦周期表电流7电.1路几种周期函数
名称
波形
傅里叶级数 有效值 平均值
正
f (t)
弦
Am
波
0
T
2
f (t)
梯
形 Am
T 2
波
0
a
T 2
－a
f (t) Am sint Am
2 Am
Tt
2

f (t) 4 Am (sin a sint a
1 sin 3a sin 3t)
,等
效电路如图7.5(c)所示, 用相量法计算如下:

U1 100 0V


I 1(1)
U1
100 0

18.6 21.8A
R1 jL 5 j2


I 1(1)

R1
U1
jL

100 10
0 j15

5.55
56.3 A



I1(1) I1(1) I 2(1) (18.6 21.8 5.55 56.3) 2sin 5t

Am
1 4a
3
Am
(1

a

)
T t 25

1 k2
sin
k a s in
kt



)
(k为奇数)
第7章 非正弦周期电流电路
名称
波形
傅里叶级数 有效值
f (t)
三
角 Am
波0
T
2
f (t)
矩 形 Am
波0
T
2
f
(t)

8 Am
2
(sint

1 sin 3t 1 sin 5t
(T t T) 2
根据前述有关知识得
a0

1
2
0
Umd
(t)

1
2
2
(Um )d (t) 0
ak

1


0 Um
coskt
d (t)

1

2
(Um ) coskt d (t) 0
bk

1


0 Um
sin kt
d (t)

0 [U0 Ukm sin(kt uk )][I0 Ikm sin(kt ik )]dt
k 1
k 1
第7章 非正弦周期电流电路
P0

1 T
T
0U0I0dt U0I0
Pk

1 T
T
U
0
km
s
in(kt

uk
)
I
km
s
in(kt

ik
)dt

1 2 UkmIkm
f (t)sin kt d (t)
第7章 非正弦周期电流电路
例7.1 求图7.2所示矩形波的傅里叶级数。
f (t)
Um
T
2
T
O
t
－Um
图 7.2 例 7.1 图
第7章 非正弦周期电流电路
解 图示周期函数在一个周期内的表达式为
f (t) Um
(0 t T ) 2
f (t) Um
名称
波形
傅里叶级数
有效值 平均值
f (t) Am Am
f (t)
2
Am
锯
A (sint 1 sin 2t 2
m
Am
0
齿
T
2T t
1 sin 3t ...
32
波
3
1 sin kt ...)
k
(k 1,2,3...)
第7章 非正弦周期电流电路
1． 周期函数为奇函数

f (t) (ak cos kt bk sin kt) (k为奇数)
k 1
u(t)

Um

4Um

(sint

1 3
sin
3t

1 5
sin 5t

...)
u(t) 2Um
O
T
T
2
(a)
u1(t) Um
O t
(b)
u2(t) Um
t
O
T
2
－ Um
T t
(c)
图 7.4 波形的分解
设周期函数f(t)的周期为T, 角频率ω=2π/T, 则其分解为傅 里叶级数为
f (t) A0 A1m sin(t 1) A2m sin(2t 2 ) Akm sin(kt k )

A0 Akm sin(kt k )
第7章 非正弦周期电流电路
第7章 非正弦周期电流电路
7.1 非正弦周期量及其分解 7.2 非正弦周期电流电路中的有效 值、平均值和平均功率 7.3 非正弦周期电流电路的计算
第7章 非正弦周期电流电路
7.1 非正弦周期量及其分解
i
u
u
O
t
O
t
O
t
(a)
(b)
(c)
图 7.1 几种常见的非正弦波
第7章 非正弦周期电流电路
2 2
2 2
第7章 非正弦周期电流电路
7.3 非正弦周期电流电路的计算
其分析电路的一般步骤如下:
(1) 将给定的非正弦激励信号分解为傅里叶级数, 并根据 计算精度要求, 取有限项高次谐波。
(2) 分别计算各次谐波单独作用下电路的响应, 计算方法 与直流电路及正弦交流电路的计算方法完全相同。对直流 分量, 电感元件等于短路, 电容元件等于开路。对各次谐波, 电路成为正弦交流电路。
(3) 应用叠加原理, 将各次谐波作用下的响应解析式进行 叠加。
第7章 非正弦周期电流电路
例7.5 图7.5(a)所示电路中,
u(t) 10 100 2 sint 50 2 sin(3t 30)V ,
并且已知 L 2,1/C 15, R1 5, R2 10,
coskt ...)
(k 2,4,6...)
f (t) 2 Am ( 1 1 cos2t 2 13
1 cos4t 35
Am
c os k
T
t

2 k2 1
coskt ...)
2
(k 2,4,6...)
平均值
Am

2 Am

第7章 非正弦周期电流电路
i1 R2
i2
I(0) ＋
I1(0) R2
I2(0)
u(t) －
U0
R1
L
C
－
(a)
(b)
＋
u1(t) －
i(1) R1
i1(1 ) R2 L
i2(1 ) C
＋
u3(t) －
i(3) R1
i1(3 ) R2 L
i2(3 ) C
(c)
图 7.5 例 7.5 图
(d)
第7章 非正弦周期电流电路
(2) 在基波分量 u1(t) 100 2 sintV

50
2
(sin 100t

1 9
sin
300t

1 25
sin
500t)
(40.5sin100t 4.50 sin 300t 1.62 sin 500t)V
第7章 非正弦周期电流电路
7.2 非正弦周期电流电路中的有效值、 平均值和平均功率
7.2.1
I 1 T i2 (t)dt
7.2.3 平均功率
P 1
T
p(t)dt
T0

u(t) U0 Ukm sin(kt uk )
k 1

u(t) I0 Ikm sin(kt ik )
k 1
P 1
T p(t)dt 1
T
u(t)i(t)dt
T0
T0
1
T
T

第7章 非正弦周期电流电路
T0

i(t) I0 Ikm sin(kt k )
k 1
I
1 T
T
0 [I0

Ikm sin(kt k )]2 dt
k 1
第7章 非正弦周期电流电路
1
T
T 0
[
I
2 0


I
2 km
s in 2 (kt

k
)]dt

I
2 0


I
2 k
名称
波形
傅里叶级数
有效值
半
f (t)
波 整 Am
流
0
T 4
波
全
f (t)
波
整 Am
流
0
T 4
波
f (t) 2 Am ( 1 cost 24
A 1 cos2t 1 cos4t
13
35
1 cos6t
m
57 T t cosk
2

2 k2 1
9
25
k 1
Tt



(1) k2
2
sin kt
) (k为奇数)
f (t) 4 Am (sint
1 sin 3t 1 sin 5t
3
5
T t 1 sin kt )
k
(k为奇数)
Am 3
Am
平均值
Am 2
Am
第7章 非正弦周期电流电路
bk Akm cosk
a0

1 T
T 0
f (t)dt 1
2
2 0
f (t)d (t)
ak

2 T
T 0
f (t) coskt dt 1
2 0
f (t) coskt d (t)
bk

2 T
T f (t) sin kt dt 1
0

2 0
解 平均功率为
P [10 3 20 6 cos(60)] 60W 22
无功功率为
Q [ 20 6 sin(60)] 52 var 22
视在功率为
S UI
102 ( 20 )2
8
2

32 (
6
)2
2
2

98.1VA
Uav

1 T
T
u(t) dt
0
对周期量, 有时还用波形因数Kf、波顶因数KＡ和畸变 因数Kj来反映其性质:
Kf

I
I av

KA

Im I

第7章 非正弦周期电流电路
对上例的正弦量
Kj

I1 I
Kf

I I av
1.11
KA

Im I

2 1.414
Kj

I1 I
1
第7章 非正弦周期电流电路
cos P P
UI S
第例7章7.4非已正弦知周某期电电路流的电路电压、 电流分别为
u(t) [10 20(100t 30) 8sin(300t 30)]V i(t) [3 6sin(100t 30) 2sin 500t)]V
求该电路的平均功率、 无功功率和视在功率。
k 1

f(t) A0 ( Akm sink coskt Akm cosk sin kt)
k 1
a0 (ak coskt bk sin kt)
k 1
第7章 非正弦周期电流电路
Akm
ak2 bk2
,
tank

ak bk
a0 A0
ak Akm sink
a0 0, ak 0

f (t) bk sin kt
k 1
第7章 非正弦周期电流电路
2． 周期函数为偶函数 偶函数的傅里叶级数中bk=0, 所以偶函数的傅里叶级数 中不含正弦项。
第7章 非正弦周期电流电路
3． 奇谐波函数
f (t)
T
2
T
O
t
图 7.3 奇谐波函数
第7章 非正弦周期电流电路
求各支路电流及R1支路吸收的平均功率。
(1) 在直流分量Ｕ0=10V单独作用下的等效电路如图
7.5(b)所示, 这时电感相当于短路, 而电容相当于开路。各
支路电流分别为
I1(0)
U0 R1
10 5
2A
I2(0) 0
I(0) I1(0) 2 A
第7章 非正弦周期电流电路
i
＋
R1

1

2
(Um ) sin kt
d (t)

2U m
k
(1 coskt)
第7章 非正弦周期电流电路
当k为奇数时,
cosk

1, bk

4Um
k
当k为偶数时, cosk 1,bk 0.
由此可知该函数的傅里叶级数表达式为
f (t) 4Um (sint 1 sin 3t 1 sin 5t )
k 1
k 1
1
T
T
2
0
I
0
I
km
sin(kt