高考数学一轮复习第九章解析几何9-1直线的倾斜角斜率与直线的方程学案理含解析北师大版

第九章解析几何
9.1直线的倾斜角、斜率与直线的方程
必备知识预案自诊
知识梳理
1.直线的倾斜角
(1)定义:当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴与直线l 的方向之间所成的角α叫作直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为.
(2)直线的倾斜角α的取值范围为.
2.直线的斜率
(1)定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=tan α,倾斜角是90°的直线没有斜率.
(2)过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=y2-y1
y2-y1
.
3.直线方程的五种形式
名
称
几何条件方程适用条件
点
斜式过点(x0,y0),斜率为k
与x轴不垂直的
直线
斜
截
式
在y轴上的截距为b,斜率为k
两点式过两点
(x1,y1),(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)
与两坐标轴均不
垂直的直线
截距式在x轴、y轴上的截距分别为
a,b(a,b≠0)
不过原点,且与两
坐标轴均不垂直
的直线
一
般式—
Ax+By+C=0
(A2+B2≠0)
平面内所有直线
1.特殊直线的方程:
(1)过点P1(x1,y1),垂直于x轴的直线方程为x=x1;
(2)过点P1(x1,y1),垂直于y轴的直线方程为y=y1;
(3)y轴的方程为x=0;
(4)x轴的方程为y=0.
2.直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系:
α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k 0 k>0 不存在 k<0
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)直线的倾斜角越大,其斜率越大.
( ) (2)过点M (a ,b ),N (b ,a )(a ≠b )的直线的倾斜角是45°. ( ) (3)若直线的斜率为tan α,则其倾斜角为α.
( ) (4)经过任意两个不同的点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程(y-y 1)(x 2-x 1)=(x-x 1)(y 2-y 1)表示.
( ) (5)直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离. ( )
2.直线2x ·sin 210°-y-2=0的倾斜角是( ) A.45° B.135° C.30 D.150°
3.如图所示,在同一直角坐标系中能正确表示直线y=ax 与y=x+a 的是( )
4.(2020山东德州高三诊测)过直线l :y=x 上的点P (2,2)作直线m ,若直线l ,m 与x 轴围成的三角形的面积为2,则直线m 的方程为 .
5.(2020云南丽江高三月考)经过点(4,1),且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程为 .
关键能力学案突破
考点
直线的倾斜角与斜率
〖例1〗(1)直线x-√3y+1=0的斜率为( )
A.√3
B.-√3
C.√33
D.-√33
(2)已知点A (2,3),B (-3,-2),若直线l 过点P (1,1),且与线段AB 始终没有交点,则直线l 的斜率k 的取值范围是( )
A.34,2
B.-∞,
34
∪(2,+∞)
C.
34
,+∞
D.(-∞,2)
(3)若直线l 的斜率为k ,倾斜角为α,且α∈π6
,
π4
∪
2π3
,π,则k 的取值范围
是 .
思考直线的倾斜角和直线的斜率有怎样的关系? 解题心得直线的斜率与倾斜角的区别与联系
直线l 的斜率k
直线l 的倾斜角α
区别 当直线l 垂直于x 轴时,l 的
斜率k 不存在 当直线l 垂直于x 轴时,l 的
倾斜角α为y
2
联系
①k=tan α,α∈[0,y 2)∪(y
2,y
).
②当α∈0,y 2
时,α越大,l 的斜率越大;当α∈
y 2
,π
时,α越大,l 的斜率越大.
③所有直线都有倾斜角,但不是所有直线都存在斜率
对点训练1(1)直线x cos α+√3y+2=0的倾斜角θ的取值范围是( ) A.[0,
5π6
]
B.[π
6,
5π6
]
C.[π
6,π
2)∪(π
2
,
5π6
] D.[0,π
6]∪[
5π6
,π)
(2)已知点A (2,-3),B (-3,-2),直线l 的方程为-kx+y+k-1=0,且与线段AB 相交,则直线l
的斜率k 的取值范围为( )
A.(-∞,-4〗∪34,+∞
B.-∞,-14
∪34
,+∞
C.-4,34
D.
34
,4
考点
求直线
的方程
〖例2〗(1)过点P (3,-1),且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有 条,方程为 .
(2)已知一条直线经过点A (2,-√3),并且它的倾斜角等于直线x-√3y=0倾斜角的2倍,则这条直线的方程是 .
(3)在△ABC 中,已知A (5,-2),B (7,3),且AC 的中点M 在y 轴上,BC 的中点N 在x 轴上,则直线MN 的方程为 .
思考求直线方程的方法是什么?求直线方程时应注意什么? 解题心得1.求直线方程的方法
(1)直接法:根据已知条件,选择恰当的直线方程形式,求出方程中的系数,写出直线方程;
(2)待定系数法:先根据已知条件设出恰当的直线方程,再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组),解得系数,最后代入设出的直线方程.
2.求直线方程应注意事项
(1)求直线方程时,应结合所给条件选择适当的直线方程形式,并注意各种形式的适用条件.
(2)选择直线方程时,应注意分类讨论思想的应用,选用点斜式或斜截式时,先分类讨论直线的斜率是否存在;选用截距式时,先分类讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是否为0.
(3)求直线方程时,如果没有特别要求,求出的直线方程应化为一般式Ax+By+C=0,且
A≥0.
对点训练2(1)已知直线l经过两条直线l1:x+y=2,l2:2x-y=1的交点,且直线l的一个方向向量v=(-3,2),则直线l的方程是()
A.-3x+2y+1=0
B.3x-2y+1=0
C.2x+3y-5=0
D.2x-3y+1=0
(2)过点(-2,-3)且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程是.
(3)已知2x1-3y1=4,2x2-3y2=4,则过点A(x1,y1),B(x2,y2)的直线l的方程
是.
考
点
直线方程的
应用(多考向探
究)
考向1与基本不等式及函数性质相结合的最值问题
〖例3〗(1)已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,若0<a<2时,直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,实数a= .
(2)
已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,如图所示,求△AOB 的面积的最小值及此时直线l的方程.
解题心得求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程,建立目标函数,再利用函数的单调性或基本不等式求解.
考向2与函数的导数的几何意义相结合的问题
〖例4〗设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为0,π
4 ,则点P的横坐标的取值范围为()
A.-1,-1
2
B.〖-1,0〗
C.〖0,1〗
D.1
2
,1
思考直线方程与函数的导数的几何意义相结合的问题常见解法是什么?
解题心得解决与函数的导数的几何意义相结合的问题,一般是利用导数在切点处的值等于切线的斜率来求解相关问题.
对点训练3(1)若直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为()
A.1
B.4
C.2
D.8
(2)曲线xy-x+2y-5=0在点A(1,2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为()
A.9
B.49
6
C.9
2D.11
3
1.涉及直线的倾斜角与斜率的转化问题,要想到k=tanα,必要时可结合正切函数的图像求解.
2.求直线方程常用的方法是直接法和待定系数法,但在特定条件下,应考虑下面的设法:
(1)已知直线在y轴上的截距,常设方程的斜截式;
(2)已知直线在x轴上的截距和在y轴上的截距,常设方程的截距式(截距均不为0);
(3)已知直线的斜率和所过的定点,常设方程的点斜式,但如果只给出一个定点,一定不要遗漏斜率不存在的情况;
(4)仅知道直线在x轴上的截距,常设方程形式为x=my+a(其中a是直线在x轴上的截距,m 是参数),注意此种设法不包含斜率为0的情况,且在圆锥曲线章节中经常使用.
1.斜率公式k=y2-y1
x2-x1
(x1≠x2)与两点的顺序无关,且两点的横坐标不相等,若题目中未明确说明两点的横坐标不相等,则要分类讨论.
2.设直线方程时,一定要弄清题目中的信息,不要凭空想,涉及特殊情况最好单独处理,然后处理常规情况.
第九章解析几何
9.1直线的倾斜角、
斜率与直线的方程
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.(1)正向向上0°(2)0°≤α<180°
3.y-y0=k(x-x0)y=kx+b y-y1
y2-y1=y-y1
y2-y1
y
y
+y
y
=1
考点自诊
1.(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×
2.B由题意得斜率k=2sin210°=-2sin30°=-1,故倾斜角为135°.故选B.
3.C当a>0时,由y=ax可知C,D错误,由y=x+a可知A,B也错误;当a<0时,由y=ax可知A,B 错误,由y=x+a可知D错误,C正确.故选C.
4.x-2y+2=0或x=2①若直线m的斜率不存在,则直线m的方程为x=2,此时直线m,直线l 和x轴围成的三角形的面积为2,符合题意;②若直线m的斜率存在,则由题意可知其斜率
k≠0,设直线m的方程为y-2=k(x-2)(k≠0),令y=0,得x=2-2
y ,依题意有1
2
×|2-2
y
|×2=2,即
|1-1
y |=1,解得k=1
2
,故直线m的方程为y-2=1
2
(x-2),即x-2y+2=0.综上可知,直线m的方程为
x-2y+2=0或x=2.
5.x-4y=0或x+y-5=0设直线l在两坐标轴上的截距均为a.
若a=0,则直线l过点(0,0)和(4,1),所以直线l的方程为y=1
4
x,即x-4y=0.
若a≠0,则直线l的方程为y
y +y
y
=1,
因为直线l过点(4,1),所以4
y +1
y
=1,
解得a=5,所以直线l的方程为y
5+y
5
=1,即x+y-5=0.
综上可知,直线l的方程为x-4y=0或x+y-5=0.
关键能力·学案突破例1(1)C(2)A(3)〖-√3,0)∪[√3
3
,1)
(1)x-√3y+1=0可化为y=√33x+√33,则斜率k=√33
,故选C.
(2)由已知得k AP =3-1
2-1=2,k BP =-2-1
-3-1=3
4.如图,因为直线l 与线段AB 始终没有交点,所以斜率
k 的取值范围是(3
4,2).故选A.
(3)当π
6
≤α<π
4
时,√33
≤tan α<1,故√33
≤k<1.当
2π3
≤α<π时,-√3≤tan α<0,故
-√3≤k<0.
综上可知,k ∈〖-√3,0)∪[√33
,1).
对点训练1(1)D (2)A (1)由已知得tan θ=-√3
3
cos α.
∵cos α∈〖-1,1〗,∴-√3
3≤-√3
3cos α≤√3
3,即-√3
3≤tan θ≤√3
3,解得θ∈[0,π
6]∪[5π6
,π).
故选D .
(2)由-kx+y+k-1=0,即y-1=k (x-1),可知直线l 恒过定点P (1,1),则k AP =-4,k BP =3
4. 作出直线AP ,BP (图略),可知当直线l 与线段AB 相交时,直线l 的斜率k 的取值范围为(-∞,-4〗∪[3
4,+∞).故选A .
例2(1)3 x+3y=0,x+y-2=0,x-y-4=0 (2)√3x-y-3√3=0 (3)5x-2y-5=0
(1)①当截距不为0,且截距相等时,设直线方程为y y +y y
=1(a ≠0),将点P 的坐标代入直线方程,解得a=2,所以直线方程为x+y-2=0;
②当截距不为0,且截距互为相反数时,设直线方程为y y +y
-y =1(b ≠0),将点P 的坐标代入直线方程,解得b=4,所以直线方程为x-y-4=0;
③当截距为0时,设直线方程为y=kx ,将点P 的坐标代入直线方程,解得k=-1
3,所以直线方程为x+3y=0.
综上可知,直线有3条,方程为x+3y=0,x+y-2=0,x-y-4=0.
(2)由已知得直线x-√3y=0的斜率为√3
3,则其倾斜角为30°,故所求直线的倾斜角为60°,斜率为√3,故所求直线的方程为y-(-√3)=√3(x-2),即√3x-y-3√3=0.
(3)设C (x 0,y 0),则
M (
y 0+52
,
y 0-22
),N (
y 0+72
,
y 0+32
).
因为点M 在y 轴上,所以
y 0+52
=0,解得x 0=-5.因为点N 在x 轴上,所以
y 0+32
=0,解得y 0=-3.
所以M (0,-5
2),N (1,0),所以直线MN 的方程为y
1
+y -52
=1,即5x-2y-5=0.
对点训练2(1)C (2)3x-2y=0或x-y-1=0 (3)2x-3y-4=0 (1)解方程组{y +y =2,
2y -y =1,
得
{
y =1,
y =1,
所以两直线的交点为(1,1).
因为直线l 的一个方向向量v =(-3,2),所以k=-2
3
.所以直线l 的方程为y-1=-2
3
(x-1),即
2x+3y-5=0.故选C .
(2)根据题意,分两种情况讨论:
①若直线过原点,又由直线过点(-2,-3),则其方程为y=3
2x ,即3x-2y=0.
②若直线不过原点,由该直线在x 轴、y 轴上的截距互为相反数,设此时直线的方程为
y y −y
y
=1, 又由直线过点(-2,-3),则有-2y −-3
y =1,解得a=1,故此时直线的方程为x-y-1=0. 综上可得,所求直线的方程为3x-2y=0或x-y-1=0.
(3)因为(x 1,y 1)满足方程2x 1-3y 1=4,所以(x 1,y 1)在直线2x-3y=4上.同理(x 2,y 2)也在直线2x-3y=4上.由两点确定一条直线,可知过点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)的直线l 的方程是2x-3y-4=0. 例3(1)1
2 直线l 1可写成a (x-2)=2(y-2),直线l 2可写成2(x-2)=a 2
(2-y ),所以直线l 1,l 2恒过定点P (2,2),直线l 1在y 轴上的截距为2-a ,直线l 2在x 轴上的截距为a 2
+2,又0<a<2,所以四边形的面积S=1
2×2×(2-a )+1
2×2×(a 2
+2)=a 2
-a+4=a-1
22
+154,故当a=1
2时,四边形的面积最小.
(2)解(方法1)依题意,设直线l 的方程为y y +y y
=1(a>0,b>0),将点P (3,2)的坐标代入方程得3
y
+2
y =1≥2√6
yy ,即ab ≥24,当且仅当3
y =2
y 时,等号成立,从而S △AOB =1
2ab ≥12,故△AOB 的面积的最小值为12,此时直线l 的斜率k=-y y =-2
3,从而所求直线l 的方程为2x+3y-12=0.所以△AOB 的面积的最小值为12,此时直线l 的方程为2x+3y-12=0.
(方法2)依题意,直线l 的斜率k 存在,且k<0,可设直线l 的方程为y-2=k (x-3)(k<0),
则A (3-2
y
,0),B (0,2-3k ),
所以S △AOB =1
2(2-3k )(3-2
y )
=12[12+(-9y )+4
(-y )]
≥1
2[12+2√(-9y )·4
(-y )]
=1
2×(12+12)=12,
当且仅当-9k=4
-y ,即k=-2
3时,等号成立.此时直线l 的方程为2x+3y-12=0. 所以△AOB 的面积的最小值为12,此时直线l 的方程为2x+3y-12=0. 例4A 由题意知y'=2x+2.
设P (x 0,y 0),则在点P 处的切线斜率k=2x 0+2.
因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为[0,π
4],所以0≤k ≤1,即0≤2x 0+2≤1,解得-1≤x 0≤-1
2.
对点训练3(1)B (2)B (1)因为直线ax+by=ab 过点(1,1),所以a+b=ab ,即1
y
+1
y =1.因为直
线在x 轴上的截距为b ,在y 轴上的截距为a ,所以直线在x 轴、y 轴上的截距之和为
a+b.a+b=(a+b )(1y +1y )=2+y y +y y ≥2+2√y y ·y
y =4,当且仅当a=b=2时取等号,故最小值为4.
故选B.
(2)由xy-x+2y-5=0,
得y=y +5
y +2,∴y'=
-3
(y +2)
2
,
∴曲线在点A (1,2)处的切线斜率k=
-3
(1+2)
2
=-1
3,
∴曲线在点A (1,2)处的切线方程为y-2=-1
3(x-1).令x=0,得y=7
3;令y=0,得x=7.∴所求三角形的面积S=1
2
×7
3
×7=49
6
.故选B .。