2019年江苏省盐城市阜宁县第一高级中学高二数学文期末试题含解析

2019年江苏省盐城市阜宁县第一高级中学高二数学文
期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 等比数列{a n}中，a n >0，且a5 a6+ a4 a7=18，b n=log3 a n，数列{b n }的前10项和是
（A）12 （B）10 （C）8 （D）2+log35参考答案：
B
2. a = 1是直线和互相垂直的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也非必要条件
参考答案：
A
略
3. 观察下图：
1
23 4
34567
45678910
……
则第________行的各数之和等于2 0132 ()．
A．2 014 B．2 013 C．1 007 D．1 008
参考答案：
C
4. 命题“若a=0,则ab=0”的逆否命题
是（）
A．若ab=0,则a=0 B. 若a≠0，则ab≠0
C．若ab=0,则a≠0 D. 若ab≠0，则a≠0
参考答案：
D
5. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则向量等于()
A．－a＋b＋c B．a＋b＋c
C．－a－b＋c D．a－b＋c
参考答案：
B
略
6. 若如图的程序框图输出的，可输入的的值的个数为（）
（A）（B）
（C）（D）
参考答案：
D
略
7. ，，，是实数，“＝”是“，，，成等比数列”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：
B
8. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）
A．2+B．4+C．2+2D．5
参考答案：
C
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，
EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，AC=，OE=
判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积．
【解答】解：根据三视图可判断直观图为：
OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，
EA=2，EC=EB=1，OA=1，
∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，
运用直线平面的垂直得出：BC⊥面AEO，AC=，OE=
∴S△ABC=2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．
S△BCO=2×=．
故该三棱锥的表面积是2，
故选：C．
【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观图，得出几何体的性质．
9. 设为互不重合的平面，为互不重合的直线，给出下列四个命题：
①若；②若∥∥，则∥；
③若；④若.
其中正确命题的序号是 ( )
A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④
参考答案：
B
10. 执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）
A．B．C．
D．
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 不等式的解集为____________
参考答案：
略
12. 在数列{a n}中，已知a1+a2+…+a n=2n﹣1，则a n= ．
参考答案：
2n﹣1
【考点】数列递推式．
【分析】由已知递推式求得数列首项，且得到n≥2时的另一递推式a1+a2+…+a n﹣1=2n﹣1﹣1，与原递推式作差后验证首项得答案．
【解答】解：由a1+a2+…+a n=2n﹣1①，可得a1=1，
且a1+a2+…+a n﹣1=2n﹣1﹣1（n≥2）②，
①﹣②得：．
当n=1时，上式成立．
∴a n=2n﹣1．
故答案为：2n﹣1．
13. 命题“”的否定是
参考答案：
14. 定义运算，复数z满足，则复数z= ．
参考答案：
2﹣i
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】根据给出的定义把化简整理后，运用复数的除法运算求z．
【解答】解：由，得．
故答案为2﹣i．
15. 某篮球运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进3个球的概率为________(用数值作答).
参考答案：
【分析】
直接运用独立重复试验次，有次发生的事件的概率公式进行求解.
【详解】投球10次，恰好投进3个球的概率为,故答案为.
【点睛】本题考查了独立重复试验次，有次发生的事件的概率公式，考查了数学运算能力.
16. 已知函数，则▲．
参考答案：
略
17. 若二次函数f（x）=x2﹣ax﹣a﹣1在[1，+∞）上单调递增，则a的取值范围为．参考答案：
a≤2
【考点】二次函数的性质．
【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】若二次函数f（x）=x2﹣ax﹣a﹣1在[1，+∞）上单调递增，则≤1，解得答案．
【解答】解：∵二次函数f（x）=x2﹣ax﹣a﹣1的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，
若二次函数f（x）=x2﹣ax﹣a﹣1在[1，+∞）上单调递增，
则≤1，即a≤2，
故答案为：a≤2
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．
（1）求证：PD⊥平面PAB．
（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
（3）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
参考答案：
（）见解析．（）．（）存在，．
（）∵面面，面，且，
∴面，
∴，
又∵，，
∴面．
（）如图所示建立空间直角坐标系，
设直线与平面所成角为，
∴，，，，
则有，，，
设平面的法向量为．
由，得，
∴．
又∵直线与平面所成角为锐角，
∴所求线面角的正弦值为．
（）假设存在这样的点，
设点的坐标为．
则，
要使直线面，
即需要求．
∴，
解得，
此时．
19. 椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点（）的准线与
轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.
（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；
（Ⅱ）若，求直线PQ的方程。

（Ⅰ）解：由题意，可设椭圆的方程为.由已知得解得
所以椭圆的方程为，离心率.
（Ⅱ）解：由（1）可得A（3，0）.设直线PQ的方程为.由方程组得
依题意，得.
设，则，. 由直线PQ的方程得
.于是.
∵，∴. 得，从而.
所以直线PQ的方程为或.
参考答案：
略
20. 已知命题：函数是增函数，命题：。

（1）写出命题的否命题；并求出实数的取值范围，使得命题为真命题；（2）如果“” 为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围。

参考答案：
略
21. 平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣=0
交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．
（Ⅰ）求M的方程
（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
参考答案：
【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线可解得c．设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），利用“点差法”即可得到a，b的关系式，再与a2=b2+c2联立即可得到a，b，c．
（Ⅱ）由CD⊥AB，可设直线CD的方程为y=x+t，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|CD|．把直线x+y﹣=0与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即
可得到弦长|AB|，利用S四边形ACBD=即可得到关于t的表达式，利用二次函数的单调性即可得到其最大值．
【解答】解：（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线x+y﹣=0得c+0﹣=0，解得c=．设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），
则，，相减得，
∴，
∴，又=，
∴，即a2=2b2．
联立得，解得，
∴M的方程为．
（Ⅱ）∵CD⊥AB，∴可设直线CD的方程为y=x+t，
联立，消去y得到3x2+4tx+2t2﹣6=0，
∵直线CD与椭圆有两个不同的交点，
∴△=16t2﹣12（2t2﹣6）=72﹣8t2＞0，解﹣3＜t＜3（*）．
设C（x3，y3），D（x4，y4），∴，．
∴|CD|===
．
联立得到3x2﹣4x=0，解得x=0或，
∴交点为A（0，），B，
∴|AB|==．
∴S四边形ACBD===，
∴当且仅当t=0时，四边形ACBD面积的最大值为，满足（*）．
∴四边形ACBD面积的最大值为．
22. 已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），过椭圆C的上顶点与右顶点的直线L，与圆
x2+y2=相切，且椭圆C的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过点O作两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于A，B两点（其中O为坐标原
点），求△OAB面积的最小值．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）过椭圆C的上顶点与右顶点的直线L为=1，即bx+ay﹣ab=0．由直线
L与圆x2+y2=相切相切，可得=．由抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），可得c=1．即a2﹣b2=1，联立解出即可得出．
（Ⅱ）当两射线与坐标轴重合时，S△OAB=．当两射线不与坐标轴重合时，设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆方程联立，消去y，得（3+4k2）
x2+8kmx+4m2﹣12=0．因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，所以x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0．把根与系数的关系代入可得得7m2=12（k2+1），所以点O到直线AB的距离
d==．因为OA⊥OB，所以OA2+OB2=AB2≥2OA?OB，当且仅当OA=OB时，取等号．由d?AB=OA?OB，得d?|AB|=|OA|?|OB|≤，即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）过椭圆C的上顶点与右顶点的直线L为=1，即bx+ay﹣ab=0．
由直线L与圆x2+y2=相切相切，得=．①…
因为抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），所以c=1．…
即a2﹣b2=1，代入①，得7a4﹣31a2+12=0，
即（7a2﹣3）（a2﹣4）=0，解得a2=4，a2=（舍去）．…
所以b2=a2﹣1=3．故椭圆C的标准方程为=1．…
（Ⅱ）当两射线与坐标轴重合时，S△OAB==．…
当两射线不与坐标轴重合时，设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
与椭圆方程联立，消去y，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．
∴x1+x2=，x1?x2=．…
因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，
所以x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0．
即（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m2=0．…
∴（k2+1）﹣+m2=0．…
整理，得7m2=12（k2+1），
所以点O到直线AB的距离d===．…
因为OA⊥OB，所以OA2+OB2=AB2≥2OA?OB，当且仅当OA=OB时，取等号．由d?AB=OA?OB，得d?|AB|=|OA|?|OB|≤，
所以|AB|≥2d=，即弦AB的长度的最小值是．
所以△OAB的最小面积为S△OAB=×=．
综上，△OAB面积的最小值为．…。