专题3-4 分离常数参数法测-2018年高考数学文二轮复习

2018届高三二轮精品 第三篇 方法应用篇 测试卷
总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______
（一）选择题（12*5=60分）
1.【2018届海南省高三二模】已知x 为锐角，
cos sin a x
x
-=a 的取值范围为（ ）
A. []
2,2-
B. (
C. (]
1,2 D. ()1,2 【答案】
C
2.【2018届江西省上高县第二中学高三上学期第四次月考】若不等式230x
a x log -<对任意10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
恒成
立，则实数a 的取值范围为（ ） A. [
1,127）
B. 1,127⎛⎫ ⎪⎝⎭
C. 10,27⎛⎫ ⎪⎝⎭
D. 10,27⎛⎤
⎥⎝⎦
【答案】A
【解析】构造函数f （x ）=3x 2
，g （x ）=-log a x ， 10,3x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
∵不等式3x 2
-log a x ＜0对任意10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
恒成
立，∴f （13）≤g（13）∴3•19
- 1
3
a log ≤0．
∴0＜a ＜1且a≥127∴实数a 的取值范围为[1127
，） 故选A.
3. 已知函数()3
,f x x x R =∈，若当02
π
θ≤<
时， ()()sin 10f m f m θ+->恒成立，则实数m 的取值
范围是（ ）
A. ()0,1
B. (),0-∞
C. ()1,+∞
D. (),1-∞ 【答案】D
【解析】()f x 是奇函数，单调递增，所以()()sin 1f m f m θ>-，得sin 1m m θ>-，
所以1
11sin m θ
<≤-，所以1m <，故选D 。

4.若不等式2
23xlnx x ax ≥－＋－恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，0)
B ．(－∞，4]
C ．(0，＋∞)
D ．[4，＋∞)
【答案】B. 【解析】
5.若存在正数x 使1)(2<-a x x
成立，则a 的取值范围是（ ）
A ．(,)-∞+∞
B ．(1,)-+∞
C ．(0,)+∞
D ．(2,)-+∞ 【答案】B
【解析】因为20x
>，故12x x a -<
，12x a x >-，记1()2x
f x x =-，则()f x 单调递增，所以()1f x >-，若存在正数x 使1)(2<-a x x
成立，则a 的取值范围是(1,)-+∞．
6. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132
n n t S ++=，若对任意的*
n N ∈， ()()23275n S n λ+≥-恒
成立，则实数λ的取值范围为( ) A. 1,81⎡⎫+∞⎪⎢
⎣⎭ B. 1,27⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C. 1,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D. 1,16⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
【答案】A
7.【2018届陕西省榆林市高考模拟第一次测试】已知()3
,f x x x x R =+∈，若当02
π
θ≤≤
时，
()()sin 10f m f m θ+->恒成
立，则实数m 的取值范围是（ ） A. (),1-∞- B. (),1-∞ C. 1,2⎛⎫
-∞ ⎪⎝⎭
D. ()0,1 【答案】B
【解析】函数()3
f x x x =+， x R ∈ 是奇函数，且在R 上是增函数；
所以不等式()()sin 10f m f m θ+->可化为()()sin 1f m f m θ>-， 即sin 1m m θ>-，即()1sin 1m θ-<对任意02
π
θ≤≤
恒成立；
2
π
θ=时，不等式恒成立； 2π
θ≠
时，等价于11sin m θ<
-对任意02
π
θ≤<恒成立,
因为02π
θ≤<
时， 01sin θ≤< , 011sin θ<-≤,所以
1
11sin θ
≥-,
所以11sin m θ<-恒成立等价于1
1sin m θ
<-的最小值，则1m <,故选B.
8.【2018届高三训练题】若不等式2
log 0a x x -<对10,
2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A. ()0,1
B. 1,116⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭
C. ()1,+∞
D. 10,16⎛⎤ ⎥⎝⎦ 【答案】B
【解析】不等式2
log 0a x x -<对10,
2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，即不等式2
log a x x <对10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
恒成立, 只需
()21f x x =在10,2
⎛⎫
⎪⎝
⎭
内的图象在()2log a f x x =图象的下方即可，当1a >时，显然不成立；当01a <<时，
在同一坐标系中作出函数()2
1f x x =和函数()2log a f x x =的图象（如图所示），则2
11log 22a ⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
，即
116a ≥
，所以1
116
a ≤<；故选B. 9.【2016届高三山西省大同市调研】已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时， )3|2||(|2
1
)(222a a x a x x f --+-=
，若 ，)()1(x f x f ≤-，则实数a 的取值范围为（ ） A.]61,61[- B.]66,66[- C. ]3
1,31[- D. ]33,33[- 【答案】B
10. 设函数()2
22f x ax x =-+，对于满足14x <<的一切x 值都有()0f x >，则实数a 的取值范围为
（ ） A. 1a ≥ B. 112a << C. 12a ≥ D. 12
a > 【答案】D 【解析】
满足14x <<的一切x 值，都有()2
220f x ax x =-+>恒成立，可知
()22
211110,242x a a x x ⎡⎤
-⎛⎫≠∴>
=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，满足14x <<的一切x 值恒成立，
11
14x
<<， 2111120,422x ⎡⎤⎛⎫⎛⎤∴--∈⎢⎥ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦
⎢⎥⎣⎦，实数a 的取值范围是1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭，实数a 的取值范围为12a >，故选D.
11.定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有
()()1212
0f x f x x x -<-，且函数()1y f x =-的图象
关于（1,0）成中心对称，若,s t 满足不等式(
)(
)
2
2
22f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，
2t s
s t
-+的取值范围是（ ） A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．15,2⎡
⎫--⎪⎢⎣
⎭ D ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 【答案】D
12.现有两个命题：
（1）若lg lg lg()x y x y +=+，且不等式2y x t >-+恒成立，则t 的取值范围是集合P ； （2）若函数()1
x
f x x =
-，()1,x ∈+∞的图像与函数()2g x x t =-+的图像没有交点，则t 的取值范围是集合Q ；则以下集合关系正确的是（ ）
A ．P Q Ü B.Q P Ü C.P Q = D.P Q =∅
【答案】C
【解析】对（1）：由lg lg lg()x y x y +=+得xy x y =+即(0,0)1
x
y x y x =
>>-. 不等式2y x t >-+恒成立，等价于2t x y <+恒成立.这只需min (2)t x y <+即可.
(1)111222212(1)331111x x x y x x x x x x x x -++=+
=+=++=-++≥----（当1x =+时，
取等号）.t 的取值范围是3t <+.
二、填空题（4*5=20分）
13. 已知函数2
1
()=2ln 2
f x x ax x +-，若()f x 在区间1[2]3
，
上是增函数，则实数a 的取值范围______. 【答案】43
a ≥. 【解析】 ∵120f x x a x '()=+-≥在1[2]3，恒成立，即12a x x ≥-+在1
[2]3，恒成立， ∵max
18
()3
x x
-+=，∴823a ≥，即43a ≥.
14.【2018届福建省仙游金石中学高三上学期期中】 当0x >时，不等式2
30x mx -+>恒成立，则实数m
的取值范围是__________. 【答
案】(,-∞
15.【2018届河南省南阳市第一中学高三第六次考试】已知函数()3
31f x ax x =-+对(]
0,1x ∈总有
()0f x ≥成立，则实数a 的取值范围是__________．
【答案】[4，＋∞)
【解析】当x ∈(0,1]时不等式ax 3
－3x ＋1≥0可化为a≥
331x x -，设g(x)＝3
31
x x
-，x ∈(0,1]，g′(x)＝()3
2
64
1633132x x x x x x ⎛
⎫- ⎪
--⎝⎭=-，因此g(x)的最大值为4，则实数a 的取值范围是[4，＋∞)．
故答案为[4，＋∞).
16.【2018届上海市长宁、嘉定区高三第一次质量调研（一模）】若不等式()2
2
2x y cx y x -≤-对任意满足
0x y >>的实数x ， y 恒成立，则实数c 的最大值为__________．
【答案】4
三、解答题（6*12=72分）
17.【2018届河南省豫南九校高三下学期第一次联考】设正项等比数列{}n a ， 481a =，且23,a a 的等差中项为
()123
2
a a +. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若321l o g n n b a -=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}n c 满足141
n n c S =-， n T 为数列{}n c 的前n 项
和，若n T n λ<恒成立，求λ的取值范围.
【答案】（1）3n n a =（2）1
3
λ>
【解析】【试题分析】（1）利用基本元的思想将已知转化为1,a q 的形式列方程组解出1,a q ，由此得到通项公式.（2）化简21n b n =-，是个等差数列，求得其前n 项和为2n ，利用裂项求和法可求得n T 的值，代入不等式，利用分离常数法可求得1
3
λ>
.
18. 已知函数()2
ln f x x ax x =+-.
（Ⅰ）若1a =，求函数()y f x =的最小值；
（Ⅱ）若函数()y f x =在[]
1,2上是减函数，求实数a 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)
3ln24+；(Ⅱ) 72
a ≤-.
【解析】试题分析：
（Ⅰ）若1a =，则()2
f x x x lnx =+-. ()
()()211'x x f x x
-+=
，据此结合函数的单调性可得
19.已知函数()log a f x x =，()2log (22)a g x x t =+-，其中0a >且1a ≠，t R ∈． （I ）若4t =，且1
[,2]4
x ∈时，()()()F x g x f x =-的最小值是－2,求实数a 的值； （II ）若01a <<，且1[,2]4
x ∈时，有()()f x g x ≥恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（I ）15
；（II ）[2,)+∞. 【解析】 （I ）∵4t =，
∴2
4(1)()()()2log (22)log log a a a x F x g x f x x x x
+=-=+-=
20.已知数列{}n a 是等比数列，首项11a =，公比0q >,其前n 项和为n S ,且113322,,S a S a S a +++,成等差数列.
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足11,2n n
a b n n a T +⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
为数列{}n b 前n 项和，若n T m ≥恒成立，求m 的最大值.
【答案】（1）1
12n n a -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
；（2）1.
【解析】
21.已知函数()ln f x b x =．
（1）当1b =时，求函数2
()()G x x x f x =--在区间1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值与最小值；
（2）若在[]1,e 上存在0x ，使得000
1()b
x f x x +-<-
成立，求b 的取值范围． 【答案】（1）2
1e e --，0；（2）21
(,2)(
,)1
e e +-∞-+∞-. 【解析】
（1）当1b =时，2
()()G x x x f x =--2
ln (0)x x x x =-->，
(21)(1)
'()x x G x x
+-=
，
令'()0G x =，得1x =，
当x 变化时，()G x ，'()G x 的变化情况如下表：
故()h x 在[]1,e 上的最小值为()h e ，由1()0b
h e e b e +=+-<，可得211e b e +>
-． 因为2111e e e +>--，所以21
1
e b e +>-． ②当11b +≤，即0b ≤时，()h x 在[]1,e 上单调递增， 故()h x 在[]1,e 上的最小值为(1)h ，由(1)110h b =++<， 可得2b <-（满足0b ≤）．
③当11b e <+<，即01b e <<-时，()h x 在(1,1)b +上单调递减，在(1,)b e +上单调递增，故()h x 在[]1,e 上的最小值为(1)2ln(1)h b b b b +=+-+． 因为0ln(1)1b <+<，所以0ln(1)b b b <+<，
所以2ln(1)2b b b +-+>，即(1)2h b +>，不满足题意，舍去．
综上可得2b <-或21
1
e b e +>-，
所以实数b 的取值范围为21
(,2)(
,)1
e e +-∞-+∞-． 22. 已知函数()()2
1f x a x x =++．
（1）当0a =时，求证： ()f x 函数是偶函数； （2）若对任意的[
)()1,00,x ∈-⋃+∞，都有()1
f x ax a x
≤+
+，求实数a 的取值范围； （3）若函数()f x 有且仅有4个零点，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)见解析；（2）a 的取值范围为12,4⎡⎤--⎢⎥⎣
⎦；（3）a 的取值范围为1,04
⎛⎫- ⎪⎝⎭
.
在21,02a a -⎛⎫
-
⎪⎝⎭上单调减，而2141
024a a f a a --⎛⎫-=
> ⎪⎝⎭
， ()00f a =<， 所以()f x 在(),0-∞内有两个零点， 再分12a ≤-
，和1
02
a -<<两种情况讨论,可得实数a 的取值范围．
试题解析:（1）当0a =时， ()f x x =，定义域为R ． 因为对任意的x R ∈，都有()()f x x x f x -=-==， 所以函数()f x 是偶函数．
（2）由题意知， ()2
1
1a x x ax a x
++≤+
+在[)()1,00,-⋃+∞上恒成立，
①若0a >，则21
02a a
+-
<，所以()f x 在[)0,+∞上单调增，则()()00f x f a ≥=>， 因此()f x 在[
)0,+∞内无零点，
而()f x 在(),0-∞内最多有两个零点，不符合题意； ②若0a <，则2102a a --
<，所以()f x 在21,2a a -⎛
⎫-∞- ⎪⎝⎭
上单调增，
在21,02a a -⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调减，而2141024a a f a a --⎛⎫-=
> ⎪⎝⎭， ()00f a =<，。