习题课三 极限的计算(题目)

极限存在，并求此极限。
2. 设{ xn } 满足条件： x1 0 ， xn1 6 xn ， n1, 2, ，
试证数列 xn极限存在，并求此极限。
3. 给定两个正数a，b(b a)，作两个数列xn yn：
x1 a, y1 b, xn1
xn yn , yn1
xn
2
yn
证明：xn
yn
都收敛，且 lim n
习题课三 极限计算
习题课三 极限的计算
数列极限的计算
一、计算下列各题
1．
lim (
n
n2
1 n1
n2
2 n2
n2
n nn
)
2．
nlim[ (nn1)2
n (n 2)2
n (n n)2
]；
3．
lim(
n
n k 1
1 k2
1
)n
4． lim n 1 xn ( x2 )n ( x 0)
n
2
5． lim 1 3 L 2n 1 lim (2n 1)!!
（3） 若{ xn } 无界，则{ yn } 必为无穷小。
（4）
若
{
1 xn
}
为无穷小，则
{
yn
}
必为无穷小。
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习题课三 极限的计算
二、填空题
1．
lim
x
x2 5cosx 3x2 6sinx
； 2. lim x sin x ______
x
x
3. 设 f ( x)
1
1
,
lim
x0
f (x)
__, lim x0
xn
lim
n
yn。
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习题课三 极限的计算
无穷大量和无穷小量及函数极限的计算
一、问答题
1．有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量，能否说
有界函数与无穷大量的乘积是无穷大量？
2．无界函数是否一定是无穷大量？
3．{ xn } 和{
yn }
满足 lim n
xn
yn
0 ，则下面断言正确的是？
（1） 若{ xn } 发散，则{ yn } 必发散。 （2） 若{ xn } 无界，则{ yn } 必有界。
n 2 4
2n n (2n)!!
2
习题课三 极限的计算
二、证明题
1．若
xn1 q
xn
（ 0q1， n1, 2,
），证明: lim xn 0 。
n

0
(a
1)
。
3．设
a0
，
a1
a
,
a2
a 2
a1
,
,
an
a n
an1
，
证明:
lim
n
an
=0
。
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习题课三 极限的计算
三、解答题
1． 设 x110 ， xn1 6 xn ， n1, 2, ，试证数列 xn
f ( x) __ .
1 ex
4．已知 x0 时， 2x2 3x3 与 sin ax2 是等价无穷小， 3
则常数 a=
。
5．若当 n 时， sin(2
n2
1) ~
nk
，则 k
__ 。
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习题课三 极限的计算
三、求下列极限:
1. lim (sin x1sin x ) ； 4. lim( 5 x5 2 x4 1 x)
x
x
2. lim x0
1 x2
3 1 2sin2 tan2 x
x;
5.
lim
x
4x2 x 1 x 1 x2 sin x
3. lim x0
sin2 x 1 x tan x
; cos x
1
6.
lim
x0
2 1
e e
x
4 x
sin x x
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