内蒙古自治区赤峰市宁城一村中学2021年高三数学理模拟试题含解析

内蒙古自治区赤峰市宁城一村中学2021年高三数学理
模拟试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，下列关于函数f（x）的命题：
（2）函数f（x）在（0，2）上是减函数；
（3）如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；
（4）当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点．
其中真命题的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
参考答案：
A
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象，再借助与图象和导函数的图象，对四个命题，一一进行验证，对于假命题采用举反例的方法进行排除即可得到答案．
【解答】解：函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如表，
f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示：
由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象如图：
由图得：∵函数的定义域为闭区间，而周期函数的定义域一定是无界的，
故①为假命题；
②为真命题．因为在[0，2]上导函数为负，故原函数递减；
由已知中y=f′（x）的图象，及表中数据可得当x=0或x=4时，
函数取最大值2，
若x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么0≤t≤5，故t的最大值为5，即③错误；∵函数f（x）在定义域为[﹣1，5]共有两个单调增区间，两个单调减区间，
故函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个，即④错误，
故选：A．
2. 为等差数列，为其前项和，已知则
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
3. 设，函数，若，则等于 ( )
参考答案：
C
4. 要得到函数的图象，可以将函数的图象
(A)沿x轴向左平移个单位（B)沿x向右平移个单位
(C)沿x轴向左平移个单位（D)沿x向右平移个单位
参考答案：
B
,根据函数图象平移的“左加右减”原则，应该将函数的图象向右平移个单位.
5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图的面积为（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
【分析】
根据三视图的几何特点，利用三视图的数据，求出侧视图的面积即可．
【详解】由三视图的数据，结合“长对正，宽相等”可得俯视图斜边上的高即为侧视图的底边长，
正视图的高即为侧视图的高，
所以侧视图的面积为：．
故选：C．
【点睛】本题考查三视图在形状、大小方面的关系，考查空间想象能力，属于基础题．6. 若复数是纯虚数，则实数等于
（A）（B）2 （C）（D）－2
参考答案：
B
略
7. 已知的三个内角所对的边分别是,且,则的面积的最大值是
A. B. C.
D.
参考答案：
D
由余弦定理可得：，化简得：，即
(1)，又的面积为(2)，由（1）（2）可得
.
8. 设集合，若=，
则的取值范围是（）
(A) (B) (C) (D)
参考答案：
B
9. 若O是△ABC所在平面内一点，且满足，则△ABC 一定是（）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
参考答案：
B
10. 设a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线sinA?x﹣ay﹣c=0与bx+sinB?y+sinC=0的位置关系是( )
A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直
参考答案：
C
考点：正弦定理；直线的一般式方程与直线的垂直关系．
专题：直线与圆．
分析：求出两条直线的斜率，然后判断两条直线的位置关系．
解答：解：a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C所对边的边长，
则直线sinA?x﹣ay﹣c=0的斜率为：，
bx+sinB?y+sinC=0的斜率为：，
∵==﹣1，
∴两条直线垂直．
故选：C．
点评：本题考查直线的斜率，正弦定理的应用，基本知识的考查．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设x,y满足约束条件若目标函数的最大值为
1，则的最小值为________.
参考答案：
略
12. 函数的单调增区间是．
参考答案：
13. 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点，且法向量为的
直线（点法式）方程为，化简得．类比以
上方法，在空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面（点法式）方程为．
参考答案：
x+2y?z?2＝0
14. 在区间内随机地取出一个数，使得的概率
为．
参考答案：
15. 中，角的对边分别为，当最大时，
．
参考答案：
16. 设是等比数列的前n项的和，若，则的值
是
参考答案：
17. 已知的展开式中，的系数为，则．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在中，角的对边分别为,,.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
参考答案：
解：（Ⅰ）由和可得,
所以，
又
所以.
（Ⅱ）因为,,
由余弦定理可得
，即.
由正弦定理可得
，
所以.
略
19. （本小题满分12分）盒中装有5个乒乓球用作比赛，其中2个是旧球，另外3个是新球，新球使用后即成为了旧球.
（I）每次比赛从盒中随机抽取1个球使用，使用后放回盒中，求第2次比赛结束后盒内剩余的新球数为2个的概率；
（II）每次比赛从盒中随机抽取2个球使用，使用后放回盒中，设第2次比赛结束后盒内剩余的新球数为X，求X的分布列和数学期望.
参考答案：
20. 选修4﹣1几何证明选讲
已知△ABC中AB=AC，D为△ABC外接圆劣弧，上的点（不与点A、C重合），延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F．
（I）求证．∠CDF=∠EDF
（II）求证：AB?AC?DF=AD?FC?FB．
参考答案：
考点：与圆有关的比例线段；圆周角定理．
专题：综合题．
分析：（I）根据A，B，C，D 四点共圆，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，从而得解．
（II）证明△BAD∽△FAB，可得AB2=AD?AF，因为AB=AC，所以AB?AC=AD?AF，再根据割线定理即可得到结论．
解答：证明：（I）∵A，B，C，D 四点共圆，∴∠ABC=∠CDF
又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，
且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，7分
对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF；
（II）由（I）得∠ADB=∠ABF
∵∠BAD=∠FAB
∴△BAD∽△FAB
∴
∴AB2=AD?AF
∵AB=AC
∴AB?AC=AD?AF
∴AB?AC?DF=AD?AF?DF
根据割线定理DF?AF=FC?FB
∴AB?AC?DF=AD?FC?FB
点评：本题以圆为载体，考查圆的内接四边形的性质，考查等腰三角形的性质，考查三角形的相似，属于基础题．
21. (14分)如图，在直角梯形中，，，
，椭圆以、为焦点且经过点．（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程；
（Ⅱ）若点满足,问是否存在直线与椭圆交于两点，且
？若存在，求出直线与夹角的正切值的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案：
解析：（Ⅰ）如图，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系
则，，，………2分
设椭圆方程为
则
解得………………4分
∴所求椭圆方程为…………………5分
（Ⅱ）由得点的坐标为
显然直线与轴平行时满足题意，即…………6分
直线与轴垂直时不满足题意
不妨设直线……………7分
由得………9分
由得………10分
设，,的中点为
则，………11分
∵
∴
∴即
解得：………………12分
由得且…………13分
故直线与夹角的正切值的取值范围是……………14分22. 已知函数f（x）=（x2﹣ax﹣a）e x．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）若a∈（0，2），对于任意x1，x2∈[﹣4，0]，都有
恒成立，求m的取值范围．
参考答案：
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；根据函数的单调
性求出f（x）的最大值，问题转化为m＞（e﹣2+1）恒成立，令g（x）=，x∈（0，2），根据函数的单调性求出m的范围即可．
【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=（x2﹣x﹣1）e x，
∴f′（x）=（x2+x﹣2）e x，
当f′（x）=（x2+x﹣2）e x＞0时，解得x＞1或x＜﹣2，函数单调递增，
当f′（x）=（x2+x﹣2）e x＜0时，解得﹣2＜x＜1，函数单调递减，
∴f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）上为增函数，在（﹣2，1）上为减函数；
（2）f′（x）=（x+2）（x﹣a）e x，
a∈（0，2）时，f（x）在（﹣4，﹣2）上单调递增，在（﹣2，0）单调递减，
所以f（x）max=f（﹣2）=（a+4）e﹣2，f（﹣4）=（3a+16）e﹣4＞﹣a=f（0），
故|f（x1）﹣f（x2）|max=|f（﹣2）﹣f（0）|=a（e﹣2+1）+4e﹣2，
|f（x1）﹣f（x2）|＜4e﹣2+me a恒成立，即a（e﹣2+1）+4e﹣2＜4e﹣2+me a恒成立，
即m＞（e﹣2+1）恒成立，
令g（x）=，x∈（0，2），易知g（x）在其定义域上有最大值g（1）=，
所以m＞．。