概率与统计综合问题-每日一题2018年高考数学(理)二轮复习

概率与统计综合问题
高考频度：★★★★★ 难易程度：★★★★☆
（2017北京卷理）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.学
@
（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率；
（2）从图中A ，B ，C ，D 四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)；
（3）试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小.（只需写出结论）
（2）由图知，A,B,C,D 四人中，指标x 的值大于1.7的有2人：A 和C. 所以ξ的所有可能取值为0,1,2.
211
22222
222444C C C C 121(0),(1),(2)C 6C 3C 6
P P P ξξξ=========.
所以ξ的分布列为
ξ0 1 2
P1
62
3
1
6
故ξ的期望
121 ()0121
636
Eξ=⨯+⨯+⨯=.
（3）在这100名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差.
【解题必备】求分布列的三种方法：学！
（1）由统计数据得到离散型随机变量的分布列；
（2）由古典概型求出离散型随机变量的分布列；
（3）由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列．
1．某学校为准备参加市运动会,对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试,并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩(单位:cm).跳高成绩在175 cm以上(包括175 cm)定义为“合格”,成绩在175 cm 以下定义为“不合格”.鉴于乙队组队晚,跳高成绩相对较弱,为激励乙队队员,学校决定只有乙队中“合格”者才能参加市运动会开幕式旗林队.
（1）求甲队队员跳高成绩的中位数;
（2）如果将所有的运动员按“合格”与“不合格”分成两个层次,用分层抽样抽取“合格”与“不合格”的人数共5人,则各层应抽取多少人?
（3）若从所有“合格”运动员中选取2名,用X表示所选运动员中能参加市运动会开幕式旗林队的人数,试写出X的分布列,并求X的数学期望.
2．为调查某社区居民的业余生活状况,研究这一社区居民在20：00~22：00时间段的休闲方式与性别的关系,随机调查了该社区80人,得到下面的数据表：
（1）根据以上数据,能否有99%的把握认为“在20：00~22：00时间段居民的休闲方式与性别有关系”？
（2）将此样本的频率估计为总体的概率,在该社区的所有男性中随机调查3人,设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X，求X的数学期望和方差.
附：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
2
()
P K k
≥0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
1．【答案】（1）177 cm；（2）抽取合格2人,不合格3人；（3）X的分布列见解析，
2 ()
3 E X=.
【解析】（1）由茎叶图可知，甲队队员的跳高成绩(单位：cm)分别为157,168,169,173,175,176,178,181, 182,184,186,191，所以甲队队员跳高成绩的中位数为177 cm.
（2）由茎叶图可知，“合格”与“不合格”的运动员分别有12人和18人，若用分层抽样抽取“合格”与“不合格”的人数共5人,则应抽取“合格”的运动员2人,“不合格”的运动员3人.
因此,X 的分布列如下:
X 0 1 2
P
1433 1633 111
∴14161222()012333311333
E X =⨯
+⨯+⨯==. 2．【答案】（1）有99%的把握认为“在20：00~22：00时间段居民的休闲方式与性别有关”；（2）()E X =
55
,()212
D X =. 【解析】（1）根据样本提供的2×
2列联表得： 22
80(10101050)808.889 6.635602020609
K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯.
所以有99%的把握认为“在20：00~22：00时间段居民的休闲方式与性别有关”.
（2）由题意得：
5
~(3,)
6
X B,且3
3
15
()C,0,1,2,3
6
()(
6
)
k k k
P X k k
-
===，
所以
55
()3,
62
E X=⨯=
515
()3
6612
D X=⨯⨯=.学￥
【名师点睛】本题主要考查独立性检验及其应用、二项分布的期望与方差，考查了分析问题与解决问题的能力.其中使用统计量2
K作2×2列联表的独立性检验的步骤是：①检查2×2列联表中的数据是否
符合要求；②由公式
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
计算2
K的值；③将2
K的值与临界值表中的数
据进行对比.另外需要注意回归分析也常在高考中出现.。