新人教版初中数学八年级数学下册第三单元《平行四边形》检测卷(有答案解析)(4)

一、选择题
1．下列命题中，其逆命题是真命题的有（ ）个
①全等三角形的对应角相等，② 两直线平行，同位角相等，③等腰三角形的两个底角相等，④正方形的四个角相等． A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
2．图1中甲、乙两种图形可以无缝隙拼接成图2中的正方形ABCD ．已知图甲中，
45F ∠=︒，15H ∠=︒，图乙中 2MN =，则图2中正方形的对角线AC 长为（ ）
A ．22
B ．23
C ．231+
D ．232+
3．如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，已知6AD =（正方形的四条边都相等，四个内角都是直角），2DF =．则AEF 的面积AEF
S =
（ ）
A ．6
B ．12
C ．15
D ．30
4．如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点A 恰好落在菱形的对称中心O 处，折痕为EF ．若菱形ABCD 的边长为4，120B ∠=︒，则EF 的值是（ ）
A ．3
B ．2
C ．23
D ．4
5．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线,AC BD 交于点O ，2BD AD =，E ，F ，G 分别是,,OA OB CD 的中点，EG 交FD 于点H ．下列结论：①ED CA ⊥；②EF EG =；③1
2
EH EG =
；成立的个数有( )
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
6．在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，
15CAE ∠=︒．连接OE ，则下面的结论：①DOC 是等边三角形；②BOE △是等腰三角
形；③2BC AB =；④150∠=︒AOE ；⑤AOE
COE
S
S
=，其中正确的结论有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
7．如图，已知四边形ABCD 中，R 、P 分别为BC 、CD 上的点，E 、F 分别为AP 、
RP 的中点．当点P 在CD 上从点C 向点D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A ．线段EF 的长逐渐增大
B ．线段EF 的长不变
C ．线段EF 的长逐渐减小
D ．线段EF 的长与点P 的位置有关
8．如图，在123A A A △中，160A ∠=︒，230A ∠=︒，131A A =，3+n A 是
1(1,2,3)n n A A n +=⋅⋅⋅的中点，则202120222023A A A △中最短边的长为（ ）
A ．
1009
12 B ．
1010
12 C ．
1011
12 D ．
1021
12
9．顺次连接矩形ABCD 各边的中点，所得四边形是（ ） A ．平行四边形 B ．正方形
C ．矩形
D ．菱形
10．如图，直线L 上有三个正方形,,a b c ，若,a c 的边长分别为1和3，则b 的面积为
（ ）
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
11．如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为EF ．若5AF =，3BE =，则
EF 的长为（ ）
A ．23
B ．17
C ．25
D ．35
12．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，30ACD ∠=︒，若ABC 的周长比AOB 的周长大10，则AB 的长为（ ）．
A ．103
B ．53
C ．10
D ．20
二、填空题
13．如图，在矩形ABCD 中，连接AC ，按以下步骤作图：分别以点A ，C 为圆心，以大于
1
2
AC 的长为半径作弧，两弧分别相交于点M ，N ，作直线MN 交BC 于点E ，连接AE ．若AB ＝1，BC ＝2，则BE ＝_____．
14．在正方形ABCD 中，点E 在对角线BD 上，点P 在正方形的边上，若∠AEB=105°，AE=EP ，则∠AEP 的度数为_________．
15．如图，,E F 分别是ABCD 的边,AD BC 上的点．8,60,EF DEF =∠=︒将EFCD 四边形沿EF 翻折，得到四边形',EFCD ED '交BC 于点,G 则GEF △的周长为________．
16．正三角形ABC 中，已知AB =6，D 是直线AC 上的动点，CE ⊥BD 于点E ，连接AE ，则AE 长的取值范围是_______________．
17．如图，直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，AF 平分CAB ∠交
CD 于点E ，交BC 于点F ，//EG AB 交CB 于点G ，FH AB ⊥于H ，以下4个结论：①ACD B ∠=∠；②CEF △是等边三角形；③CD FH DE =+；④BG CE =中正确的是______（将正确结论的序号填空）
18．如图，正方形ABCD 中，5AD =，点E 、F 是正方形ABCD 内的两点，且
4AE FC ==，3BE DF ==，则EF 的平方为________．
19．如图，在ABC 中，已知AB =8，BC =6，AC =7，依次连接ABC 的三边中点，得到
111A B C △，再依次连接111A B C △的三边中点，得到222A B C △，
，按这样的规律下去，
202020202020A B C △的周长为____．
20．如图，矩形ABCD 中，10AD =，14AB =，点E 为DC 上一个动点，把ADE 沿
AE 折叠，点D 的对应点为D ，若D 落在ABC ∠的平分线上时，DE 的长为_____．
三、解答题
21．如图，将长方形ABCD 边AD 沿折痕AE 折叠，使点D 落在BC 上的点F 处，已知AB ＝6，△ABF 的面积是24，求DE 的长．
22．在ABC 中，AC BC =，点E 在边AB 所在的直线上，过点E 作//DE BC 交直线
AC 于点D ，//EF AC 交直线BC 于点F ，构造出平行四边形CDEF ． （1）若点E 在线段AB 上时． ①求证：FE FB =．
②求证：DE EF BC +=．
（2）点E 在边AB 所在的直线上，若8BC =，2EF =，请作出简单示意图并直接写出
DE 的长度．
23．如图，平行四边形ABCD 中，,AP BP 分别平分DAB ∠和CBA ∠，交于DC 边上点P ， 2.5AD =． （1）求线段AB 的长．
（2）若3BP =，求ABP △的面积．
24．已知：如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，若CAD DBC ∠=∠． （1）求证：四边形ABCD 是正方形．
（2）E 是OB 上一点，DH CE ⊥，垂足为H ，DH 与OC 相交于点F ，求证：
OE OF =．
25．如图，在四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=︒，60C ∠=°，5AB =．2AD =．
（1）求CD 的长；
（2）求四边形ABCD 的面积．
26．如图，四边形ABCD 是平行四边形，∠BAD 的角平分线AE 交CD 于点F ，交BC 的延长线于点E ．
（1）求证：BE ＝CD ；
（2）若BF 恰好平分∠ABE ，连接AC 、DE ，求证：四边形ACED 是平行四边形．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
先把每一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再进行判断即可． 【详解】
解：“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“三组角分别对应相等的两个三角形全等”，逆命题是假命题，故①不符合题意；
“两直线平行，同位角相等”的逆命题是“同位角相等，两直线平行”，逆命题是真命题，故②符合题意；
“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“在一个三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形”，逆命题是真命题，故③符合题意；
“正方形的四个角相等”的逆命题是“四个角相等的四边形是正方形”，逆命题是假命题，故④不符合题意；
综上：符合题意的有②③． 故选：.B 【点睛】
本题考查的是命题与逆命题，命题真假的判断，正方形的判定方法，掌握由原命题得到逆命题，以及判断命题的真假是解题的关键．
2．D
解析：D 【分析】
连接HF ，过点G 作GI
HF 交HF 于点I ，根据甲、乙两种图形可以无缝隙拼接成图2
中的正方形ABCD ，可得EFH △是等腰直角三角形，则可求得45GFI ，30GHI
，
根据勾股定理，可得：1GI ，3HI
，则有1FI
GI
，
31EF HF HI FI
，根据正方形的对角线2AC EF =可求出答案．
【详解】
解：如图示，连接HF ，过点G 作GI
HF 交HF 于点I ，
∵甲、乙两种图形可以无缝隙拼接成图2中的正方形ABCD ． ∴根据题意，根据对称性可得EFH △是等腰直角三角形， 则有：90EFH ，45EHF
HEF
∵45GFE ，15EHG ， ∴
45GFI
，30GHI
,
又∵GI HF ，2MN =，
∴根据勾股定理，可得：1GI =，3HI
，
则有1FI GI ， ∴31EF
HF
HI
FI
，
∴正方形的对角线2231232AC EF ，
故选：D ． 【点睛】
本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
3．C
解析：C 【分析】
延长CD 到G ，使DG=BE ，连接AG ，易证ADG ABE △≌△所以AE=AG ，
BAE=DAG ∠∠ ， 证AFG AEG △≌△，所以 GF=EF ，设BE=DG=x ，则EF=FG=x+2，在ECF Rt △中，利用勾股定理得2
2
2
462x
x 解得求出x ，最后求AGF S △问题即
可求解． 【详解】
解：延长CD 到G ，使DG=BE ，连接AG ，
在正方形ABCD 中，AB=AD ，90ADB B C ADC ∠=∠=∠=∠=︒
90ADG B ∴∠=∠=︒， ADG ABE(SAS)∴△≌△，
,AG AE BAE DAG ∴=∠=∠，
45EAF ∠=︒ ，
45DAF BAE ∴∠+∠=︒ ，
GAF=45DAG DAF ∴∠∠+∠=︒， GAF=EAF ∴∠∠， 又AF=AF ， AFG AEG ∴△≌△(SAS)， EF=FG ∴，
设BE=DG=x ，则EC=6-x ，FC=4，EF=FG=x+2， 在ECF Rt △中，222=FC CE EF +，
()()22
246=2x x ∴+-+，
解得，x=3，
GF=DG DF=2+3=5∴+，
AEF AGF 11
S =S =GF AD=56=1522
∴⨯⨯△△，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确构造辅助线，证三角形全等是解决本题的关键.
4．B
解析：B 【分析】
根据菱形的性质证明△ABD 是等边三角形，求得BD=4，再证明EF 是△ABD 的中位线即可得到结论． 【详解】 解：连接AC ，BD
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC BD ⊥，BD 平分∠ABC ，4AB BC CD DA ====
∴∠11
1206022
ABD ABC ︒=∠=⨯=︒ ∵AB AD =
∴△ABD 是等边三角形，
∴ 4.BD =
由折叠的性质得：EF AO ⊥，EF 平分AO ， 又∵BD AC ⊥， ∴//EF BD
∴EF 为△ABD 的中位线，
∴1
22
EF BD =
= 故选：B ． 【点睛】
本题考查了折叠性质，菱形性质，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．
5．A
解析：A 【分析】
由平行四边形性质和等腰三角形“三线合一”即可得ED ⊥CA ，根据三角形中位线定理可得EF =
12AB ；由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得EG =1
2
CD ，即可得EF ＝EG ；连接EG ，可证四边形DEFG 是平行四边形，即可得EH=1
2
EG ． 【详解】
解：如图，连接FG ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AD ＝BC ，AD ∥BC ，AB ＝CD ，AB ∥CD ， ∵BD ＝2AD ， ∴OD ＝AD ， ∵点E 为OA 中点， ∴ED ⊥CA ，故①正确；
∵E ，F ，G 分别是OA ，OB ，CD 的中点， ∴EF ∥AB ，EF=
1
2
AB ，
∵∠CED ＝90°，CG ＝DG=12CD ， ∴EG=12
CD ， ∴EF ＝EG ，故②正确；
∵EF ∥CD ，EF ＝DG ，
∴四边形DEFG 是平行四边形，
∴EH ＝HG ，
即EH=12
EG ，故③正确； 故选：A ．
【点睛】
本题考查了平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，三角形面积，直角三角形斜边上中线等于斜边一半，等腰三角形性质等；熟练运用三角形中位线定理、等腰三角形“三线合
一”、直角三角形斜边上中线等于斜边一半等性质是解题关键．
6．B
解析：B
【分析】
判断出△ABE 是等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ACB ＝30°，再判断出△ABO ，△DOC 是等边三角形，可判断①；根据等边三角形的性质求出OB ＝AB ，再求出OB ＝BE ，可判断②，由直角三角形的性质可得BC 3AB ，可判断③，由等腰三角形性质求出∠BOE ＝75°，再根据∠AOE ＝∠AOB ＋∠BOE ＝135°，可判断④；由面积公式可得AOE COE S
S 可判断⑤；即可求解．
【详解】
解：∵AE 平分∠BAD ，
∴∠BAE ＝∠DAE ＝45°，
∴∠AEB ＝45°，
∴△ABE 是等腰直角三角形，
∴AB ＝BE ，
∵∠CAE ＝15°，
∴∠ACE ＝∠AEB−∠CAE ＝45°−15°＝30°，
∴∠BAO ＝90°−30°＝60°，
∵矩形ABCD 中：OA ＝OB ＝OC ＝OD ，
∴△ABO 是等边三角形，△COD 是等边三角形，故①正确；
∴OB ＝AB ，
又∵ AB ＝BE ，
∴OB ＝BE ，
∴△BOE 是等腰三角形，故②正确；
在Rt △ABC 中
∵∠ACB=30°
∴BC ＝3AB ，故③错误；
∵∠OBE ＝∠ABC−∠ABO ＝90°−60°＝30°＝∠ACB ，
∴∠BOE ＝12
（180°−30°）＝75°， ∴∠AOE ＝∠AOB ＋∠BOE ＝60°＋75°＝135°，故④错误；
∵AO ＝CO ，
∴AOE COE S S ，故⑤正确；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．
7．B
解析：B
【分析】
因为AR 的长度不变，根据中位线定理可知，线段EF 的长不变．
【详解】
解：因为AR 的长度不变，根据中位线定理可知，EF 平行与AR ，且等于AR 的一半． 所以当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，线段EF 的长不变．
故选：B ．
【点睛】
主要考查中位线定理．在解决与中位线定理有关的动点问题时，只要中位线所对应的底边不变，则中位线的长度也不变．
8．B
解析：B
【分析】
根据已知条件和图形的变化可得前几个图形的最短边的长度，进而可得结论．
【详解】
解：在△A 1A 2A 3中，∠A 1A 3A 2=90°，∠A 2=30°，A 1A 3=1，A n+3是A n A n+1（n=1、2、3…）的中点，可知：
A 4A 5//A 1A 3，A 3A 4=A 2A 4，
∴∠A 3A 5A 4=90°，∠A 4A 3A 2=∠A 2=30°，
∴△A 1A 2A 3是含30°角的直角三角形，
同理可证△A n A n+1A n+2是含30°角的直角三角形．
△A 1A 2A 3中最短边的长度为A 1A 3=1=
012， △A 3A 4A 5中最短边的长度为A 4A 5=
12=112， △A 5A 6A 7中最短边的长度为A 5A 7=
21142
=， …， 所以△A n A n+1A n+2中最短边的长度为1
21
2n -，
则△A 2019A 2020A 2021中最短边的长度为
120211221
122n --==1010
12． 故选：B ．
【点睛】 本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．也考查了直角三角形斜边的中线，三角形的中位线，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质，以及等腰三角形的性质等知识．
9．D
解析：D
【分析】
利用三角形中位线定理,矩形对角线的性质,菱形的判定判断即可.
【详解】
如图，设矩形ABCD 各边的中点依次为E ，F ，G ，H ，
∴EF ，FG ，GH ，HE 分别是△ABC ，△BCD ，△CDA ，△DAB 的中位线，
∴EF=12AC ，FG=12BD ，GH=12AC ，EH=12
BD ， ∵四边形ABCD 是矩形，
∴AC=BD ，
∴EF=FG=GH=HE ，
∴四边形EFGH 是菱形，
故选D.
【点睛】
本题在矩形背景考查了三角形中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，熟练运用三角形中位线定理，矩形的性质，菱形的判定是解题的关键.
10．C
解析：C
【分析】
运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得BAC DCE ∠=∠，然后证明ACB DCE ∆≅∆，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．
【详解】
解：如图：
由于a 、b 、c 都是正方形，所以AC CD =，90ACD ∠=︒；
90ACB DCE ACB BAC ，即BAC ECD ∠=∠，
在ABC ∆和CED ∆中，
90ABC CED ACB CDE
AC DC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ()ACB CDE AAS ，
AB CE ∴=，BC DE =； 在Rt ABC ∆中，由勾股定理得：2
222222
1310AC AB BC AB DE ， 即10b S ， 则b 的面积为10，
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，证明ACB DCE ∆≅∆是解题的关键．
11．C
解析：C
【分析】
如图，过E 作EM AD ⊥于M ，证明//,AD BC 90B ∠=︒，
四边形ABEM 为矩形，再证明5AE AF ==，
求解43ME AB AM BE ====，，可得：2MF =，再利用勾股定理可得答案．
【详解】
解：如图，过E 作EM AD ⊥于M ，
矩形ABCD ，53AF BE ==，，
//,AD BC ∴ 90B ∠=︒， 四边形ABEM 为矩形，
,AFE CEF ∴∠=∠
由对折可知：,AEF CEF ∠=∠
,AFE AEF ∴∠=∠
5AE AF ∴==，
224AB AE BE ∴=
-=，
四边形ABEM 为矩形，
43ME AB AM BE ∴====，， 2MF ∴=，
22+2 5.EF ME MF ∴=
故选：.C
【点睛】
本题考查的是轴对称的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
12．A
解析：A
【分析】
由矩形的性质和已知条件求出3，BC=10，即可得出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AO=CO=DO=BO ，AD=BC ，∠ABC=90°，AB ∥CD ，
∴∠BAC=∠ACD=30°，
∴
，
∵△ABC的周长=AB+AC+BC=AB+AO+OC+BC，△AOB的周长=AB＋AO＋BO，
又∵ABC的周长比△AOB的周长长10，
∴AB+AC+BC-（AB＋AO＋BO）=BC=10，
∴
故选：A．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的性质，求出BC的长是解题的关键．
二、填空题
13．【分析】根据作图过程可得MN是AC的垂直平分线可得EA=EC再根据矩形性质和勾股定理即可得到结论【详解】解：在矩形ABCD中∠B=90°根据作图过程可知：MN是AC的垂直平分线∴EA=EC∴EA=C
解析：3 4
【分析】
根据作图过程可得MN是AC的垂直平分线，可得EA=EC，再根据矩形性质和勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：在矩形ABCD中，∠B=90°，
根据作图过程可知：MN是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴EA=CE=BC-BE=2-BE，
在Rt△ABE中，根据勾股定理，得222
EA AB BE
=+，
∴222
21
BE BE
-=+
（），
解得BE=3
4
，
故答案为3
4
．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，矩形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
14．60°或90°或150°【分析】首先根据题意作出正方形以及∠AEB再以E为圆心EA为半径作圆与正方形的交点即为满足条件的P点分类讨论即可【详解】如图所示在正方形ABCD中∠AEB=105°∵点P在正
解析：60°或90°或150°
【分析】
首先根据题意作出正方形以及∠AEB ，再以E 为圆心，EA 为半径作圆，与正方形的交点即为满足条件的P 点，分类讨论即可．
【详解】
如图所示，在正方形ABCD 中，∠AEB=105°，
∵点P 在正方形的边上，且AE=EP ，
∴可以E 为圆心，EA 为半径作圆，与正方形的交点即为满足条件的P 点，
①当P 在AD 上时，如图，AE=EP 1，
∵∠EBA=45°，
∴∠EAB=180°-45°-105°=30°，∠EAP 1=60°，△EAP 1为等边三角形，
∴此时∠AEP 1=60°；
②当P 在CD 上时，如图，AE=EP 2，AE=EP 3，
由①可知∠DEP 1=180°-105°-60°=15°，
∴此时∠DEP 1=∠DEP 2=15°，∠CEP 2=∠AEP 1=60°，
∴此时∠AEP 2=60°+15°+15°=90°；∠AEP 3=2∠AED=2×(180°-105°)=150°，
故答案为：60°或90°或150°．
【点睛】
本题考查正方形的性质以及等腰三角形的判定，熟练运用尺规作图的方式进行等腰三角形的确定是解题关键．
15．24【分析】根据平行四边形的性质得到AD ∥BC 由平行线的性质得到∠AEG=∠EGF 根据折叠的性质得到推出△GEF 是等边三角形于是得到结论【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC ∴∠AEG
解析：24
【分析】
根据平行四边形的性质得到AD ∥BC ，由平行线的性质得到∠AEG=∠EGF ，根据折叠的性质得到60GEF DEF ∠=∠=︒，推出△GEF 是等边三角形，于是得到结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，
∴∠AEG=∠EGF ，
∵将四边形EFCD 沿EF 翻折，得到EFC D ''，
∴60GEF DEF ∠=∠=︒，
∴∠AEG=60°，
∴∠EGF=60°，
∴△EGF 是等边三角形，
∵EF=8，
∴△GEF 的周长=24，
故答案为：24．
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定及性质，熟练掌握基本性质是解题关键．
16．≤AE≤【分析】取BC 中点O 利用勾股定理以及直角三角形的性质分别求得AO 和OE 再利用三角形三边关系即可求解【详解】解：取BC 中点O 连接OAOE ∵△ABC 正三角形且AB=6∴AO ⊥BCBO=OC=BC 解析：333-≤AE ≤333+ 【分析】
取BC 中点O ，利用勾股定理以及直角三角形的性质分别求得AO 和OE ，再利用三角形三边关系即可求解．
【详解】
解：取BC 中点O ，连接OA 、OE ，
∵△ABC 正三角形，且AB=6，
∴AO ⊥BC ，BO=OC=
12BC=12AB=3， ∴22226333AB BO -=-=，
在△OAE 中，OA-OE<AE< OA+OE ，
当O 、A 、E 在同一直线上时，取等号，
∴OA-OE ≤AE ≤OA+OE ，
∴333≤AE 333≤，
故答案为：333≤AE 333≤．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形三边的关系，注意，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
17．①③④【分析】连接EH 得出平行四边形EHBG 推出BG=EH 求出∠CEF=∠AFC 得出CE=CF 证△CAE ≌△HAE 推出CE=EH 即可得出答案【详解】解：如图连接EH ∵∠ACB=90°∴∠3+∠4=9
解析：①③④
【分析】
连接EH ，得出平行四边形EHBG ，推出BG=EH ，求出∠CEF=∠AFC ，得出CE=CF ，证△CAE ≌△HAE ，推出CE=EH ，即可得出答案．
【详解】
解：如图，连接EH ，
∵∠ACB=90°，
∴∠3+∠4=90°，
∵CD ⊥AB ，
∴∠ADC=90°，
∴∠B+∠4=90°，
∴∠3=∠B ，故①正确；
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴∠1+∠AFC=90°，∠2+∠AED=90°，
∵AE 平分∠CAB ，
∴∠1=∠2，
∵∠AED=∠CEF ，
∴∠CEF=∠AFC ，
∴CE=CF ，
∴△CEF 是等腰三角形，故②错误；
∵AF 平分∠CAB ，FH ⊥AB ，FC ⊥AC ，
∴FH=FC ，
在Rt △CAF 和Rt △HAF 中，
AF AF CF FH =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △CAF ≌Rt △HAF （HL ），
∴AC=AH ，
在△CAE 和△HAE 中，
12AC AH AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△CAE ≌△HAE （SAS ），
∴∠3=∠AHE ，CE=EH ，
∵∠3=∠B ，
∴∠AHE=∠B ，
∴EH ∥BC ，
∵CD ⊥AB ，FH ⊥AB ，
∴CD ∥FH ，
∴四边形CEHF 是平行四边形，
∴CE=FH ，
∴CD=CE+DE=FH+DE ，故③正确；
∵EG ∥AB ，EH ∥BC ，
∴四边形EHBG 是平行四边形，
∴EH=BG ，
∵CE=EH ，
∴BG=CE ．故④正确．
所以正确的是①③④．
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，有一定的难度．
18．2【分析】延长BE 交CF 于G 再根据全等三角形的判定得出△BCG 与△ABE 全等得出AE=BG=4由BE=3得出EG=1同理得出GF=1再根据勾股定理得出EF 的平方【详解】解：延长BE 交CF 于G 如图：∵
解析：2
【分析】
延长BE 交CF 于G ，再根据全等三角形的判定得出△BCG 与△ABE 全等，得出AE=BG=4，由BE=3，得出EG=1，同理得出GF=1，再根据勾股定理得出EF 的平方．
【详解】
解：延长BE 交CF 于G ，如图：
∵AB=5，AE=4，BE=3，
222345+=，
∴△ABE 是直角三角形，
∴同理可得△DFC 是直角三角形，
在Rt △ABE 和Rt △CDF 中，
543AB CD AE CF BE DF ==⎧⎪==⎨⎪==⎩
，
∴Rt △ABE ≅Rt △CDF ，
∴∠1=∠5，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠ABC=∠BCD=90︒，
∴∠4+∠5=90︒，∠4+∠3=90︒，∠1+∠2=90︒，
∴∠3=∠5，∠4=∠2，
在△CBG 和△BAE 中，3524AB BC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴△CBG ≌△BAE （ASA ），
∴AE=BG=4，CG=BE=3，
∴EG=4-3=1，
同理可得：GF=1，
∴EF 2=EG 2+GF 2=2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出EG=FG=1，再利用勾股定理计算．
19．【分析】由再利用中位线的性质可得：再总结规律可得：从而运用规律可得答案【详解】解：探究规律：AB=8BC=6AC=7分别为的中点同理：总结规律：运用规律：当时故答案为：【点睛】本题考查的是图形周长的 解析：2020
212
【分析】
由21ABC C AB BC AC =++=，再利用中位线的性质可得：
111121,22
A B C ABC C C ==
2221112121,22A B C A B C C C ==再总结规律可得：21,2n n n A B C n C =从而运用规律可得答案．
【详解】
解：探究规律：
AB =8，BC =6，AC =7， 21ABC C AB BC AC ∴=++=， 111,,A B C 分别为,,BC AC AB 的中点，
111111111,,,222A B AB B C BC AC AC ∴=
== 111121,22A B C ABC C C ∴== 同理：2221112112121,2222
A B C A B C C C ==⨯= ······
总结规律：
21,2n n n A B C n
C =
运用规律： 当2020n =时，202020202020202021.2A B C C
= 故答案为：
202021.2
【点睛】
本题考查的是图形周长的规律探究，三角形中位线的性质，掌握探究规律的方法与三角形中位线的性质是解题的关键． 20．5或【分析】连接BD′过D′作MN ⊥AB 交AB 于点MCD 于点N 作D′P ⊥BC 交BC 于点P 先利用勾股定理求出MD′再分两种情况利用勾股定理求出DE 【详解】解：如图连接BD′过D′作MN ⊥AB 交AB 于点
解析：5或
103
【分析】
连接BD′，过D′作MN ⊥AB ，交AB 于点M ，CD 于点N ，作D′P ⊥BC 交BC 于点P ，先利用勾股定理求出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE ．
【详解】
解：如图，连接BD′，过D′作MN ⊥AB ，交AB 于点M ，CD 于点N ，作D′P ⊥BC 交BC 于点
P
∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，
∴MD′=PD′，
设MD′=x，则PD′=BM=x，
∴AM=AB-BM=14-x，
又折叠图形可得AD=AD′=10，
∴x2+（14-x）2=100，解得x=6或8，
即MD′=6或8．
在Rt△END′中，设ED′=a，
①当MD′=6时，AM=14-6=8，D′N=10-6=4，EN=8-a，∴a2=42+（8-a）2，
解得a=5，即DE=5，
②当MD′=8时，AM=14-8=6，D′N=10-8=2，EN=6-a，∴a2=22+（6-a）2，
解得
10
3
a=，即
10
3
DE=.
故答案为：5或10 3
.
【点睛】
本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应相等的．三、解答题
21．10 3
【分析】
先根据三角形的面积公式求得BF的长，然后根据勾股定理可求得AF=10，由翻折的性质和矩形的性质可知BC=10，故此FC=2，最后在△EFC中，由勾股定理列方程求解即可．
【详解】
解：∵S△ABF=24，
∴1
2AB•BF＝24，即
1
2
×6×BF＝24．
解得：BF=8．
在Rt△ABF中由勾股定理得：22
AB BF
+=10．由翻折的性质可知：BC=AD=AF=10，ED=FE．
∴FC=10-8=2．
设DE=x，则EC=6-x．
在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2=FC2+EC2，x2=4+（6-x）2．
解得：x=10
3
，
∴DE=10
3
．
【点睛】
本题主要考查的是矩形与折叠、三角形的面积公式、勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．
22．（1）①见解析；②见解析；（2）10或6
【分析】
（1）①根据平行线的性质得到∠FEB=∠A，根据等边对等角得到∠B=∠A，可得
∠FEB=∠B，从而可证；
②证明四边形CDEF是平行四边形，得到CF=DE，结合FE=FB可得结论；
（2）点E在边AB所在的直线上，分三种情况讨论，即可得出DE的长度．
【详解】
解：（1）①∵EF∥AC，
∴∠FEB=∠A，
又∵AC=BC，
∴∠B=∠A，
∴∠FEB=∠B，
∴FE=FB；
②∵EF∥AC，DE∥BC，
∴四边形CDEF是平行四边形．
∴CF=DE，
∵EF=BF，
∴DE+EF=CF+BF=BC；
（2）如图，同理可得：BF=EF，
∴DE=BC+BF=BC+EF=8+2=10．
如图，同理可得：BF=EF，
DE=CF=BF-BC=EF-BC=2-8=-6（不合题意）．
如图④，
DE=BC-BF=BC-EF=8-2=6．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定，等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．23．（1）5；（2）6
【分析】
（1）证出AD=DP=2.5，BC=PC=2.5，得出DC=5=AB，即可求出答案；
（2）根据平行四边形性质得出AD∥CB，AB∥CD，推出∠DAB+∠CBA=180°，求出
∠PAB+∠PBA=90°，在△APB中求出∠APB=90°，由勾股定理求出AP，从而求得△ABP的面积．
【详解】
解：（1）∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP=∠PAB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AB∥CD，
∴∠PAB=∠DPA
∴∠DAP=∠DPA
∴△ADP是等腰三角形，
∴AD=DP=2.5，
同理：PC=CB=2.5，
即AB=DC=DP+PC=5；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD ∥CB ，AB ∥CD ，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
又∵AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠CBA ，
∴∠PAB+∠PBA=12
（∠DAB+∠CBA ）=90°， 在△APB 中，∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA ）=90°；
在Rt △APB 中，AB=5，BP=3，
∴，
∴△APB 的面积=4×3÷2=6．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用．
24．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由菱形的性质得出//AD BC ，2,2BAD DAC ABC DBC ∠∠∠∠==，得出180BAD ABC ∠+∠=︒，证出BAD ABC ∠=∠，求出90BAD ∠=︒，即可得出结论；
（2）由正方形的性质得出11,,,22
AC BD AC BD CO AC DO BO ⊥===，得出90COB DOC ∠∠==︒，CO DO =，证出ECO EDH ∠∠=，证明
ΔΔ()ECO FDO ASA ≅，即可得出结论．
【详解】
证明：（1）四边形ABCD 是菱形，
//,2,2AD BC BAD DAC ABC DBC ∠∠∠∠∴==，
180BAD ABC ∴∠+∠=︒
CAD DBC ∠=∠
BAD ABC ∴∠=∠
2180BAD ∠∴=︒
90BAD ∴∠=︒，
∴四边形ABCD 是正方形；
（2）证明：四边形ABCD 是正方形，
11,,,22
AC BD AC BD CO AC DO BO ∴⊥===， 90,COB DOC CO DO ∠∠∴==︒=
DH CE ⊥，垂足为H ，
,9090DHE EDH DEH ∠∠∠︒︒∴=+=，
90ECO DEH ∠∠+=︒
ECO EDH ∠∠∴=，
在ΔECO 和ΔFDO 中，90ECO EDH CO DO COE DHE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩
，
ΔΔ()ECO FDO ASA ∴≅
OE OF ∴=．
【点睛】
本题考查了正方形的判定与性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键．
25．（1
）2
）
2 【分析】
（1）作DM ⊥BC ，AN ⊥DM 垂足分别为M 、N ，易知四边形MNAB 是矩形，分别在Rt △ADN 中求出DN ，利用含60°的直角三角形求CD 即可；
（2）由（1）可知，四边形ABCD 的面积就是△DCM 与梯形ADMB 的面积和．
【详解】
解：（1）如图作DM ⊥BC ，AN ⊥DM 垂足分别为M 、N ．
∵∠B ＝∠NMB ＝∠MNA ＝90°，
∴四边形MNAB 是矩形，
∴MN ＝AB ＝5，AN ＝BM ，∠BAN ＝90°，
∵∠C +∠B +∠ADC +∠BAD ＝360°，∠C ＝60°，∠B ＝∠ADC ＝90°，
∴∠DAN ＝∠BAD ﹣∠BAN ＝30°，
在RT △AND 中，∵AD ＝2，∠DAN ＝30°，
∴DN ＝12
AD ＝1，AN
== 在RT △DMC 中，∵DM ＝DN +MN ＝6，∠C ＝60°，
∴∠CDM ＝30°，
∴CD ＝2MC ，设MC ＝x ，则CD ＝2x ，
∵CD 2＝DM 2+CM 2，
∴4x 2＝x 2+62，
∵x ＞0
∴x
＝
∴CD
＝
（2）由（1）得，
11622
DCM S CM DM =⨯⨯=⨯=
11()1122ADMB S AN DM AB =⨯⨯+==梯形，
11
23633322
DCM ABCD ADMB S S S =+=+=四边形梯形．
【点睛】
本题考查了勾股定理和含有30°角的直角三角形的性质，通过作辅助线，构建特殊的直角三角形是解题关键．
26．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得到AB ＝CD ，∠DAE ＝∠AEB ，利用AE 平分∠BAD ，推出∠BAE ＝∠AEB ，得到BE=AB ，即可得到结论；
（2）根据BE ＝AB ，BF 平分∠ABE ，得到AF ＝EF ，证明△ADF ≌△ECF ，推出DF ＝CF ，即可得到结论．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，AB ＝CD ，
∴∠DAE ＝∠AEB ，
∵AE 平分∠BAD ，
∴∠BAE ＝∠DAE ，
∴∠BAE ＝∠AEB ，
∴BE ＝AB ，
∴BE=CD ；
（2）∵BE ＝AB ，BF 平分∠ABE ，
∴AF ＝EF ，
在△ADF 和△ECF 中，
DAE AEB AF EF
AFD EFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△ADF ≌△ECF ，
∴DF ＝CF ，
又∵AF ＝EF ，
∴四边形ACED 是平行四边形．
【点睛】
此题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各知识点并应用解决问题是解题的关键．。