2020-2021学年湖北省枣阳一中高二上学期期中数学试卷(含解析)

2020-2021学年湖北省枣阳一中高二上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1.若x，y满足约束条件{x+2y≤8
x+3y≤9
x≥0,y≥0
，则y−6
x−6
的最大值是()
A. 1
2B. 4
3
C. 9
4
D. 3
2.下列说法：
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；
②设有一个回归方程y=3−5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；
③线性回归方程y=bx+a必过点(x,y)；
④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系．
其中错误的个数是()
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3.两直线3x+y−2=0与6x+my=0互相平行，则它们之间的距离为()
A. √10
4B. √10
5
C. 3√10
4
D. 7√10
20
4.已知a⃗=(1,1，1)，b⃗ =(0,y，1)(0≤y≤1)，则cos<a⃗，b⃗ >最大值为()
A. √3
3B. √2
3
C. √3
2
D. √6
3
5.已知直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A、B两点，点P在圆M：(x−2)2+y2=2上，
则△ABP面积的最大值是()
A. 242
B. 6
C. 2
D. 3√2
6.若点P到直线y=3的距离比到点F(0,−2)的距离大1，则点P的轨迹方程为()
A. y2=8x
B. y2=−8x
C. x2=8y
D. x2=−8y
7.若a，b是异面直线，a⊂α，b⊂β，α∩β=l，则下列命题中是真命题的为()
A. l与a、b分别相交
B. l与a、b都不相交
C. l至多与a、b中的一条相交
D. l至少与a、b中的一条相交
8.已知向量a⃗=(2cosα,2sinα)，b⃗ =(3cosβ,3sinβ)，a⃗与b⃗ 的夹角为60°，则直线xcosα−ysinα+
1 2=0与圆(x−cosβ)2+(y+sinβ)2=1
2
的位置关系是()
A. 相切
B. 相交
C. 相离
D. 随α，β的值而定
9.
已知F 1=i +2j +3k ，F 2=−2i +3j −k ，F 3=3i −4j +5k ，其中i,j,k 为单位正交基底，若F 1⃗⃗⃗ ，F 2，F 3⃗⃗⃗⃗ 共同作用在一个物体上，使物体从点M 1(1,−2,1)移到M 2(3,1，2)，则这三个合力所作的功为( )
A. 14
B. 6√21
C. −14
D. −6√21
10. 一束光线自点P(1,1，1)发出，遇到平面xoy 被反射，到达点Q(3,3，6)被吸收，那么光所走的路
程是( )
A. √37
B. √47
C. √33
D. √57
11. 已知椭圆C ：
x 24
+y 2
b 2=1的右焦点为F ，
O 为坐标原点，C 上有且只有一个点P 满足|OF|=|FP|，则b =( )
A. 3
B. √3
C. 4√5
5 D. 2√55
12. 若两直线y =x +2k 与y =2x +k +1的交点在圆x 2+y 2=4上，则k 的值是( )
A. −1
5或−1
B. −1
5或1
C. −1
3或1
D. −2或2
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 如图，四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，
若AP =1，AD =√3，三棱锥P −ABD 的体积V =√3
4，则A 到平面
PBC 的距离是______．
14. 已知椭圆x 2+
y 24
=1，A 、B 是椭圆的左右顶点，P 是椭圆上不与A 、B 重合的一点，PA 、PB 的
倾斜角分别为α、β，tan(α−β)的取值范围是______ ．
15. 求直线2x −y −1=0被圆x 2+y 2−2y −1=0所截得的弦长______ ．
16. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1.则B 1C 1与平面AB 1C 所成的角的正切值为______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 已知直线l 1：x +my +6=0和l 2：(m −2)x +3y +2m =0，分别就下列条件求出实数m 的值． (1)直线l 1与l 2垂直； (2)直线l 1与l 2平行．
18.已知直线l：x+y−1=0与椭圆C：x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)相交于A、B两点，且OA
⃗⃗⃗⃗⃗ +OB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4
3
,2
3
)，
求椭圆C的离心率．
19.如图所示，圆O1和圆O2的半径都等于1，|O1O2|=6，过动点P分别作
圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点)，使得|PM|=√3|PN|.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．
20.如图，已知圆F1的方程为(x+1)2+y2=49
8，圆F2的方程为(x−1)2+y2=1
8
，若动圆P与圆F1
内切，与圆F2外切．
(1)求动圆圆心P的轨迹C的方程；
(2)过直线x=2上的点Q作圆O：x2+y2=2的两条切线，设切点分别是M，N，若直线MN与轨
迹C交于E，F两点，求|EF|的最小值．
21.如图所示的几何体ABC−A1B1C1中，四边形ABB1A1是长方形，四边形
BCC1B1是梯形，B1C1//BC，且B1C1=1
2
BC,AB=AC，平面ABB1A1⊥
平面ABC．
(Ⅰ)求证：平面A1CC1⊥平面BCC1B1；
(Ⅱ)若∠CAB=120°，二面角C−A1C1−B1为120°，求AA1
AB
的值．
22.(本小题满分12分)
已知椭圆E:=1(a>b>0)的长半轴长为2，离心率e=．
求椭圆E的方程．
已知直线l:y=kx+与椭圆E交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案与解析】
1.答案：D
解析：解：由x ，y 满足约束条件{x +2y ≤8
x +3y ≤9x ≥0,y ≥0
作出可行域如图，
y−6x−6
的几何意义为可行域内的动点与定点P(6,6)连线的斜率，
由图可得，y−6
x−6的最大值为 0−6
4−6=3． 故选：D ．
由约束条件作出可行域，由y−6
x−6的几何意义，即可行域内的动点与定点P(6,6)连线的斜率求解． 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
2.答案：B
解析：解：方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；故①正确；
一个回归方程y =3−5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均减小5个单位；故②不正确； 线性回归方程，y =bx +a 必过样本中心点，故③正确； 曲线上的点与该点的坐标之间具有一一对应关系，故④不正确 综上，其中错误的个数是2个， 故选：B ．
方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；一个回归方程y =3−5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均减小5个单位；线性回归方程必过样本中心点．曲线上的点与该点的坐标之间具有一一对应关系，得到结果．
本题考查线性回归方程，考查独立性检验，考查方差的变化特点，考查相关关系，是一个考查的知识点比较多的题目，注意分析，本题不需要计算，只要理解概念就可以得出结论
3.答案：B。