数学物理方程第五章-傅立叶变换

偶函数 f(z) 有
kx f ( x) a0 ak cos , l k 1

其中 ak
k l l
1
l
k f ( ) cos d . l
2013-8-5
阜师院数科院
例 矩形波
f (x)
1 f ( x) 1
(2m , (2m 1) ) ((2m 1) ,2m )
2013-8-5
阜师院数科院
例
f ( x) x,Fra bibliotek(0,1)
f ( x), g ( x)
f ( x), g ( x)
x
x
偶延拓
2013-8-5
奇延拓
阜师院数科院
4. 复数形式的的傅里叶
, e
i
kx l
,, e
i
x
l
,1, e
i
x
l
,, e
i kx l
i
kx l
,
i kx kx e l cos l kx i kx e l sin l
l
(5.1.4)
因此
1 l k ak f ( ) co s d , l kl l l k bk 1 l f ( ) sin l d . l
阜师院数科院
(5.1.5)
2013-8-5
ak 1
1
kl

l
l
k f ( ) cos d l
k 2n, . k 2n 1
4 f ( x) sin(2n 1) x. n 0 (2n 1)

频域中的图示由你们给出
2013-8-5
阜师院数科院
3. 有限区间中的函数的的傅里叶展开
f(x) 定义于 (0, l).
可以认为它是某个周期为 2l 的函数在半个周期中的 部分。即令此周期函数为 g(x), 在半周期 (0, l) 中 g(x)=f(x). 这种做法叫延拓。
f ( z ) ln( z 1) ln( z 2) ln( z k k )
2 k 1
2013-8-5
阜师院数科院
1. 周期函数的傅里叶展开
周期为 2l 的函数 f(x) 满足
f ( x 2l ) f ( x)
的函数形式与周期是任意的，说道周期与形式是 固定的。要通过三角函数表示 f(x)，则必须a. 改 变三角函数的周期为 2l。b. 组合各种周期的三角 函数来表现 f(x)。这就是傅里叶级数。 三角函数族：, cos x , cos 2x , , cos kx , 1
E0
2013-8-5 0

2
阜师院数科院 6 4
频率
通常，函数 f(t) 表示某系统的按时间变化的性质， 叫在时域中的表示的性质。而频谱表示这种性质在 频域中的表示。 因此，傅里叶级数也是一种从时域到频域的变换。
1 0.8 0.6 0.4 0.2
-10
-5
5
10
幅 度 E0
0 E 2

2 E0 3
k 1
kl
1

l
l
[ a0 {ak cos
l l l
k x k x k bk sin }] cos d l l l
kl
1
a0

cos
k d l k x n cos d l l
kl
1

k 1
l l
ak cos bk sin
kl
1
f ( x), (5.1.3) 1 2 { f ( x 0) f ( x 0)}.
(在连续点x) (在间断点x)
例 交流电压 E(t ) E0 sin t 经过半波整流后的傅立 叶级数。 [ ,0] 2 0 E (t ) 解 周期为 E0 sin t [0, ]
2 E0 15
2 E0 35
0
2013-8-5
阜师院数科院

2
4
6
频 率
2.奇函数和偶函数的傅里叶展开 kx kx sin 是奇函数，cos l 是偶函数。
l
故 奇函数 f(z) 有
kx f ( x) bk sin , l k 1

1 l k 其中 bk l l f ( ) sin l d .

k 1 l
l
k x n cos d l l
kl
1

l
ak cos 2
l
k x 1 d l kl 1

l
l
ak
1 k x [1 cos 2 ]d 2 l
1 a kl k 2
ak 2l l d k l ak 2 k
2013-8-5
阜师院数科院
k 2n 1 k 2n.
2013-8-5
b1
E0 , 2
和
bk 0
1 1 (2n) 2 cos2nt. n 1

E0 2 E0 E (t ) sin t 2
频谱
幅度
E0
各个频率分量的幅度
E0 2
2 E0 3 2 E0 15 2 E0 35
1 0.8 0.6 0.4 0.2
2013-8-5
-10 -5
阜师院数科院
5 10
E (t ) a0 {ak cos kt bk sin kt}.
k 1

a0
2
1
[
0
/
0dt
/
0
E0 sin tdt] 2

/
0
E0 E0 sin tdt , 2
幂级数
a
k 0 k
( z z0 ) k a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 ) 2 ak ( z z0 ) k
f ( z ) ln( z 1) ln( z 2) ln( z k )
k 1

f ( x)
k
ck eikx ,

1 0 ikx 1 ikx f ( )e d 2 e d 2 0 e d 1 1 ikx 0 1 1 ikx 1 ( e ) ( e )0 {[1 ( 1) k ] [(1) k 1]} 2 ik 2 ik 2ik ( k 2n) 0 2 ( k 2n 1). i (2n 1)
证明2015831阜师院数科院位移定理频域的位移卷积定理原函数的卷积与像函数的乘积间的关系2015831阜师院数科院证明2015831阜师院数科院一维变换到高维空间中的变换三维dkdkdk2015831阜师院数科院53函数作为广义函数的引入物理上存在这样的物理量在无限小的范围内具有有限大小的量
第五章 傅里叶变换

令：
k
k , l
k k k 1

l
,
(5.2.1)
则 g ( x) a0
{a
k 1
l

k
cosk x bk sin k x}k .
1 l ak l l f ( ) cos k d , k 1 l bk l f ( ) sin kd . l
同样 b. 按三角函数族展开
kx kx f ( x) a0 {ak cos bk sin }. l l k 1

(5.1.3)
此为傅里叶级数展开 不同的函数形式由不同的组的
2013-8-5 阜师院数科院
ak 和 bk 表示。
三角函数组具有正交性
kx ( k 0), l 1 cos l dx 0 l kx l 1 sin l dx 0, l kx nx cos cos dx 0 (k n), l l l l kx nx sin sin dx 0 ( k n), l l l l kx nx cos sin dx 0. l l l
阜师院数科院
2 其中 k 1
(k 0) 此为傅里叶系数 (k 0)
此外，三角函数族还有完备性，即这个函数族足 够展开任何周期函数。 狄里希利定理 函数和级数并不完全是一个东西，例如幂级数就 有收敛域的问题。故必须讨论它们在什么条件下 完全一致 若函数 f(z) 满足条件 (1) 处处连续，或在每个周 期内只有有限个第一类间断点；(2) 在每个周期内只 有有限个极值点，则三角级数 (5.1.3) 收敛，且 2013-8-5 阜师院数科院
2013-8-5
＝ [

1


f ( ) sin kd ] sin xd .
阜师院数科院
故 其中
ak

1

/
0
E0 / E0 sin t cosktdt 0 [sin(1 k )t sin(1 k )tdt 2
E a1 0 2
ak

/
0
sin 2tdt
E0 cos 2t / 0, 0 4
E0 / 0 [sin(1 k )t sin(1 k )tdt 2 0 E0 cos(1 k )t cos(1 k )t / E0 (1)1 k 1 (1)1k 1 [ ] 0 [ ] 2 E0 2 1 k 1 k 2 1 k 1 k 1 k 1 k 2 [1 (2n) ]
l l x 2x kx sin , sin , , sin , l l l
阜师院数科院
l
2013-8-5
a. 2l 周期性
k ( x 2l ) kx 2lk kx kx cos cos( ) cos( 2k ) cos l l l l l
sin kx l
e 2 e 2i
i
kx l
f ( x)
2013-8-5
k
c e
k

i
kx l
, 其中
1 ck f ( )[e 2l l
l
i
kx l *
] d .
阜师院数科院
1 例 矩形波 f ( x) 1
1 ck 2

ikx
(2m , (2m 1) ) ((2m 1) ,2m )
2013-8-5 阜师院数科院
若 lim f ( )d 有限，则
l l

l
1 l lim a0 lim f ( )d 0. l l 2l l
(5.2.1)中的余弦部分的极限为：
lim
l
{ l
k 1 k
l
1
l
l
f ( ) cos k d cos k x} k
2 f ( x) i
1 ei ( 2 n 1) x , 2n 1 n

2013-8-5
阜师院数科院
5.2 傅里叶积分与傅里叶变换 1. 傅里叶积分 周期函数变为傅里叶级数，被看作周期函数从时域 到频域的变换。不过，由于时域的函数具有周期性， 频域的函数是离散的级数。如果时域的函数失去周 期性，到频域的变换如何实现？频域的函数形式又 是什么样的呢？
有限区间的函数可以延拓为周期函数。因此，失去周期 性的时域中的函数的定义域当为 x 。从方 便于研究而言，它又可以看作为周期趋于无穷大的函数。
设 g(x) 为周期函数，有如下傅里叶展开 2013-8-5 阜师院数科院
kx kx g ( x) a0 {ak cos bk sin }. l l k 1
l
lim
k 0
{
k 1
1
l
f ( ) cos k d cos k x} k
[
0

1




f ( ) cosd ] cosxd.
同理，正弦部分的极限为：
lim
l
l


k 1 0

1 l l f ( ) sin kd sin k x k l
5.1 傅里叶级数 利用三角级数的周期性来展开周期函数 • 周期函数的傅里叶展开；
• 奇函数和偶函数的傅里叶展开；
• 有限区间中的函数的的傅里叶展开；
• 复数形式的的傅里叶展开；。
2013-8-5 阜师院数科院
复变项级数

k 1

k
( z ) 1 ( z ) 2 ( z ) k ( z ) ,
1

0
1

2
周期
x
2
奇函数
2013-8-5
阜师院数科院
kx f ( x) bk sin , l k 1

bk

2
l
l
0 k 2 2 k f ( ) sin d [ cos k ] 0 [(1) ] 4 l k k k