苏科版八年级数学上 期末测试题(Word版 含答案)

苏科版八年级数学上 期末测试题（Word 版 含答案）
一、选择题
1．如图，以数轴的单位长度为边作一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A ，则点A 表示的数为（ ）
A ．12+
B ．21-
C ．2
D ．
32
2．如图，已知ABC DCB ∠=∠，添加以下条件，不能判定ABC DCB ∆≅∆的是（ ）
A ．A
B D
C = B ．BE CE = C ．AC DB =
D ．A D ∠=∠ 3．下列各点中在第四象限的是( )
A ．()2,3--
B ．()2,3-
C ．()3,2-
D ．()3,2
4．在下列分解因式的过程中，分解因式正确的是（ ） A ．－xz ＋yz ＝－z(x ＋y) B ．3a 2b －2ab 2＋ab ＝ab(3a －2b) C ．6xy 2－8y 3＝2y 2(3x －4y) D ．x 2＋3x －4＝(x ＋2)(x －2)＋3x
5．施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务．设原计划每天施工x 米，所列方程正确的是（ ） A ．10001000
30x x -+=2 B ．10001000
30x x -+=2 C ．
1000100030
x x --=2 D ．
10001000
30x x
--=2 6．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，∠A ＝30°，以下说法错误的是（ ） A ．AC ＝2CD
B ．AD ＝2CD
C ．A
D ＝3BD
D ．AB ＝2BC
7．下列计算正确的是（ ） A ．
5151
+
22＝5B ．
512﹣51
2
＝2 C 5151
+-＝1 D 5151
--3﹣58．将直线y ＝
1
2
x ﹣1向右平移3个单位，所得直线是（ ）
A ．y ＝
12
x +2 B ．y ＝
1
2
x ﹣4 C ．y ＝
1
2x ﹣52
D ．y ＝
12x +1
2
9．设2的整数部分用a 表示，小数部分用b 表示，4﹣2的整数部分用c 表示，小数部分用d 表示，则b d
ac
+值为（ ） A ．
12 B ．
14
C ．
21
2
- D ．
2+1
2
10．下列说法中，不正确的是（ ） A ．2﹣3的绝对值是2﹣3 B ．2﹣3的相反数是3﹣2 C ．64的立方根是2
D ．﹣3的倒数是﹣
13
二、填空题
11．使3x -有意义的x 的取值范围是__________． 12．点A (3，－2)关于x 轴对称的点的坐标是________．
13．在平面直角坐标系xOy 中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，已知点A （0，4），点B 是x 轴正半轴上的整点，记△AOB 内部（不包括边界）的整点个数为m ，当m ＝3时，则点B 的横坐标是_____．
14．已知关于x 的方程211
x m
x -=-的解是正数，则m 的取值范围为__________． 15．点（−1，3）关于x 轴对称的点的坐标为____．
16．化简20,0)3b
a b a
>≥结果是_______ ． 17．如图，直线1l x ⊥轴于点(1,0)，直线2l x ⊥轴于点(2,0)，直线3l x ⊥轴于点
(3,0)，…直线n l x ⊥轴于点(,0)n .函数y x =的图像与直线123
,,n l l l l 分别变于点
123,,,
n A A A A ；函数3y x =的图像与直线123,,
,n l l l l 分别交于点123,,,
n B B B B ，如果
11OA B ∆的面积记的作1S ，四边形1221A A B B 的面积记作2S ，四边形2332A A B B 的面积记作3S ，…四边形n 1n n n 1A A B B --的面积记作n S ，那么2020S =________.
18．如图，在△ABC 中，AB =5，AC =13，BC 边上的中线AD =6，则△ABD 的面积是______．
19．如图，在△ABC 中，AB ＝ AC ，∠BAC ＝ 120º，AD ⊥BC ，则∠BAD ＝ _____°．
20．如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，BC ＝9，∠BAC 的角平分线AP 交BC 于点P ，则CP 的长为_____．
三、解答题
21．已知一次函数的图象经过点P （0，－2），且与两条坐标轴截得的直角三角形的面积为6，求这个一次函数的解析式．
22．直角三角形ABC 中，90ABC ∠=︒，点D 为AC 的中点，点E 为CB 延长线上一点，且BE CD =，连接DE . （1）如图1，求证2C E ∠=∠
（2）如图2，若6AB =、5BE =，ABC ∆的角平分线CG 交BD 于点F ，求BCF ∆的面积.
23．（问题背景）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标是(0,1)，点C 是x 轴上的一个动点.当点C 在x 轴上移动时，始终保持ACP ∆是等腰直角三角形，且90CAP ∠=︒(点A 、C 、P 按逆时针方向排列)；当点C 移动到点O 时，得到等腰直角三角形AOB (此时点P 与点B 重合). （初步探究）
(1)写出点B 的坐标______.
(2)点C 在x 轴上移动过程中，当等腰直角三角形ACP 的顶点P 在第四象限时，连接BP . 求证：AOC ABP ∆∆≌； （深入探究）
(3)当点C 在x 轴上移动时，点P 也随之运动.经过探究发现，点P 的横坐标总保持不变，请直接写出点P 的横坐标：______. （拓展延伸）
(4)点C 在x 轴上移动过程中，当POB ∆为等腰三角形时，直接写出此时点C 的坐标.
备用图
24．（模型建立）
如图1，等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，CB CA =，直线ED 经过点C ，过A 作AD ED ⊥于点D ，过B 作BE ED ⊥于点E .
求证：BEC CDA ∆∆≌； （模型应用） ①已知直线1l ：4
43
y x =
+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将直线1l 绕着点A 逆时针旋转45︒至直线2l ，如图2，求直线2l 的函数表达式；
②如图3，在平面直角坐标系中，点()8,6B
，作BA y ⊥轴于点A ，作BC x ⊥轴于点
C ，P 是线段BC 上的一个动点，点Q 是直线26y x =-上的动点且在第一象限内.问点
A 、P 、Q 能否构成以点Q 为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请直接写出此时点Q
的坐标，若不能，请说明理由.
25．学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地两人之间的距离y （米）与时间t （分钟）之间的函数关系如图所示
（1）根据图象信息，当t ＝ 分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为 米/分钟； （2）求出线段AB 所表示的函数表达式 （3）甲、乙两人何时相距400米？
四、压轴题
26．如图，已知△ABC 中，AB=AC=10cm ，BC=8cm ，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3cm/s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． （1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1s 后，BP= cm ，CQ= cm ． （2）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1s 后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；
（3）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？
（4）若点Q 以（3）中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次相遇？
27．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标(3,2)-，过A 点作AB x ⊥轴，垂足为点B ，过点(2,0)C 作直线l x ⊥轴，点P 从点B 出发在x 轴上沿着轴的正方向运动．
（1）当点P 运动到点O 处，过点P 作AP 的垂线交直线l 于点D ，证明AP DP =，并求
此时点D的坐标；
（2）点Q是直线l上的动点，问是否存在点P，使得以P C Q
、、为顶点的三角形和ABP
∆全等，若存在求点P的坐标以及此时对应的点Q的坐标，若不存在，请说明理由．28．如图，在平面直角坐标系中，直线
3
3
4
y x
=-+分别交,x y轴于A B
，两点，C为线段AB的中点，(,0)
D t是线段OA上一动点（不与A点重合），射线//
BF x轴，延长DC 交BF于点E．
（1）求证：AD BE
=；
（2）连接BD，记BDE的面积为S，求S关于t的函数关系式；
（3）是否存在t的值，使得BDE是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
29．已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点
E、F．
①求证：∠1＝∠2；
②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；
（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，
求ABF
ACF
S
S的值．
30．定义：若两个三角形，有两边相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏差三角形．
（1）如图1，已知A（3，2），B（4，0），请在x轴上找一个C，使得△OAB与△OAC是偏差三角形．你找到的C点的坐标是______，直接写出∠OBA和∠OCA的数量关系
______．
（2）如图2，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠D+∠B=180°，问△ABC与△ACD是偏差三角形吗？请说明理由．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB=DC，AC与BD交于点P，BD+AC=9，
∠BAC+∠BDC=180°，其中∠BDC＜90°，且点C到直线BD的距离是3，求△ABC与△BCD 的面积之和．
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一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
先根据勾股定理求出正方形对角线的长，然后根据实数与数轴的关系解答即可.
【详解】
22
2，
11
∴点A2.
故选C.
【点睛】
本题考查了勾股定理，以及实数与数轴，主要是数轴上无理数的作法，需熟练掌握．2．C
解析：C
【解析】
【分析】
全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可．
【详解】
A．AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；B．∵BE=CE，
∴∠DBC=∠ACB．
∵∠ABC=∠DCB，BC=CB，∠ACB=∠DBC，符合ASA，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
C．∠ABC=∠DCB，AC=BD，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出
△ABC≌△DCB，故本选项正确；
D．∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合AAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，能正确根据全等三角形的判定定理进行推理是解答此题的关键，注意：全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS．
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据第四象限点的坐标特点，在选项中找到横坐标为正，纵坐标为负的点即可．
【详解】
解：A．(-2，-3)在第三象限；
B．(-2，3)在第二象限；
C．(3，-2)在第四象限；
D．(3，2)在第一象限；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，用到的知识点为：点在第四象限内，那么横坐标大于0，纵坐标小于0．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】
－xz＋yz＝－z(x-y)，故此选项错误；
3a2b－2ab2＋ab＝ab(3a－2b+1)，故此选项错误；
6xy2－8y3＝2y2(3x－4y)故此选项正确；
x2＋3x－4＝(x＋2)(x－2)＋3x，此选项没把一个多项式转化成几个整式积的形式，此选项错误．
故选：C．
【点睛】
因式分解的意义．
5．A
解析：A
【解析】
分析：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，根据：原计划所用时间﹣实际所用时间=2，列出方程即可．
详解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，
根据题意，可列方程：10001000
30
x x
-
+
=2，
故选A．
点睛：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程．
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
在Rt△ABC中，由∠A的度数求出∠B的度数，在Rt△BCD中，可得出∠BCD度数为30°，根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，得到BC=2BD，由BD的长求出BC 的长，在Rt△ABC中，同理得到AB=2BC，于是得到结论．
【详解】
解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC；
∵CD⊥AB，
∴AC＝2CD，
∴∠B＝60°，又CD⊥AB，
∴∠BCD＝30°，
在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，CD3，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，AD3＝3BD，
故选：B．
【点睛】
此题考查了含30°角直角三角形的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握性质是解本题的关键．
7．C
解析：C
【分析】
利用二次根式的加减法对A 、B 进行判断；根据二次根式的乘法法则对C 进行判断；利用完全平方公式对D 进行判断．
【详解】
解：A ==A 选项错误；
B 212
==，所以B 选项错误； C 1515114--==，所以C 选项正确；
D 、
151-=，所以D 选项错误． 故选：C ．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】
由“左加右减”的原则可知，将直线y =
12x ﹣1向右平移3个单位，所得直线的表达式是y =12
（x ﹣3）﹣1， 即y =12x ﹣52
． 故选：C ．
【点睛】
此题主要考查一次函数的平移，熟练掌握平移规律，即可解题.
9．A 解析：A
【解析】
【分析】
和4的值，确定其整数部分，再用原数减去其整数部分可得小数部分，将求得的值代入求解即可.
解：∵1＜2＜4，
∴1＜2．
∴a＝1，b﹣1，
∵2＜4＜3
∴c＝2，d＝4﹣2＝2．∴b+d＝1，ac＝2．
∴b d
ac
＝
1
2
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了实数的估算，灵活的利用估算确定无理数的整数部分与小数部分是解题的关键. 10．A
解析：A
【解析】
【分析】
分别根据实数绝对值的意义、相反数的定义、立方根的定义和倒数的定义逐项解答即可．【详解】
解：A，故A选项不正确，所以本选项符合题意；
B，正确，所以本选项不符合题意；
C82，正确，所以本选项不符合题意；
D、﹣3的倒数是﹣1
3
，正确，所以本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了实数的绝对值、相反数、立方根和倒数的定义，属于基础知识题型，熟练掌握实数的基本知识是解题关键．
二、填空题
11．【解析】
【分析】
根据以上信息可得到关于不等式x-3≥0，求解便能得到x的取值范围．
【详解】
根据题意，得
x-3≥0，
解得x≥3.
【点睛】
考查二次根式有意义的条件：二次根式的
x≥
解析：3
【解析】
【分析】
根据以上信息可得到关于不等式x-3≥0，求解便能得到x的取值范围．
【详解】
根据题意，得
x-3≥0，
解得x≥3.
x≥
故答案为3
【点睛】
考查二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数是非负数；
12．（3，2）
【解析】
试题分析：点A（3，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（3，2）．故答案为（3，2）．
考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
解析：（3，2）
【解析】
试题分析：点A（3，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（3，2）．故答案为（3，2）．考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
13．3或4
【解析】
【分析】
作出图形，然后根据图形判断出横坐标的可能值即可；
【详解】
解：如图
当点B为(3,0)，(4,0)记ΔAO B内部（不包括边界）的整点为（1，1），（1，2），（2，1
解析：3或4
【解析】
【分析】
作出图形，然后根据图形判断出横坐标的可能值即可；
【详解】
当点B为(3,0)，(4,0)记内部（不包括边界）的整点为（1，1），（1，2），（2，1）共三个点，
故当时，则点的横坐标可能是3，4.
故填3，4.
【点睛】
此题考查了点的坐标，关键是根据题意画出图形，找出点B的横坐标与△AOB内部（不包括边界）的整点m之间的关系，考查数形结合的数学思想方法．
14．m＞1且m≠2．
【解析】
【分析】
先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围．
【详解】
原方程整理得：2x-m=x-1
解得：x=m-1
因为x＞0，所以
解析：m＞1且m≠2．
【解析】
【分析】
先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围．
【详解】
原方程整理得：2x-m=x-1
解得：x=m-1
因为x＞0，所以m-1＞0，即m＞1．①
又因为原式是分式方程，所以，x≠1，即m-1≠1，所以m≠2．②
由①②可得，则m的取值范围为m＞1且m≠2．
故答案为：m＞1且m≠2．
【点睛】
考核知识点：解分式方程.去分母，分母不等于0是注意点.
15．（-1，-3）．
【解析】
【分析】
根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．【详解】
解：点（-1，3）关于x轴对称的点的坐标为（-1，-3），
故答案是：（-1，
解析：（-1，-3）．
【解析】
【分析】
根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
【详解】
解：点（-1，3）关于x轴对称的点的坐标为（-1，-3），
故答案是：（-1，-3）．
【点睛】
此题主要考查了关于x轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标变化规律．
16．【解析】
【分析】
首先将被开方数的分子和分母同时乘以3a，然后再依据二次根式的性质化简即可．
【详解】
解：原式=，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查的是二次根式的性质与化简，熟练掌握相关知
【解析】
【分析】
首先将被开方数的分子和分母同时乘以3a，然后再依据二次根式的性质化简即可．
【详解】
解：原式=
．
【点睛】
本题主要考查的是二次根式的性质与化简，熟练掌握相关知识是解题的关键．17．4039
【解析】
【分析】
根据直线解析式求出An−1Bn−1，AnBn的值，再根据直线ln−1与直线ln互相平行并判断出四边形An−1AnBn Bn−1是梯形，然后根据梯形的面积公式求出Sn的表
解析：4039
【解析】
【分析】
根据直线解析式求出A n−1B n−1，A n B n的值，再根据直线l n−1与直线l n互相平行并判断出四边形A n−1A n B n B n−1是梯形，然后根据梯形的面积公式求出S n的表达式，然后把n＝2020代入表达式进行计算即可得解．
【详解】
根据题意，A n−1B n−1＝3（n−1）−（n−1）＝3n−3−n＋1＝2n−2，
A n
B n＝3n−n＝2n，
∵直线l n−1⊥x轴于点（n−1，0），直线l n⊥x轴于点（n，0），
∴A n−1B n−1∥A n B n，且l n−1与l n间的距离为1，
∴四边形A n−1A n B n B n−1是梯形，
S n＝1
2
（2n−2＋2n）×1＝
1
2
（4n−2）=2n-1，
当n＝2020时，S2020＝2×2020-1=4039
故答案为：4039．
【点睛】
本题是对一次函数的综合考查，读懂题意，根据直线解析式求出A n−1B n−1，A n B n的值是解题的关键，要注意脚码的对应关系，这也是本题最容易出错的地方．
18．15
【解析】
【分析】
延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE，可证明△ABD≌△CED，所以CE=AB，再利用勾股定理的逆定理证明△CDE是直角三角形，即△ABD为直角三角形，进而可求出△A
解析：15
【解析】
【分析】
延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE，可证明△ABD≌△CED，所以CE=AB，再利用勾股定理的逆定理证明△CDE是直角三角形，即△ABD为直角三角形，进而可求出△ABD的面积．
【详解】
解：延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE，
∵AD 是BC 边上的中线，
∴BD =CD ，
在△ABD 和△CED 中，
BD CD ADB EDC AD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ABD ≌△CED （SAS ），
∴CE =AB =5，∠BAD =∠E ，
∵AE =2AD =12，CE =5，AC =13，
∴CE 2+AE 2=AC 2，
∴∠E =90°，
∴∠BAD =90°，
即△ABD 为直角三角形，
∴△ABD 的面积=
12
AD •AB =15． 故答案为15．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 19．60°
【解析】
【分析】
根据等腰三角形三线合一的性质得：AD 平分∠BAC，由此根据角平分线的定义得出结论．
【详解】
如图，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD 平分∠BAC，
∴∠BAD=∠BA
解析：60°
【解析】
【分析】
根据等腰三角形三线合一的性质得：AD平分∠BAC，由此根据角平分线的定义得出结论．【详解】
如图，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=1
2
∠BAC，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=1
2
×120°=60°，
故答案为：60°.
【点睛】
本题考查的知识点是等腰三角形的性质，解题关键是熟记等腰三角形三线合一的性质. 20．．
【解析】
【分析】
作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，根据角平分线的性质得出PM＝PN，由三角形面积公式得出，从而得到，即可求得CP的值．
【详解】
作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，
∵AP是
解析：45 11
．
【解析】
【分析】
作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，根据角平分线的性质得出PM＝PN，由三角形面积公式得
出
1
6
2
15
2
APB
APC
AB PM
S AB
S AC
AC PN
⋅
===
⋅
，从而得到
1
6
2
15
2
APB
APC
PB h
S PB
S PC
PC h
⋅
===
⋅
，即可求得CP
的值．
【详解】
作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，∵AP是∠BAC的角平分线，
∴PM＝PN，
∴
1
6
2
15
2
APB
APC
AB PM
S AB
S AC
AC PN
⋅
===
⋅
，
设A 到BC 距离为h
，则162152
APB
APC PB h S
PB S PC PC h ⋅===⋅， ∵PB +PC ＝BC ＝9，
∴CP ＝9×511＝4511
， 故答案为：
4511．
【点睛】
本题主要考查三角形的角平分线的性质，结合面积法，推出AB AC PB PC
=，是解题的关键． 三、解答题
21．y=-
13x-2或y=13
x-2． 【解析】
【分析】 分一次函数与x 轴交点Q 在正半轴与负半轴两种情况确定出Q 的坐标，即可确定出一次函数解析式．
【详解】
解：设一次函数与x 轴的交点为Q,则
①当一次函数与x 轴交点Q 在x 轴负半轴时，
由OP=2，与两坐标所围成的直角三角形面积为6，得到Q （-6，0），
设一次函数解析式为y=kx+b ，将P 与Q 坐标代入得：
2,60,b k b -⎧⎨-+⎩＝＝解得1,32.
k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ 此时一次函数解析式为y=-13
x-2； ②当一次函数与x 轴交点在x 轴正半轴时，
由OP=2，与两坐标所围成的直角三角形面积为6，得到Q （6，0），
设一次函数解析式为y=mx+n ，将P 与Q 坐标代入得：
2,60,n m n -⎧
⎨+⎩＝＝解得1,32.
m b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 此时一次函数解析式为y=13
x-2． 故所求一次函数解析式为：y=-
13x-2或y=13
x-2． 【点睛】 此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
22．（1）见解析（2）
9613 【解析】
【分析】
（1）连接BD ，依题意得BD=CD ，所以∠C=∠CBD ，可证明∠CBD=2E ∠，进而可得结论； （2）过点F 作FM BC ⊥，FN AC ⊥，根据已知求出CD=5，AC=10，由勾股定理求出BC=8，求出S △BCD =12
S △ABC ，再根据BCD BCF CDF S S S ∆∆∆=+，即111222
CD FN BC FM =⋅+⋅可求出FM ，从而可得结论. 【详解】
（1）连接BD
点D 为AC 中点，且90ABC ∠=︒，
12
BD AC CD AD ∴===， CD BE =，
BE BD ∴=，
BDE E ∴∠=∠，
又BD CD ∴=，
C DBC ∴∠=∠，
2C DBC BDE E E ∴∠=∠=∠+∠=∠，
（2）过点F 作FM BC ⊥，FN AC ⊥.
CG 平分ABC ∠，
FM FN ∴=，
5BE =，
5,10CD AD BE AC ∴====，
又6AB =
∴在Rt ABC ∆中，222AB BC AC +=，
8BC ∴=
BD 为ABC ∆中线，
11111681222222
BCD ABC S S AB BC ∆∆∴==⨯⨯=⨯⨯⨯=， 又BCD BCF CDF S S S ∆∆∆=+，
111222
CD FN BC FM ∴=⋅+⋅， 11581222
FM FM ∴⨯⨯+⨯⨯=， 2413
FM ∴=， 1124968221313BCF S BC FM ∆∴=
⋅=⨯⨯=， 【点睛】
此题考查了直角三角形的性质，角平分线的性质以及三角形中线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键.
23．(1)(1，1)；(2)证明见解析；(3)1；(4)(2,0)(2,0)(2,0)--.
【解析】
【分析】
根据等腰直角三角形的性质，OA=AB ，题干中已知A 点坐标，即可求得OB 的长度，表示出B 点坐标即可.
根据等腰直角三角形的性质得到90CAP OAB ︒∠=∠=，再根据等角的余角相等，得出角12∠=∠，最后利用三角形全等的判定方法进行判定即可.
根据（2）的结论△ABP 也为直角三角形，且AB 垂直BP ，且AB=OB=1，即可得出P 点的横坐标.
先根据题意，确定B 点、A 点坐标，设出P 点和C 点坐标，分情况进行讨论，当OP=OB 时，当OB=BP 时，当OP=BP 时，分别利用两点间距离公式求出点P 点的坐标，然后分别算
出AP的长，最后利用AP=AC计算出A点坐标即可.
【详解】
解：(1)∵点A的坐标为（0，1）
△OAB是等腰直角三角形，且OA=AB，OA⊥BA
∴B点坐标为(1,1).
(2)证明：在等腰直角三角形ACP中，AC AP
=，90
CAP
∠=︒
在等腰直角三角形AOB中，AO AB
=，90
OAB
∠=︒
90
CAP OAB︒
∠=∠=
CAP OAP OAB OAP
∴∠-∠=∠-∠
12
∠∠
∴=
在AOC
∆和ABP
∆中
2
AC AP
AO AB
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
()
AOC ABP SAS
∴∆∆
≌
(3)AOC ABP
∆∆
≌（已证）
∴∠ABP=90°
∴PB垂直AB，P点在过B点且垂直与AB的垂线上，
∵点B的坐标为（1,1）
∴P点的横坐标为1.
(4)由题意和（1）可知()
01(11)
A B
，，，，
设P（1，y），C（x，0），
当OB=OP()()
22
1-1+12
y-=
解得:21
y=或21
y=+，
则()2
2
12113
AP=++-=()2
2
12113
AP=+-+-=
解得：2
x=±
所以C点坐标为（2,02,0）
同理当OB=OP 时，可得C 点坐标为（-2,0）
当BP=OP 时，可得C 点坐标为（-1,0）
故答案为：(2,0)(--
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形全的的判定方法，计算两点间距离，动点问题，解决本题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，能够得到相等的线段和角，动点问题要注意分类进行讨论，根据情况确定答案.
24．【模型建立】详见解析；【模型应用】①721y x =--；②Q 点坐标为（4，2）或（
203，223）. .
【解析】
【分析】
模型建立：根据△ABC 为等腰直角三角形，AD ⊥ED ，BE ⊥ED ，可判定
△ACD ≌△CBE ；
模型应用：①过点B 作BC ⊥AB ，交l 2于C ，过C 作CD ⊥y 轴于D ，根据
△CBD ≌△BAO ，得出BD=AO=2，CD=OB=3，求得C （-3，5），最后运用待定系数法求直线l 2的函数表达式；
②分两种情况考虑：如图3，∠AQP=90°，AQ=PQ ，设Q 点坐标为（a ，2a-6），利用三角形全等得到a+6-（2a-6）=8，得a=4，易得Q 点坐标；如图4，同理求出Q 的坐标.
【详解】
模型建立：证明：∵AD CD ⊥，BE EC ⊥
∴90D E ∠=∠=︒.
∵CB CA =,∠ACB=90°.
∴1809090ACD BCE ︒︒∠+∠=-=︒.
又∵90EBC BCE ∠+∠=︒，
∴ACD EBC ∠=∠.
在ACD ∆与CBE ∆中， D E ACD EBC CA CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴BEC CDA ∆∆≌.
模型应用：
如图2，过点B 作BC AB ⊥交2l 于C ，过C 作CD y ⊥轴于D ，
∵45BAC ∠=︒，
∴ABC ∆为等腰直角三角形.
由（1）可知：CBD BAO ∆∆≌，
∴BD AO =，CD OB =.
∵144,3
:l y x =+ ∴令0y =，得3x =-，∴()30A -,
， 令0x =，得4y =，∴()0,4B .
∴3BD AO ==，4CD OB ==，
∴437OD =+=.
∴()4,7C -.
设2l 的解析式为y kx b =+
∴7403k b k b =-+⎧⎨=-+⎩
∴721k b =-⎧⎨
=-⎩ 2l 的解析式：721y x =--.
分以下两种情况：
如图3，当∠AQP=90°时，AQ=PQ ，过点Q 作EF ⊥y 轴，分别交y 轴和直线BC 于点E 、F ．
在△AQE 和△QPF 中，由（1）可得，△AQE ≌△QPF （AAS ），
AE=QF ，设点Q 的坐标为(a,2a-6),即6-（2a-6）=8-a ，解得a=4.
此时点Q 的坐标为（4，2）.
如图4：当∠AQP=90°时，AQ=PQ 时，过点Q 作EF ⊥y 轴，分别交y 轴和直线BC 于点
E、F，设点Q的坐标为(a,2a-6),则AE=2a-12，FQ=8-a．
,
在△AQE和△QPF中，同理可得△AQE≌△QPF（AAS），
AE=QF，即2a-12=8-a，解得a=20 3
.
此时点Q的坐标为（20
3
，
22
3
）.
综上所述：A、P、Q可以构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，点Q的坐标为（4，
2）或（20
3
，
22
3
）.
【点睛】
本题考查一次函数综合题，主要考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，需要考虑的多种情况，解题时注意分类思想的运用．
25．（1）24，40；（2）y＝40t（40≤t≤60）；（3）出发20分钟或28分钟后，甲、乙两人何时相距400米
【解析】
【分析】
（1）根据图象信息，当t＝24分钟时甲乙两人相遇，甲60分钟行驶2400米，根据速度＝路程÷时间可得甲的速度；
（2）由t＝24分钟时甲乙两人相遇，可得甲、乙两人的速度和为2400÷24＝100米/分钟，减去甲的速度得出乙的速度，再求出乙从图书馆回学校的时间即A点的横坐标，用A点的横坐标乘以甲的速度得出A点的纵坐标，再将A、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出线段AB所表示的函数表达式；
（3）分相遇前后两种情况列方程解答即可．
【详解】
解：（1）根据图象信息，当t＝24分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为2400÷60＝40（米/分钟）．
故答案为24，40；
（2）∵甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，t＝24分钟时甲乙两人相遇，
∴甲、乙两人的速度和为2400÷24＝100米/分钟，∴乙的速度为100﹣40＝60（米/分钟）．
乙从图书馆回学校的时间为2400÷60＝40分钟，40×40＝1600，
∴A点的坐标为（40，1600）．
设线段AB所表示的函数表达式为y＝kt+b，
∵A（40，1600），B（60，2400），
∴
401600
602400
k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得
k40
b0
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴线段AB所表示的函数表达式为y＝40t（40≤t≤60）；
（3）设出发t分钟后两人相距400米，根据题意得
（40+60）t＝2400﹣400或（40+60）t＝2400+400，
解得t＝20或t＝28，
答：出发20分钟或28分钟后，甲、乙两人何时相距400米．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，路程、速度、时间的关系，用待定系数法确定函数的解析式，属于中考常考题型．读懂题目信息，从图象中获取有关信息是解题的关键．
四、压轴题
26．（1）BP=3cm，CQ=3cm；（2）全等，理由详见解析；（3）15
4
；（4）经过
80
3
s点P
与点Q第一次相遇．
【解析】
【分析】
（1）速度和时间相乘可得BP、CQ的长；
（2）利用SAS可证三角形全等；
（3）三角形全等，则可得出BP=PC，CQ=BD，从而求出t的值；
（4）第一次相遇，即点Q第一次追上点P，即点Q的运动的路程比点P运动的路程多10+10=20cm的长度．
【详解】
解：（1）BP=3×1=3㎝，
CQ=3×1=3㎝
（2）∵t=1s，点Q的运动速度与点P的运动速度相等
∴BP=CQ=3×1=3cm，
∵AB=10cm，点D为AB的中点，
∴BD=5cm．
又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm，
∴PC=8﹣3=5cm，
∴PC=BD
又∵AB=AC ，
∴∠B=∠C ，
在△BPD 和△CQP 中，
PC BD B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BPD ≌△CQP(SAS)
（3）∵点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，
∴BP 与CQ 不是对应边，
即BP≠CQ
∴若△BPD ≌△CPQ ，且∠B=∠C ，
则BP=PC=4cm ，CQ=BD=5cm ，
∴点P ，点Q 运动的时间t=
433BP =s ， ∴154
Q CQ V t ==cm/s ； （4）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇． 由题意，得
154x=3x+2×10， 解得80x=
3 ∴经过803
s 点P 与点Q 第一次相遇． 【点睛】
本题考查动点问题，解题关键还是全等的证明和利用，将动点问题视为定点问题来分析可简化思考过程．
27．（1）证明见解析；(2,3)D ；（2）存在，(0,0)P ，(2,3)Q 或(0,0)P ，(2,3)Q -或
(4,0)P ，(2,7)Q 或(4,0)P ，(2,7)Q -或1(,0)2P -，(2,2)Q -或1(,0)2
P -，(2,2)Q -．
【解析】
【分析】
（1）通过全等三角形的判定定理ASA 证得△ABP ≌△PCD ，由全等三角形的对应边相等证得AP ＝DP ，DC ＝PB ＝3，易得点D 的坐标；
（2）设P （a ，0），Q （2，b ）．需要分类讨论：①AB ＝PC ，BP ＝CQ ；②AB ＝CQ ，BP ＝PC ．结合两点间的距离公式列出方程组，通过解方程组求得a 、b 的值，得解．
【详解】
（1）AP PD ⊥
90APB DPC ∴∠+∠=
AB x ⊥轴
90A APB ∴∠+∠=
A DPC ∴∠=∠
在ABP ∆和PCD ∆中
A DPC A
B PC
ABP PCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
()ABP PCD ASA ∴∆≅∆
AP DP ∴=，3DC PB ==
(2,3)D ∴
（2）设(,0)P a ，(2,)Q b
①AB PC =，BP CQ =
223a a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩
，解得03a b =⎧⎨=±⎩或47a b =⎧⎨=±⎩ (0,0)P ∴，(2,3)Q 或(0,0)P ，(2,3)Q -或(4,0)P ，(2,7)Q 或(4,0)P ，(2,7)Q - ②AB CQ =，BP PC =，
322a a b +=-⎧⎨=⎩，解得122
a b ⎧=⎪⎨⎪=±⎩ 1(,0)2P ∴-，(2,2)Q -或1(,0)2
P -，(2,2)Q - 综上：(0,0)P ，(2,3)Q 或(0,0)P ，(2,3)Q -或(4,0)P ，(2,7)Q 或(4,0)P ，(2,7)
Q -或1(,0)2P -
，(2,2)Q -或1(,0)2
P -，(2,2)Q - 【点睛】 考查了三角形综合题．涉及到了全等三角形的判定与性质，两点间的距离公式，一元一次绝对值方程组的解法等知识点．解答（2）题时，由于没有指明全等三角形的对应边（角），所以需要分类讨论，以防漏解．
28．（1）详见解析；（2）36(04)2BDE t t S -+≤<=；（3）存在，当78t =或43
时，使得BDE 是以BD 为腰的等腰三角形．
【解析】
【分析】
（1）先判断出EBC DAC ∠=∠，CEB CDA ∠=∠，再判断出BC AC =，进而判断出△BCE ≌△ACD ，即可得出结论；
（2）先确定出点A ，B 坐标，再表示出AD ，即可得出结论；
（3）分两种情况：当BD BE =时，利用勾股定理建立方程2223(4)t t +=-，即可得出结
论；当BD
DE =时，先判断出Rt △OBD ≌Rt △MED ，得出DM OD t ==，再用OM BE =建立方程求解即可得出结论．
【详解】
解：（1）证明：
射线//BF x 轴， EBC DAC ∴∠=∠，CEB CDA ∠=∠， 又C 为线段AB 的中点，
BC AC ∴=，
在△BCE 和△ACD 中，
CEB CDA EBC DAC BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
∴△BCE ≌△ACD （AAS ），
BE AD ∴=；
（2）解：在直线334
y x =-+中， 令0x =，则3y =，
令0y =，则4x =，
A ∴点坐标为(4,0)，
B 点坐标为(0,3)，
D 点坐标为(,0)t ，
4AD t BE ∴=-=，
113(4)36(04)222
BDE ABD B S S AD y t t t ∴==⋅=-⨯=-+<；
（3）当BD BE =时，
在Rt OBD ∆中，90BOD ∠=︒，
由勾股定理得：222OB OD DB +=，
即2223(4)t t +=-
解得：78
t =； 当BD DE =时，
过点E 作EM x ⊥轴于M ，
90BOD EMD ∴∠=∠=︒，
//BF OA ，。