选修4-4 平面直角坐标系中的伸缩变换

选修4-4 §1.2平面直角坐标系中的伸缩变换
〖知识网络建构〗
1．一般地，由⎩⎨⎧kx = x'，
y = y'
所确定的伸缩变换，是伸缩系数为k 向着y 轴的伸缩变换。

当k > 1时，表示伸长；当 k < 1时，表示压缩，即曲线上所有的点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 k 倍。

这里P （x ，y)是变换前的点，P'(x'，y')是变换后的点。

2．同样由 ⎩⎨⎧x = x'，
ky = y'
所确定的伸缩变换是伸缩系数为k 向着x 轴的伸缩变换。

〖典例剖析〗
【例1】：求下列点经过横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍后的点的坐标： （1） （1，2）； （2） （-2，-1）. 【例1】解：（1）（2，6）；（2）（-4，-3）.
【变式与拓展1】．点（2，-3）经过伸缩变换⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==y y x x 31'2
1'后的点的坐标是 ；
解：变式1．（1，-1）；
【变式与拓展2】．点),(y x 经过伸缩变换⎪⎩⎪
⎨⎧==y
y x x 3'21'后的点的坐标是（-2，6）
，则=x ，=y ；
解：变式2．2,4=-=y x
【例2】：在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨
⎧==y
y x
x 3'2'后的图形：
（1）032=+y x ；（2）12
2=+y x .
【例2】解：（1）0''=+y x ；（2）19
'4'2
2=+y x 〖能力训练〗
1．点)1,2(
π
经过伸缩变换⎩⎨⎧==y
y x
x 3'2'后的点的坐标是 )3,(π； ； 2．点),(y x 经过伸缩变换⎩⎨
⎧==y
y x
x 2'3'后的点的坐标是)4,3(-π，则=x x π=，
=y 2y =-.
3．曲线364922=+y x 经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 31'2
1'后的曲线方程是 1''22=+y x .
4．曲线C 经过伸缩变换⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
==y y x x 21'3
1'后的曲线方程是36'9'422=-y x ，则曲线C 的方程是
1''22=-y x .
5．将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（B ）
A.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
==y y x x 23'3
2' B.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
==y y x x 3
2'23
' C.⎩⎨⎧==x y y x '' D.⎩
⎨⎧-=+=1'1'y y x x
6．将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 ⎩
⎨⎧==y y x
x 4'' .
7．在伸缩变换⎩⎨⎧==y y x x '2'与伸缩变换⎩⎨⎧==y
y x x 2'2'的作用下，单位圆12
2=+y x 分别变成什么图
形？
解：在⎩⎨⎧==y y x x '2'的作用下，单位圆变成椭圆1'4'22
=+y x ；在⎩⎨⎧==y
y x x 2'2'的作用下，单位圆变成圆4''2
2
=+y x ；
8．为了得到函数R x x y ∈+=),6
3sin(2π
的图像，只需将函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点（C ）
A.向左平移
6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
31
倍（纵坐标不变） B.向右平移
6π
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的3
1
倍（纵坐标不变）
C.向左平移
6π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） D.向右平移
6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
9．曲线)6sin(π
+=x y 经过伸缩变换⎩
⎨⎧==y y x x 2'3'后的曲线方程是 )63'sin(2'π
+=x y ；
10．将曲线0222=+-x y x 变成曲线0'4'16'2
2=+-x y x 的伸缩变换是 ⎪⎩
⎪⎨⎧==y y x x 21'2' .
11.函数()f x 的图像是将函数2log (1)x +的图像上各点的横坐标变为原来的1
3
，纵坐标变为原来的
1
2
而得到的，则与()f x 的图像关于原点对称的图像的解析式是 。

解：2log (1)y x =+ 以3,2x y 分别代,x y 得22log (31)y x =+
21log (31)2y x ∴=
+ 有21
()log (31)2f x x =+，它的图像关于原点对称的图像的解析式是21
log (13)2
y x =--
12. 函数31x y x =
-，经过怎样的平移变换与伸缩变换才能得到函数1
y x
=？ 解：分析：可考虑先伸缩，再平移；也可考虑先平移，再伸缩；也可交替地运用平移与伸缩。

方法一、（先伸缩，再平移）
y 伸长到原来的3倍：1331x y x =- 得331
x
y x =-
x伸长到原来的3倍：
1
3()1
31
11
3()1
3
x x
y
x x
x
===+
--
-
得
1
1
1
y
x
-=
-
向左平移1个单位，再向下平移1个单位：
1
(1)1
(1)1
y
x
+-=
+-
得
1
y
x
=。

方法二、(先平移，再伸缩)
向左平移1
3
个单位:
1
11
3
139
3()1
3
x
y
x
x
+
==+
+-
得
11
39
y
x
-=
再向下平移1
3
个单位：
111
()
339
y
x
+-=得
1
9
y
x
=
x伸长到原来的9倍：
11
1
9()
9
y
x
x
==
方法三、（平移与伸缩的交替运用）
x伸长到原来的3倍：
11
33
11
3()1
3
x x
y
x
x
==
-
-
得
1
31
11
x
y
x x
==+
--
向左平移1个单位：
11 311
(1)1
y
x x =+=+
+-
y伸长到原来的3倍：
11
3()1
3
y
x
=+得
1
1
y
x
=+
向下平移1个单位：
1
11
y
x
+=+得
1
y
x
=
评注：这是一道培养发散思维能力的好题。