2020版人教A版数学选修2-3同步配套练习题：第三章+统计案例+检测(B)+Word版含解析

第三章检测(A )
(时间:90分钟 满分:120分)
附:K 2
=
n (ad -bc )2
(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1在建立两个变量y 与x 的回归模型时,分别选择了4个不同的模型,它们的R 2如下,其中拟合得最好的模型为 ( ) A.模型1的R 2为0.75 B.模型2的R 2为0.90 C.模型3的R 2为0.25 D.模型4的R 2为0.55
2的值越大,意味着残差平方和越小,也就是说拟合效果越好.
2随着国家二孩政策的全面放开,为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿,某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女,结果如下表.
由K 2=
n (ad -bc )2
(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )
,
得K 2的观测值k =
100×(45×22-20×13)2
65×35×58×42
≈9.616.
则正确的结论是( )
A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“生育意愿与城市级别有关”
B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“生育意愿与城市级别无关”
C.在犯错误的概率不超过0.005的前提下,认为“生育意愿与城市级别有关”
D.在犯错误的概率不超过0.005的前提下,认为“生育意愿与城市级别无关”
3工人月工资y (单位:元)与劳动生产率x (单位:千元)变化的线性回归方程为y ^
=90x +60,下列说法中正确的是( )
A.劳动生产率每提高1 000元,月工资提高150元左右
B.劳动生产率每提高1 000元,月工资提高90元左右
C.劳动生产率为1 000元时,月工资提高90元
D.以上说法都不正确
,而是预报变量可能取值的平均值,因此当劳动生产率每提高1 000元,月工资提高90元左右.故选B .
4根据如下样本数据: x 3 4 5 6 7 8 得到的回归方程为y ^=b x +a ^
,则( ) A .a ^
>0,b ^
>0B.a ^
>0,b ^
<0 C .a ^
<0,b ^
>0D.a ^
<0,b ^
<0
y 值总体上是随x 值的增大而减少的,故b ^
<0.又回归直线过第一象限,故纵截距a ^
>0.故选B.
5已知变量x 与y 正相关,且由观测数据算得样本平均数x =3,y =3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( ) A .y ^
=0.4x +2.3
B.y ^
=2x −2.4
C .y ^
=−2x +9.5
D.y ^
=−0.3x +4.4
x 与y 正相关,可知x 的系数为正,排除C,D .而所有的回归直线必经过点(x,y),由此排除B,故选A .
6为考察A,B 两种药物预防某疾病的效果,进行动物试验,分别得到如下等高条形图:
药物A 试验结果 药物B 试验结果
根据图中信息,在下列各项中,说法最佳的一项是()
A.药物A,B对该疾病均没有预防效果
B.药物A,B对该疾病均有显著的预防效果
C.药物A的预防效果优于药物B的预防效果
D.药物B的预防效果优于药物A的预防效果
,药物A试验显示不服药与服药时患病的差异较药物B试验显示明显大,所以药物A的预防效果优于药物B的预防效果.故选C.
7下列说法:①若r>0,则x增大时,y也相应增大;②若r<0,则x增大时,y也相应增大;③若r=1或r=-1,则x与y的关系完全对应(有函数关系),在散点图上各个散点均在一条直线上.正确的有() A.①② B.②③
C.①③
D.①②③
①③正确.
8为了考察某种病毒疫苗的效果,现随机抽取100只小鼠进行试验,得到如下列联表,
可得出()
A.在犯错误的概率不超过0.05的前提下,认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”
B.在犯错误的概率不超过0.05的前提下,认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”
C.在犯错误的概率不超过0.005的前提下,认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”
D.在犯错误的概率不超过0.005的前提下,认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”
2的观测值k=100×(10×30-20×40)2
≈4.762>3.841,所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下,
认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”.故选A.
9已知x与y之间的几组数据如下表:
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ^=b ^
x +a ^
,根据表中的两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y =b′x +a′,则以下结论正确的是( )
A .b ^
>b′,a ^
>a′B.b ^>b′,a ^<a′ C .b ^
<b′,a ^
>a′D.b ^
<b′,a ^
<a′
,n=6,x =
1
n ∑i=1
n
xi =
216
=
72
,y =
1n ∑i=1
n yi =
136
, 故∑i=1
n
x i 2
−nx 2=91−6×(72)2=352,∑i=1n xiyi −nx y =58−6×72×136=252,
故可得b ^
=∑i=1n
x i y i -nx y
∑i=1n
x i 2-nx
2
=5
7
,
a ^
=y −b ^
x =
136−57×72=−13
. 而由直线方程的求解可得b'=0-21-2
=2,把(1,0)代入可得a ′=−2,比较可得b ^
<a ′,a ^
>a ′,故选C.
10在利用最小二乘法求回归方程y ^
=0.67x +54.9时,用到了下表中的5组数据,则表格中a 的值为( )
A.68
B.70
C.75
D.72
得x =15
(10+20+30+40+50)=30,y =15
(62+a +75+81+89),
因为回归直线y ^
=0.67x +54.9过样本点的中心点, 所以15
(a +307)=0.67×30+54.9,解得a =68.故选A.
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11为了判断高三年级学生选修文科是否与性别有关,现随机抽取50名学生,得到如图所示2×2列联表:
已知P (K 2≥3.841)≈0.05,P (K 2≥5.024)≈0.025.根据表中数据,得到K 2的观测值k =
50×(13×20-10×7)223×27×20×30
≈4.844,则在犯错误的概率不超过 的前提下认为选修文科与性别有关.
由题意知,K 2
=
50×(13×20-10×7)223×27×20×30
≈4.844,因为5.024>4.844>3.841,所以在犯错误的概率不超过
0.05的前提下,认为选修文科与性别有关.
.05
12假设关于某设备的使用年限x (单位:年)和所支出的维修费用y (单位:万元)有如下的统计资料:
若由资料可知y 对x 呈线性相关关系,且线性回归方程为y ^=a ^+b ^
x,其中已知b ^
=1.23,请估计使用年限为20年时,维修费用约为_____________________________.
,
x =2+3+4+5+6
5
=4,
y =
2.2+
3.8+5.5+6.5+7.0
5
=5.
∵回归直线一定经过样本点的中心(x,y), ∴5=a ^
+1.23×4,
∴a ^
=0.08,
∴线性回归方程为y ^
=1.23x +0.08.
故估计使用年限为20年时,维修费用约为y=1.23×20+0.08=24.68(万元).
.68万元
13某社会实践调查小组,在对高中学生“能否良好使用手机”的调查中,随机发放了120份问卷.对收回的100份有效问卷进行统计,得到如下2×2列联表:
如果认为“能否良好使用手机与性别有关”犯错误的概率不超过p ,那么根据临界值表,最精确的p 的值应为 .
,k ≈3.03,因为2.706<3.03<3.841,所以能够在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“能否良好使用手机与性别有关”,即最精确的p 的值为0.1.
.1
14为了了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对该班50名学生进行了问卷调查,得到了如下的2×2列联表:
则在犯错误的概率不超过 的前提下认为喜爱打篮球与性别有关.(请用百分数表示)
K 2的观测值k =
50×(20×15-5×10)225×25×30×20
≈8.33>7.879,则在犯错误的概
率不超过0.005的前提下认为“喜爱打篮球与性别有关”.
.5%
15对有关数据的分析可知,每立方米混凝土的水泥用量x (单位:kg)与28天后混凝土的抗压度y (单位:kg/cm 2)之间具有线性相关关系,其线性回归方程为y ^
=0.30a +9.99.根据建设项目的需要,28天后混凝土的抗压度不得低于89.7 kg/cm2,则每立方米混凝土的水泥用量最少应为_____________________.(精确到0.1 kg)
,得0.30x+9.99≥89.7,解得x ≥265.7.
.7 kg
三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16(8分)某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查,统计数据如下表所示:
(1)如果随机抽查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少?抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少?
(2)试运用独立性检验的思想方法分析:能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系?并说明理由.
运用古典概型概率公式求值.(2)求出随机变量,说明关系.
积极参加班级工作的学生有24人,不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人,总人数为50人,∴抽到积极参加班级工作的学生的概率为24
50=12
25; 抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率为19
50. (2)k =
50×(18×19-6×7)2=150
≈11.5.
∵k>10.828,∴在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度
有关系.
17(8分)某个服装店经营某种服装,在某周内获纯利y (单位:元)与该周每天销售这种服装数x (单位:件)之间的一组数据关系见下表:
已知∑i=1
7
x i
2
=
280,∑i=1
7
y i 2
=45 309,∑i=1
7
xiyi =3 487.
(1)求x,y;
(2)判断纯利y (单位:元)与每天销售件数x 之间是否线性相关,如果线性相关,求出回归方程.
)x =
3+4+5+6+7+8+9
7
=6;
y =
66+69+73+81+89+90+917=559
7
.
(2)画出散点图如图,可知y 与x 有线性相关关系,设回归直线方程为y ^=b ^
x +a ^
.
b ^
=
3 487-7×6×559
7
280-7×36
=
13328
=4.75,a ^
=
559
7
−6×4.75≈51.36.
故回归方程为y ^
=4.75a +51.36.
18(9分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人,结果如下:
(1)估计该地区老年人中需要志愿者提供帮助的老年人的比例;
(2)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关?
(3)根据(2)的结论,能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人的比例?说明理由.
调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值为70
500=14%. (2)k =
500×(40×270-30×160)2
200×300×70×430
≈9.967.
因为9.967>6.635,所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关.
(3)由(2)的结论知,该地区老年人是否需要帮助与性别有关,并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男、女的比例,再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法,比采用简单随机抽样方法更好.
19(10分)在关于人的脂肪含量(单位:百分比)和年龄x (单位:岁)的关系的研究中,研究人员获得了一组数据如下表:
(1)作出散点图,并判断y 与x 是否线性相关,若线性相关,求线性回归方程; (2)求R 2,并说明其含义;
(3)给出37岁时人的脂肪含量的预测值.
,进而求出回归模型,并依据公式求出R 2,进而说明拟合效果.
散点图如图.由散点图可知样本点呈条状分布,脂肪含量与年龄有比较好的线性相关关系,因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系.
设线性回归方程为y ^=b ^
x +a ^
,则由计算器算得b ^
≈0.576,a ^
=−0.448,
所以线性回归方程为y ^
=0.576x −0.448.
(2) i=1
14
e ^i 2
= i=1
14
(yi −y ^
i )2≈37.78.
i=1
14
(yi −y)2≈644.99.
R 2=1−37.78
644.99≈0.941.
R 2≈0.941,表明年龄解释了94.1%的脂肪含量变化.
(3)当x=37时,y ^
=0.576×37−0.448≈20.9,故37岁时人的脂肪含量约为20.9%.
20(10分)一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关,现收集了 7 组观测数据列于表中,现有模型①y=c x+c 与模型y =e c 3x+c 4两种模型作为产卵数y 和温度x 的回归方程来建立两个变量之间的关系.
已知
i=17
x i y i
-7x y i=17x i 2-7x 2
≈21.38,
i=17
x i z i
-7x z i=17
x i 2-7x 2
≈0.32,y =80,z ≈3.57.
(1)根据表中数据,分别建立两个模型下 y 关于 x 的回归方程; (2)假设根据模型①,②计算得出数据
i=17
(y i
-y ^)
2
i=17
(y i -y )
2
的值分别为0.33与0.02,
试计算模型①,②的相关指数 R2,并根据相关指数选择出拟合效果较好的模型;
(3)能否用第(2)问选择的模型来预测在100 ℃时一只红铃虫的产卵数,只给出判断,不用说明理由.
对于模型①:C 1=
i=17
x i y i
-7x y i=17x i 2-7x 2
≈21.38,
由y=C 1x+C 2,可得C 2=y −C1x ≈80-21.38×26=-475.88.
∴模型①的回归方程为y ^
=21.38x −475.88.
对于模型②:C 3= i=17
x i z i -7x z
i=17
x i 2-7x 2
≈0.32,
由y =e C 3x+C 4,可得C4=z −C3x ≈3.57-0.32×26=-4.75.
∴模型②的回归方程为y ^
=e0.32x −4.75.
(2)在模型①中,R12=1−
i=1
7
(y i-y
^
)2
i=1
7
(y i-y)2
=1−0.33=0.67,在模型②中,R22=1−
i=1
7
(y i-y
^
)2
i=1
7
(y i-y)2
=1−0.02=
0.98.
因为R22>R12,
所以模型②拟合效果较好.
(3)不能.(因为样本的取值范围会影响回归方程的使用范围)。