上海市2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题

上海市2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分48分）
1．终边在一三象限角平分线的角的集合为．
2．若α∈（0，π），且角α的终边与角5α的终边相同，则α＝．
3．已知θ＝arcsin，则tan（π﹣θ）＝．
4．钟表分针的长为10，经过10分钟后，分针扫过的图形面积是．
5．若cot x＝2，则＝．
6．已知tan（2x+）＝﹣且x∈[0，]，则x＝．
7．若sin（θ+）＝，θ∈（，π），则cosθ＝．
8．将3sinα﹣3cosα化成A sin（α+φ）（其中A＞0，0≤φ＜2π）的形式为．9．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2+ab+b2﹣c2＝0，则角C的大小是．
10．若θ∈（，），sin2θ＝，则cosθ﹣sinθ的值是．
11．已知α∈R，sinα+2cosα＝，则tan2α＝．
12．设α1，α2∈R，且，则tan（α1+α2）＝．
二、选择题（本大题共4题，满分12分）
13．若cosθ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边所在象限是（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限14．已知α∈（，2π），则等于（）
A．B．C．D．
15．若△ABC的三个内角满足sin A：sin B：sin C＝5：11：13，则△ABC（）
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
16．设点A的坐标为（a，b），O是坐标原点，点A绕着O点顺时针旋转θ后得到A'，则A'的坐标为（）
A．（a cosθ﹣b sinθ，a sinθ+b cosθ）B．（a cosθ+b sinθ，b cosθ﹣a sinθ）
C．（a sinθ+b cosθ，a cosθ﹣b sinθ）D．（b cosθ﹣a sinθ，b sinθ+a cosθ）
三、解答题（本大题共有5题，满分0分）
17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＝6，b＝14，，求sin A 的值和△ABC的面积．
18．如图，以Ox为始边作角α与β（0＜β＜α＜π），它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为．
（1）求的值；
（2）已知OP⊥OQ，求sin（α+β）．
19．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求bc的最大值．
20．如图：某快递小哥从A地出发，沿小路AB→BC以平均时速20公里/小时，送快件到C 处，已知BD＝10（公里），∠DCB＝45°，∠CDB＝30°，△ABD是等腰三角形，
∠ABD＝120°．
（1）试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到C处？
（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路AD→DC追赶，若汽车平均时速60公里/小时，问，汽车能否先到达C处？
21．（1）上课不认真听讲的某同学将两角和的余弦定理错误地记忆为：cos（α+β）＝
cosαcosβ+sinαsinβ，老师给定了α和β值，该同学用错误的公式计算cos（α+β）的值，结果居然与正确答案相同，请问：老师给出的α和β值分别是什么？（请写出至少三组答案）（2）有了上次侥幸的喜悦后，该同学继续我行我素，又想当然的认为cot（α+β）＝
，请问：是否存在某些α和β，可以让该同学继续“混对”答案？若存在α和β，请求出，若不存在，请说明理由．
【参考答案】
一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分48分）
1．{α|α＝kπ+，k∈Z }
【解析】设角的终边在第一象限和第三象限的平分线上的角为α，
当角的终边在第一象限的平分线上时，则α＝2kπ+，k∈Z，
当角的终边在第三象限的平分线上时，则α＝2kπ+，k∈Z，
综上，α＝2kπ+，k∈Z或α＝2kπ+，k∈Z，即α＝kπ+，k∈Z，
故终边在一、三象限角平分线的角的集合是：{α|α＝kπ+，k∈Z }．
故答案为：{α|α＝kπ+，k∈Z }．
2．
【解析】∵与α终边相同的角的集合为{β|β＝α+2kπ，k∈Z}．角α的终边与角5α的终边相同，∴5α＝α+2kπ，α∈（0，π），∴α＝，可得k＝1，α＝．
故答案为：．
3．﹣
【解析】∵，∴θ为锐角，且sinθ＝，
∴cosθ＝＝，则tan（π﹣θ）＝﹣tanθ＝﹣＝﹣，
故答案为：﹣．
4．
【解析】分钟10分钟时间转过的圆心角，
由扇形面积公式可得．
故答案为：．
5．
【解析】∵cot x＝2，∴tan x＝，∴＝＝＝，故答案为：．
6．
【解析】已知x∈[0，]，所以，
由于tan（2x+）＝﹣，所以，解得x＝．
故答案为：．
7．
【解析】由于θ∈（，π），所以；
且满足sin（θ+）＝，故，
所以cos（θ+）＝﹣，
故＝．
故答案为：．
8．
【解析】3sinα﹣3cosα＝＝
＝．
故答案为：．
9．
【解析】∵a2+ab+b2﹣c2＝0，即a2+b2﹣c2＝﹣ab，
∴cos C＝＝＝﹣，
∵C为三角形的内角，∴C＝．故答案为：.
10．
【解析】（cosθ﹣sinθ）2＝1﹣sin2θ＝，又，cosθ＜sinθ，
所以cosθ﹣sinθ＝，故答案为：．
11．﹣
【解析】已知等式两边平方得：（sinα+2cosα）2＝sin2α+4sinαcosα+4cos2α＝，
变形得：＝＝，
整理得：3tan2α﹣8tanα﹣3＝0，即（3tanα+1）（tanα﹣3）＝0，
解得：tanα＝﹣或tanα＝3，
当tanα＝﹣时，tan2α＝＝＝﹣；
当tanα＝3时，tan2α＝＝＝﹣．故答案为：﹣.
12．1
【解析】因为1≤2+sinα1≤2，故≤≤1，
同理1010≤≤2020，
故+≤2021，当且仅当＝1及＝2020时等号成立，
此时α1＝2kπ﹣，2a2＝2lπ﹣，k，l∈Z，故α2＝lπ﹣，l∈Z，
故tan（α1+α2）＝tan（2kπ﹣+lπ﹣）＝﹣tan＝1．故答案为：1．
二、选择题（本大题共4题，满分12分）
13．D
【解析】由sin2θ＝2sinθcosθ，因为cosθ＞0，所以sinθ＜0，可以判定角θ的终边所在象限第四象限．
故选：D．
14．A
【解析】∵α∈（，2π），∴，∴sin＞0，
∴＝＝|sin|＝sin．故选：A．
15．C
【解析】∵根据正弦定理，，
又sin A：sin B：sin C＝5：11：13，∴a：b：c＝5：11：13，
设a＝5t，b＝11t，c＝13t（t≠0），∵c2＝a2+b2﹣2ab cos C，
∴cos C＝＝＝﹣＜0，
∴角C为钝角．故选：C．
16．B
【解析】根据题意，设||＝r，向量与x轴正方向的夹角为α，
又曲点A的坐标为（a，b），则a＝r cosα，b＝r sinα，
向量绕差O点顺时针旋转θ后得到，则A′（r cos（α﹣θ），r sin（α﹣θ）），而r cos（α﹣θ）＝r sinαcosθ﹣r cosαsinθ＝b cosθ﹣a sinθ，
r sin（α﹣θ）＝r sinαcosθ﹣r cosαsinθ＝b cosθ﹣a sinθ，
∴A′（αcosθ+b sinθ，b cosθ﹣a sinθ）．故选：B．
三、解答题（本大题共有5题，满分0分）
17．解：在△ABC中，，∴，
∴sin A＝且角A为锐角，∴cos A＝＝，
∴sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝＝，
∴ab sin C＝＝15．
18．解：（1）由三角函数的定义可得，，
则＝
＝＝；
（2）因为OP⊥OQ，则，所以，
则，
，
所以sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ＝＝．
19．解：（Ⅰ）＝
＝＝＝；
（Ⅱ）根据余弦定理可知：，∴，又∵，即bc≥2bc﹣3，∴．当且仅当b＝c＝时，bc＝，
故bc的最大值是．
20．解：（1）已知：AB＝10 （公里），在△BCD中，
由，得BC＝5（公里）．
于是，由于：＞50，
快递小哥不能在50分钟内将快件送到C处．
（2）在△ABD中，）＝300，
得AD＝10（公里），
在△BCD中，∠CBD＝105°，
由：，得CD＝5（1+）（公里），
由：≈45.98＜51.21（分钟）
知，汽车能先到达C处．
21．解：（1）由cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，
错误公式得cos（α+β）＝cosαcosβ+sinαsinβ，
当cos（α﹣β）＝cos（α+β）时，cosαcosβ﹣sinαsinβ＝cosαcosβ+sinαsinβ，
∴2sinαsinβ＝0，
∴或，
∴老师给出的可能是cos（），cos（），cos（2）等．（2）∵＝＝＝﹣tan（α+β），
若该同学能继续“混对”，则＝﹣tan（α+β），
∴tan2（α+β）＝﹣1，无解，
∴不存在α和β，可以让该同学继续“混对”答案．。