【压轴题】初三数学下期末一模试卷(及答案)

【压轴题】初三数学下期末一模试卷(及答案)
一、选择题
1．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，有一动点P 从点A 出发，沿A →C →B →A 匀速运动．则CP 的长度s 与时间t 之间的函数关系用图象描述大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同.其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的( )
A ．众数
B ．方差
C ．平均数
D ．中位数 3．已知11(1)11A x x ÷+
=-+，则A ＝( ) A ．21x x x -+ B ．21x x - C ．211x - D ．x 2﹣1
4．如图，AB 是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B 出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C ，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD 到达点D ，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E （A ，B ，C ，D ，E 均在同一平面内）．在E 处测得建筑物顶端A 的仰角为24°，则建筑物AB 的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（ ）
A ．21.7米
B ．22.4米
C ．27.4米
D ．28.8米
5．已知AC 为矩形ABCD 的对角线，则图中1∠与2∠一定不相等的是（ ） A ． B ．
C．
D．
6．如图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，得到的图形是（）
A．B．C．D．
7．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，
OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩
形OABC面积的1
4
，那么点B′的坐标是（）
A．（－2，3）B．（2，－3）C．（3，－2）或（－2，3）D．（－2，3）或（2，－3）
8．甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市先降价20%，后又降价10%；乙超市连续两次降价15%；丙超市一次性降价30%.则顾客到哪家超市购买这种商品更合算（）
A．甲B．乙C．丙D．一样
9．若正比例函数y=mx（m≠0），y随x的增大而减小，则它和二次函数y=mx2+m的图象大致是（）
A．B．
C ．
D ．
10．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x ++=在同一坐标系内的图象大致为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
11．如图，点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF ∥BC ，分别交AB ，CD 于E 、F ，连接PB 、PD ．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．10
B ．12
C ．16
D ．18
12．如图，在矩形ABCD 中，BC=6，CD=3，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点C 1处，BC 1交AD 于点E ，则线段DE 的长为（ ）
A ．3
B ．154
C ．5
D ．152
二、填空题
13．已知扇形的圆心角为120°，半径等于6，则用该扇形围成的圆锥的底面半径为_________．
14．如图，∠MON=30°，点A 1，A 2，A 3，…在射线ON 上，点B 1，B 2，B 3，…在射线OM 上，△A 1B 1A 2，△A 2B 2A 3，△A 3B 3A 4…均为等边三角形．若OA 1=1，则△A n B n A n+1的边长为______．
15．在一个不透明的袋子中有若千个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：
摸球实验次数
100 1000 5000 10000 50000 100000 “摸出黑球”的次数
36 387 2019 4009 19970 40008
“摸出黑球”的频率
（结果保留小数点后三
位） 0.360 0.387 0.404 0.401 0.399 0.400 根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是_______（结果保留小数点后一位）．
16．已知62x =+，那么222x x -的值是_____．
17．如图，Rt AOB ∆中，90AOB ∠=︒，顶点A ，B 分别在反比例函数()10y x x
=>与()50y x x
-=<的图象上，则tan BAO ∠的值为_____．
18．82=_______________．
19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y=k x （k ＞0，x ＞0）的图象经过菱形OACD 的顶点D 和边AC 的中点E ，若菱形OACD 的边长为3，则k 的值为_____．
20．若关于x 的一元二次方程kx 2+2(k+1)x+k －1=0有两个实数根，则k 的取值范围是
三、解答题 21．甲、乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款60000元．已知甲公司的人数比乙公司的人数多20℅，乙公司比甲公司人均多捐20元．甲、乙两公司各有多少人？
22．如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与函数y ＝k x
（x ＞0）的图象交于点A （m ，2），B （2，n ）．过点A 作AC 平行于x 轴交y 轴于点C ，在y 轴负半轴上取一点D ，使
OD ＝
12
OC ，且△ACD 的面积是6，连接BC ． （1）求m ，k ，n 的值；
（2）求△ABC 的面积．
23．已知：如图，在ABC V 中，AB AC =，AD BC ⊥，AN 为ABC V 外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥．
（1）求证：四边形ADCE 为矩形；
（2）当AD 与BC 满足什么数量关系时，四边形ADCE 是正方形？并给予证明
24．“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A 、B 、C 、D 表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？
（2）将两幅不完整的图补充完整；
（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D 粽的人数；
（4）若有外型完全相同的A 、B 、C 、D 粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C 粽的概率．
25．将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D '处，折痕为EF ．
（1）求证：ABE AD F 'V V ≌；
（2）连结CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论．
26．先化简(31a +－a ＋1)÷2441
a a a -++，并从0，－1，2中选一个合适的数作为a 的值代入求值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
试题分析：
如图，过点C作CD⊥AB于点D．
∵在△ABC中，AC=BC，∴AD=BD．
①点P在边AC上时，s随t的增大而减小．故A、B错误；
②当点P在边BC上时，s随t的增大而增大；
③当点P在线段BD上时，s随t的增大而减小，点P与点D重合时，s最小，但是不等于零．故C错误；
④当点P在线段AD上时，s随t的增大而增大．故D正确．故答案选D．
考点：等腰三角形的性质，函数的图象；分段函数．
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）的意义，9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【详解】
由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少.
故本题选：D.
【点睛】
本题考查了统计量的选择，熟练掌握众数，方差，平均数，中位数的概念是解题的关键. 3．B
解析：B
【解析】
【分析】
由题意可知A=
11
1)
11
x x
+
+-
（，再将括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，
再用分式的乘法法则计算即可得到结果．【详解】
解：A=
11
1
11
x x
+
+-
=
1
11
x
x x
+-
g=
21
x
x-
故选B.
【点睛】
此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．A
【解析】
【分析】
作BM ⊥ED 交ED 的延长线于M ，CN ⊥DM 于N ．首先解直角三角形Rt △CDN ，求出CN ，DN ，再根据tan24°=
AM EM
，构建方程即可解决问题. 【详解】 作BM ⊥ED 交ED 的延长线于M ，CN ⊥DM 于N ．
在Rt △CDN 中，∵
140.753
CN DN ==，设CN=4k ，DN=3k ， ∴CD=10， ∴（3k ）2+（4k ）2=100，
∴k=2，
∴CN=8，DN=6， ∵四边形BMNC 是矩形，
∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，
在Rt △AEM 中，tan24°
=AM EM ， ∴0.45=866
AB +， ∴AB=21.7（米），
故选A ．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
5．D
解析：D
【解析】
【分析】
【详解】
解：A 选项中，根据对顶角相等，得1∠与2∠一定相等；
B 、
C 项中无法确定1∠与2∠是否相等；
D 选项中因为∠1=∠ACD ，∠2＞∠ACD ，所以∠2＞∠1．
故选：D
解析：C
【解析】
【分析】
按照题中所述，进行实际操作，答案就会很直观地呈现．
【详解】
解：将图形按三次对折的方式展开，依次为：
．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力，对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
7．D
解析：D
【解析】
如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行或在一条直线上，那么这两个图形叫做位似图形。

把一个图形变换成与之位似的图形是位似变换。

因此，
∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC。

∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的1
4
，∴位似比为：
1
2。

∵点B的坐标为（－4，6），∴点B′的坐标是：（－2，3）或（2，－3）。

故选D。

8．C
解析：C
【解析】
试题分析：设商品原价为x，表示出三家超市降价后的价格，然后比较即可得出答案．解：设商品原价为x，
甲超市的售价为：x（1﹣20%）（1﹣10%）=0.72x；
乙超市售价为：x（1﹣15%）2=0.7225x；
丙超市售价为：x（1﹣30%）=70%x=0.7x；
故到丙超市合算．
故选C．
考点：列代数式．
9．A
解析：A
【解析】
【分析】
【详解】
∵正比例函数y=mx （m≠0），y 随x 的增大而减小，
∴该正比例函数图象经过第一、三象限，且m ＜0，
∴二次函数y=mx 2+m 的图象开口方向向下，且与y 轴交于负半轴，
综上所述，符合题意的只有A 选项，
故选A.
10．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据二次函数图象开口向上得到a>0，再根据对称轴确定出b ，根据二次函数图形与x 轴的交点个数，判断24b ac -的符号，根据图象发现当x=1时y=a+b+c<0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
【详解】
∵二次函数图象开口方向向上，
∴a >0， ∵对称轴为直线02b x a
=-
>， ∴b <0，
二次函数图形与x 轴有两个交点，则24b ac ->0，
∵当x =1时y =a +b +c <0，
∴24y bx b ac =+-的图象经过第二四象限，且与y 轴的正半轴相交， 反比例函数a b c y x
++=
图象在第二、四象限， 只有D 选项图象符合.
故选：D.
【点睛】 考查反比例函数的图象，一次函数的图象，二次函数的图象，掌握函数图象与系数的关系是解题的关键.
11．C
解析：C
【解析】
【分析】
首先根据矩形的特点，可以得到S △ADC =S △ABC ，S △AMP =S △AEP ，S △PFC =S △PCN ，最终得到S 矩形EBNP = S 矩形MPFD ,即可得S △PEB =S △PFD ，从而得到阴影的面积．
【详解】
作PM ⊥AD 于M ，交BC 于N ．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN
∴S矩形EBNP= S矩形MPFD ,
又∵S△PBE=1
2
S矩形EBNP，S△PFD=
1
2
S矩形MPFD，
∴S△DFP=S△PBE=1
2
×2×8=8，
∴S阴=8+8=16，
故选C．
【点睛】
本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB=S△PFD．
12．C
解析：C
【解析】
【分析】
【详解】
解：根据题意易证BE=DE，设ED=x，则AE=8﹣x，
在△ABE中根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程x2=42+（8﹣x）2，
解方程得x=5，即ED=5
故选C．
【点睛】
本题考查翻折变换（折叠问题）；勾股定理；方程思想．
二、填空题
13．2【解析】分析：利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长列出方程进行计算即可详解：扇形的圆心角是120°半径为6则扇形的弧长是：=4π所以圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长是4π设圆锥的底面半
解析：2
【解析】
分析：利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，列出方程进行计算即可．
详解：扇形的圆心角是120°，半径为6，
则扇形的弧长是：1206
180
π⋅
=4π，
所以圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长是4π，
设圆锥的底面半径是r，
则2πr=4π，
解得：r=2.
所以圆锥的底面半径是2.
故答案为2.
点睛：本题考查了弧长计算公式及圆锥的相关知识.理解圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长是解题的关键.
14．2n-
1【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3以及A2B2=2B1A2得出A3B3=4B1A2=4A4B4=8B1A2=8A5B5=16B1A2…进而得解析：2n-1
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2…进而得出答案．
【详解】
∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°-120°-30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°-60°-30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=1，
∴A2B1=1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，
∴A3B3=4B1A2=4，
A4B4=8B1A2=8，
A5B5=16B1A2=16，
以此类推：△A n B n A n+1的边长为 2n-1．
故答案是：2n-1．
【点睛】
此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A3B3=4B1A2，A4B4=8B1A2，A5B5=16B1A2进而发现规律是解题关键．
15．4【解析】【分析】大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率据此求解【详解】观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在04附近故摸到白球的频率估计值为04；故答案为：04【点睛】本题考查了利用频率
解析：4
【解析】
【分析】
大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此求解.
【详解】
观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在0.4附近，
故摸到白球的频率估计值为0.4；
故答案为：0.4．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率．
16．4【解析】【分析】将所给等式变形为然后两边分别平方利用完全平方公式即可求出答案【详解】∵∴∴∴∴故答案为：4【点睛】本题考查了二次根式的运算解题的关键是熟练运用二次根式的运算以及完全平方公式注意正确
解析：4
【解析】
【分析】
将所给等式变形为x=
【详解】
∵x=，
∴x-=
x=，
∴(22
∴226
x-+=，
∴24
x-=，
故答案为：4
【点睛】
本题考查了二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算以及完全平方公式.注意正确的变形可以使得运算简便.
17．【解析】【分析】过作轴过作轴于于是得到根据反比例函数的性质得到根据相似三角形的性质得到求得根据三角函数的定义即可得到结论【详解】过作轴过作轴于则∵顶点分别在反比例函数与的图象上∴∵∴∴∴∴∴∴故答案 解析：5． 【解析】 【分析】 过A 作AC x ⊥轴，过B 作BD x ⊥
轴于D ，于是得到90BDO ACO ∠=∠=︒，根据反比例函数的性质得到52BDO S ∆=
，12AOC S ∆=，根据相似三角形的性质得到25BOD OAC S OB S OA ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭
，求得5OB OA =，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】
过A 作AC x ⊥轴，过B 作BD x ⊥轴于，
则90BDO ACO ∠=∠=︒，
∵顶点A ，B 分别在反比例函数()10y x x =
>与()50y x x -=<的图象上， ∴52BDO S ∆=，12
AOC S ∆=， ∵90AOB ∠=︒，
∴90BOD DBO BOD AOC ∠+∠=∠+∠=︒，
∴DBO AOC ∠=∠，
∴BDO OCA ∆∆:，
∴2
52512BOD
OAC S OB S OA ∆∆⎛⎫=== ⎪⎝⎭
， ∴5OB OA
=， ∴tan 5OB BAO OA ∠=
=， 故答案为：5．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
18．【解析】【分析】先把化简为2再合并同类二次根式即可得解【详解】2-=故答案为【点睛】本题考查了二次根式的运算正确对二次根式进行化简是关键解析：2
【解析】
【分析】
先把8化简为22，再合并同类二次根式即可得解.
【详解】
82
-=22-2=2.
故答案为2.
【点睛】
本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键．
19．【解析】【分析】过D作DQ⊥x轴于Q过C作CM⊥x轴于M过E作EF⊥x 轴于F设D点的坐标为（ab）求出CE的坐标代入函数解析式求出a再根据勾股定理求出b即可请求出答案【详解】如图过D作DQ⊥x轴于Q
解析：25
【解析】
【分析】过D作DQ⊥x轴于Q，过C作CM⊥x轴于M，过E作EF⊥x轴于F，设D点的坐标为（a，b），求出C、E的坐标，代入函数解析式，求出a，再根据勾股定理求出b，即可请求出答案．
【详解】如图，过D作DQ⊥x轴于Q，过C作CM⊥x轴于M，过E作EF⊥x轴于F，
设D点的坐标为（a，b），则C点的坐标为（a+3，b），
∵E为AC的中点，
∴EF=1
2
CM=
1
2
b，AF=
1
2
AM=
1
2
OQ=
1
2
a，
E点的坐标为（3+1
2
a，
1
2
b），
把D、E的坐标代入y=k
x
得：k=ab=（3+
1
2
a）
1
2
b，
解得：a=2，
在Rt△DQO中，由勾股定理得：a2+b2=32，
即22+b2=9，
解得：b=5（负数舍去），
∴k=ab=25，
故答案为25．
【点睛】本题考查了勾股定理、反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质等，得出关于a、b的方程是解此题的关键．
20．k≥-13且k≠0【解析】试题解析：∵a=kb=2（k+1）c=k-1∴△=4（k+1）2-4×k×（k-1）=3k+1≥0解得：k≥-13∵原方程是一元二次方程∴k≠0考点：根的判别式
解析：k≥，且k≠0
【解析】
试题解析：∵a=k，b=2（k+1），c=k-1，
∴△=4（k+1）2-4×k×（k-1）=3k+1≥0，
解得：k≥-，
∵原方程是一元二次方程，
∴k≠0．
考点：根的判别式．
三、解答题
21．甲公司有600人，乙公司有500人.
【解析】
分析：根据题意，可以设乙公司人数有x人，则甲公司有(1+20%)x人；由乙公司比甲公司人均多捐20元列分式方程，解之即可得出答案.
详解：设乙公司有x人，则甲公司就有（1+20％）x人，即1.2x人，
根据题意，可列方程：60000
x
60000
1.2x
=20
解之得：x=500
经检验：x=500是该方程的实数根.
22．(1) m＝4，k＝8，n＝4；（2）△ABC的面积为4．
【解析】
试题分析：（1）由点A的纵坐标为2知OC=2，由OD=OC知OD=1、CD=3，根据△ACD
的面积为6求得m=4，将A的坐标代入函数解析式求得k，将点B坐标代入函数解析式求得n；
（2）作BE⊥AC，得BE=2，根据三角形面积公式求解可得．
试题解析：（1）∵点A的坐标为（m，2），AC平行于x轴，∴OC=2，AC⊥y轴，
∵OD=OC，
∴OD=1，
∴CD=3，
∵△ACD的面积为6，
∴CD•AC=6，
∴AC=4，即m=4，
则点A的坐标为（4，2），将其代入y=可得k=8，
∵点B（2，n）在y=的图象上，
∴n=4；
（2）如图，过点B作BE⊥AC于点E，则BE=2，
∴S△ABC=AC•BE=×4×2=4，
即△ABC的面积为4．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
23．（1）见解析（2）
1
2
AD BC
=，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求证∠DAE=90°，可以证明四边形ADCE为矩形．（2）由正方形ADCE的性质逆推得AD DC
=，结合等腰三角形的性质可以得到答案．
【详解】
（1）证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAC，
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=∠CAE，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=1
2
×180°=90°，
又∵AD ⊥BC ，CE ⊥AN ， ∴∠ADC=∠CEA=90°，
∴四边形ADCE 为矩形．
（2）当12AD BC =时，四边形ADCE 是一个正方形． 理由：∵AB=AC ， AD ⊥BC ，BD DC ∴=
12
AD BC =Q ，AD BD DC ∴== ， ∵四边形ADCE 为矩形， ∴矩形ADCE 是正方形． ∴当12AD BC =
时，四边形ADCE 是一个正方形． 【点睛】
本题考查矩形的判定以及正方形的性质的应用，同时考查了等腰三角形的性质，熟练掌握这些知识点是关键． 24．（1）600（2）见解析
（3）3200（4）
【解析】
（1）60÷10%=600（人）．
答：本次参加抽样调查的居民有600人．（2分）
（2）如图；…（5分）
（3）8000×40%=3200（人）．
答：该居民区有8000人，估计爱吃D 粽的人有3200人．…（7分）
（4）如图；
（列表方法略，参照给分）．…（8分）
P （C 粽）==．
答：他第二个吃到的恰好是C 粽的概率是．…（10分）
25．（1）证明见解析；（2）四边形AECF 是菱形．证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的性质及折叠的性质我们可以得到∠B=∠D′，AB=AD′，∠1=∠3，从而利用ASA 判定△ABE ≌△AD′F ；
（2）四边形AECF 是菱形，我们可以运用菱形的判定，有一组邻边相等的平行四边形是菱形来进行验证．
【详解】
解:（1）由折叠可知：∠D=∠D′，CD=AD′，
∠C=∠D′AE ．
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠B=∠D ，AB=CD ，∠C=∠BAD ．
∴∠B=∠D′，AB=AD′，∠D′AE=∠BAD ，
即∠1+∠2=∠2+∠3．
∴∠1=∠3．
在△ABE 和△AD′F 中
∵{13
D B
AB AD ∠'=∠='∠=∠
∴△ABE ≌△AD′F （ASA ）．
（2）四边形AECF 是菱形．
证明：由折叠可知：AE=EC ，∠4=∠5．
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ．
∴∠5=∠6．
∴∠4=∠6．
∴AF=AE ．
∵AE=EC ，
∴AF=EC ．
又∵AF ∥EC ，
∴四边形AECF 是平行四边形．
又∵AF=AE ，
∴平行四边形AECF 是菱形．
考点：1.全等三角形的判定；2.菱形的判定．
26．【解析】
试题分析：首先把括号的分式通分化简，后面的分式的分子分解因式，然后约分化简，接着计算分式的乘法，最后代入数值计算即可求解．
试题解析：原式=
2
2
311
1(2)
a a
a a
-++
⨯
+-
=2
(2)(2)1
1(2)
a a a
a a
-+-+
⨯
+-
=
2
2
a
a
+
-
-
；
当a=0时，原式=1．
考点：分式的化简求值．。