江苏省南京市中华中学等四校2019届高三第一次联考数学试题及答案(含附加题)

2019届高三8月四校联考试题
数 学 Ⅰ
（满分160分，考试时间120分钟）
一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．请将答案写在答题卡相应位置. ) 1．已知全集，，，则 ． 2.复数
的虚部是 ． 3．一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人，并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图（如图所示），则月收入在[2000，3500）范围内的人数为_________．
4．如图是某算法的流程图，其输出值a 是_________．
5．在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为 .
6． 已知实数x ，y 满足⎩
⎪⎨⎪⎧x -y +2≥0，
x +y ≥0，x ≤1，则z ＝2x ＋y 的最小值是_________．
7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，一条渐近线方程为 x －2y ＝0，则它的离心率为__________．
8．在等差数列中，若，则 ．
{}1,2,3,4,5U ={}1,2A ={}1,2,4B =()U C A B ⋃=2i
i
-{}n a 392712a a a ++=13a
=
第4题
(元)
第3题
B
A
D
C
F
E
（第16题）
9．函数的
部分图像如图所示，则将的图象向右平移
个单位后，得到的图像解析式为____ ____． 10．已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此三棱锥的体积为_________． 11．过点P （4，0）的直线l 与半圆C ：(x －1)2＋y 2＝4（y >0）交于A ，B 两点，当△ACB
面积最大时，直线l 的斜率为_________________．
12．已知△ABC 为等边三角形，，设点P ，Q 满足，，
，若，则
13．已知正实数,a b 满足435a b +=，则
1312a b
+++的最小值为 ． 14. 若不等式3
ln 1mx x -≥对(]0,1x ∀∈恒成立,则实数m 的取值范围是_______.
二、解答题：(本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15．（本小题满分14分）已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）在中，分别是A 、B 、C 的对边，若，，的面积为，求的值.
16．（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，BE ＝BC ，
F 为CE 上的一点，且BF ⊥平面ACE ． （1）求证：AE ⊥BE ； （2）求证：AE ∥平面BFD ．
)2
||,0,0)(sin()(π
φωφω<
>>+=A x A x f ()y f x =6
π
=2AB =AP AB λ=(1)AQ AC λ-R
λ∈3=2
BQ CP ⋅-=λ()sin()2cos()cos 22
f x x x x x π
π=⋅--+⋅+)(x f ABC ∆c b a ,,∠∠∠4)(=A f 1=b ABC ∆2
3
a
17．（本小题满分14分）如图所示，某市政府决定在以政府大楼为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径 ，，与之间的夹角为. （1）将图书馆底面矩形的面积表示成的函数.
（2）求当为何值时，矩形的面积有最大值？其最大值是多少？(用含R 的式子表示)
18. (本小题满分16分)已知椭圆E ：x 24＋y 2
＝1的左、右顶点分别为A 、B ，圆x 2＋y 2＝4上
有一动点P ，P 在x 轴上方，C(1，0)，直线PA 交椭圆E 于点D ，连结DC 、PB.
(1) 若∠ADC ＝90°，求△ADC 的面积S ；
(2) 设直线PB 、DC 的斜率存在且分别为k 1、k 2，若k 1＝λk 2，求λ的取值范围．
O OM R =45MOP ∠=OB OM θABCD S θθABCD
S A
B
C
D
M
O
P Q
F
19. (本小题满分16分)已知数列{}n a 中,12a =,23a =,其前n 项和n S 满足
1121n n n S S S +-+=+,其中2n ≥,*n ∈N .
(1)求证;数列{}n a 为等差数列,并求其通项公式;
(2)设n n n a b -⋅=2, n T 为数列{}n b 的前n 项和,求使n T >2的n 的取值范围.
20．(本小题满分16分)设函数f (x )＝e x －ax －2，其中e 是自然对数的底数． （1）若a ＝e ，求f (x )的极小值； （2）求f (x )的单调区间；
（3）已知a ＝1，若对所有的x ∈(0，＋∞)，都有(x －k )f ′(x )＋x ＋1＞0成立，求正整数k 的取值集合．
2019届高三8月四校联考试题
数 学 Ⅱ
(满分40分，考试时间30分钟)
21B ．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 2 d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．
21C ．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为⎩
⎨⎧x ＝1
2
t y ＝32
t +1
（为参数），求直线被曲线C 截得的线段长度．
22．（本小题满分10分）
如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ⊥ AC , AB =AC =2，AA 1=4，点D 是BC 的中点．
（1）求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；
（2）求平面ADC 1与平面ABA 1所成锐二面角的正弦值．
23．（本小题满分10分）
某 “抽卡有奖游戏”的游戏规则是：盒子中装有8张形状、大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“恭喜发财”或“谢谢参与”，要求参加游戏的4人从盒子中轮流抽取卡片，一次抽2张，抽取后不放回，直到4人中一人一次抽到2张“恭喜发财”卡才能得到奖并终止游戏．若从盒中任抽2张卡片不都是“谢谢参与”卡的概率为2528．
（1）求盒子中“谢谢参与”卡的张数；
（2）现有甲、乙、丙、丁4人参加游戏，约定甲、乙、丙、丁依次抽取．用ξ表示4人中
的某人获奖终止游戏时总共抽取卡片的次数，求ξ的概率分布及数学期望．
2019届高三年级四校联考试题答案
一、填空题
1.{3,5}
2.
3. 700
4. 31
5.
6. —1
7.
8. 4 9.10. 3 11. 12.
13. 14.
二、解答题
15.解：（1）
4分
6分
（2）由，，
又的内角，，
，8分
，，，11分
，14分
16．（1）证明：∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，AD⊥AB，∴AD⊥平面ABE，AE平面ABE，∴AD⊥AE．
∵AD∥BC，则
BC⊥AE．………………3分
又BF⊥平面ACE，AE平面ACE,∴BF⊥AE．
∵BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE，又BE平面BCE∴
AE⊥BE．…………………… 7分
（2）设AC∩BD=G，连接FG，易知G是AC的中点，
∵BF⊥平面ACE，CE平面ACE,则BF⊥CE．
而BC=BE，∴F是EC中点．…………………10分
在△ACE中，FG∥AE，
∵AE平面BFD，FG平面BFD，
∴AE∥平面BFD．………………………14分
17.解（Ⅰ）由题意可知，点M为的中点，所以
.
设OM于BC的交点为F，则，
.
.
所以
，. ………8分（表达式6分，定义域2分）
（Ⅱ）因为，则.
所以当，即时，S有最大值.
.
故当时，矩形ABCD的面积S有最大值. …………14分
.18. 解：(1) 设D(x ，y)，∵ ∠ADC ＝90°，∴ AD 2＋DC 2＝AC 2.
则(x ＋2)2＋y 2＋(x －1)2＋y 2＝9. 即x 2＋y 2＋x －2＝0.①(2分)
∵ 点D 在椭圆E 上，∴ 4x2＋y 2
＝1.② 联立①②，消去y ，
得3x 2＋4x －4＝0，(4分)
∵ －2<x<2，∴ x ＝32
.
代入椭圆方程，得y ＝32
.
∴ △ADC 的面积S ＝21×3×32
＝. …………6分
(2) 设P(x 0，y 0)，直线PA 方程为y ＝x0＋2y0(x ＋2)，代入椭圆方程4x2＋y 2
＝1，
即x 2＋4y 2－4＝0，得x 2＋4×02
0(x ＋2)2－4＝0.
∵ x 02＋y 02＝4，∴ x 2
＋4×x0＋22－x0(x ＋2)2－4＝0.
整理得(10－3x 0)x 2＋(32－16x 0)x ＋24－20x 0＝0. …………8分
(注：消去x ，可得方程(x 02＋4x 0＋4＋4y 02
)y 2－4(x 0＋2)y ＝0，也得8分)
此方程有一根为－2，设D(x 1，y 1)，则x 1＝10－3x010x0－12
.
代入直线PA 方程，得y 1＝10－3x04y0
.…………10分
则k 1＝x0－2y0，k 2＝x1－1y1＝－110x0－12＝13x0－224y0
.…………12分
∵ k 1＝λk 2，∴ λ＝k2k1＝13x0－224y0＝41×x0－213x0－22＝41×x0－24
.…………14分
∵ －2<x 0<2，x 0≠1322
，∴ λ的取值范围为(－∞，0)∪(0，3)．…………16分
19.解:(1)由已知,(
,
),
即(,
),且
. …………………………2分
∴数列是以
为首项,公差为1的等差数列. …………………………4分
∴
…………………………6分
(2) ∵,∴
…………………………8分
∴ …………………………10分
代入不等式得:
设
∴
在
上单调递减, …………………………12分
∵
, ∴当n =1,n=2时,,
所以n 的取值范围.为
…………………………16分
20x 分
∴f (x )在x =1时取到极小值-2．…………………………………………………………4分 ⑵f ’(x )=e x -a ．
若a ≤0，则f ’(x )>0，所以f (x )的单调增区间为(-∞,+∞)；………………………6分 若a ＞0，则当x ＞ln a 时f ’(x )>0；当x ＜ln a 时f ’(x )＜0．
所以f (x )的单调增区间为(ln a , +∞)，单调减区间为(-∞,ln a )．………………………8分 ⑶因为a =1，所以(x -k )f ’(x )+x +1=(x -k )(e x -1)+x +1． ∵x >0，(x -k )(e x
-1)+x +1>0等价于ex-1x+1
，
令g (x )= ex-1x+1，则g ’(x )= 2-xex-1= 2ex-x-2
，………………………10分 由⑴知函数h (x )=e x -x -2在(0, +∞)上单调递增,又h (1)=e -3<0, h (2)=e 2 -4>0, 故h (x )在(0, +∞)上存在唯一零点，记为α，且α∈(1,2)，h (α)=e α-α-2=0． 当x ∈(0, α)时，g ’(x )<0；当x ∈(α,+∞)时，g ’(x )>0． 所以g (x )在(0, α)递减，在(α,+∞)递增，
g (x )min =g (α)= eα-1α+1
=α+1．所以k <α+1．………………………………………14分
因为α∈(1,2)，k ∈N*，则k =1或2．
所以，正整数k 的取值集合为{1，2}．…………………………………………………16分
21．解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝11
，
可得， 2 d 3 3 11＝611
，即2＋d ＝6；所以d ＝4． ……………………………3分
即A ＝ 2 4 3 3
． ………………………………………………………………5分
A 逆矩阵是3221312121
．……………………………………………………………10分 22．解：将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，
即
，它表示以
为圆心，2为半径的圆，…………………………4分 直线方程的普通方程为
，………………………………6分
圆C 的圆心到直线l 的距离，…………………………………………………8分
故直线被曲线截得的线段长度为． …………………10分
22．解：（1）以为为单位正交基底建立空间直角坐标系
，
则
，
,
,
,
∴,
∴
∴异面直线与所成角的余弦值为……………………4分
（2）是平面的的一个法向量设平面的法向量为，∵,由
∴取，得，∴平面的法向量为
…………7分
设平面与所成二面角为
∴，得
∴平面与所成二面角的正弦值为……………………10分
23．解：（1）设盒子中有“谢谢参与”卡n张，依题意有，
解得n=3 即盒中有“谢谢参与”卡3张．……………………4分
（2）因为表示某人一次抽得2张“恭喜发财”终止时，所有人共抽取了卡片的次数，所以的所有可能取值为1，2，3，4，
；
；
；
．………………………………8分（说明：四个概率求对2个得2分，求对4个得4分）
的数学期望为．……………10分。