2019-2020学年吉林省长春市实验中学高一上学期期中数学试题(解析版)

2019-2020学年吉林省长春市实验中学高一上学期期中数学
试题
一、单选题
1．将23π弧度化成角度为（ ）
A ．30
B ．60
C ．
120 D ．
150
【答案】C
【解析】利用弧度化角度公式可得出结果. 【详解】 由题意可得，22
18012033
π=⨯=. 故选：C. 【点睛】
本题考查弧度化角度，考查计算能力，属于基础题.
2．已知集合{}ln ,1A y y x x ==>，1,12x
B y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫
==>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
，则A B =（ ）
A ．102x x ⎧⎫<<
⎨⎬⎩⎭
B ．{}
01x x <<
C ．112x
x ⎧⎫
<<⎨⎬⎩⎭
D ．∅
【答案】A
【解析】利用对数函数和指数函数的单调性求出集合A 、B ，然后利用交集的定义求出集合A B .
【详解】
由于函数ln y x =为增函数，当1x >时，则ln ln10x >=，{}
0A y y ∴=>.
函数12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，当1x >时，则11022
x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，102B y y ⎧⎫∴=<<⎨⎬⎩⎭.
因此，102A B x x ⎧⎫
⋂=<<
⎨⎬⎩⎭
. 故选：A. 【点睛】
本题考查集合交集的运算，同时也考查了指数函数和对数函数的值域，考查计算能力，属于基础题.
3．设函数1221()x f x x
-⎧-⎪
=⎨⎪⎩ 00x x ≤>，若0()1f x >，则0x 的取值范围是（ ）
A ．（1-，1）
B ．（1-，+∞）
C ．（-∞，2-
）（0，+∞）
D ．（-∞，1-）
（1，+∞）
【答案】D
【解析】当00x ≤时，00000()211,22,1,1x x
f x x x --=->>-><-，则01x <-，
当00x >时，1
2
01,1x
x >> ，则01x > ，
综上：01x <-或01x >.选D.
【点睛】有关分段函数问题是函数部分的一个重要考点，经常考查分段函数求值、定义域、值域、奇偶性、单调性、解方程、解不等式、函数图像等，是高考的热点之一.
4．函数2
2
22x y x -=+的值域是( )
A ．(1-，1]
B ．(1,1)-
C ．[1-，1]
D ．(2,2)-
【答案】A
【解析】把已知函数解析式变形，由222x +…可得21
2
x +的范围，进一步求得函数值域．
【详解】
解：222222222244
12222
x x x y x x x x --+-==-=-=-+++++， 222x +…，2
11
022
x ∴<+…， 则24
022
x <
+…， 24
1112
x ∴-<-+
+…． 即函数2
2
22x y x
-=+的值域是(1-，1]． 故选：A ． 【点睛】
本题考查函数的值域及其求法，考查数学转化思想方法，是中档题． 5．已知幂函数()f x
的图象过点⎛ ⎝⎭
，则此幂函数()f x （ ） A ．过点()0,0
B ．是奇函数
C ．过点14,2⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．在()0,∞+上单调递增
【答案】C
【解析】设幂函数()a
f x x =，将点⎛ ⎝⎭
代入函数()y f x =的解析式，求出a 的
值，可得出函数()y f x =的解析式，然后根据该函数的解析式对各选项的正误进行判断. 【详解】
设()a
f x x =，由题意可得()12222a
f -===，12a ∴=-，()12f x x -∴=，
所以，函数()y f x =的图象不过点()0,0.
()12
f x x
-
==
()0,∞+，不关于原点对称，不是奇函数. ()1
2
1
44
2
f -==，该函数的图象过点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且在()0,∞+上单调递减.
因此，C 选项正确. 故选：C. 【点睛】
本题考查幂函数的基本性质，求出幂函数的解析式是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题. 6．设2log 3a =，31
log 2
b =，14
c e =，则此三个数大小关系是（ ） A ．b a c << B ．b c a << C ．a b c <<
D ．a c b <<
【答案】B
【解析】比较a 、b 、c 三个数与0和3
2
的大小关系，可得出三个数的大小关系. 【详解】
函数2log y x =在()0,∞+上为增函数，则223log 3log 2
a =>=； 函数3log y x =在()0,∞+上为增函数，则3
31
log log 102
b =<=； 函数1
4
y x =在()0,∞+上为增函数，则114
4
813162
c e ⎛⎫=<= ⎪⎝⎭
，又0c >，即3
02
c <<.
因此，b c a <<.
本题考查指数幂与对数式的大小比较，通常利用基本初等函数的单调性并结合中间值法来得出各数的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 7．函数()122
x x x
f x =
--（ ） A ．是偶函数但不是奇函数 B ．是奇函数但不是偶函数 C ．既是偶函数又是奇函数 D ．既不是偶函数也不是奇函数
【答案】A
【解析】将函数()y f x =的解析式变形为()()
()
12212x x x f x +=
⋅-，然后利用定义验证函数
()y f x =的奇偶性.
【详解】
()()()()()
21212122212212x
x x x x
x x x x f x ⎡⎤--+⎣⎦=-==---，定义域为{}0x x ≠，关于原点对称.
()()()()()()()()1112211221212221212212x
x x x x x x
x x x x x f x f x --⎛
⎫-+ ⎪-+-++⎝⎭-=====⎛⎫---- ⎪⎝⎭
， 因此，函数()122
x
x x
f x =--是偶函数但不是奇函数. 故选：A. 【点睛】
本题考查利用定义判断函数的奇偶性，同时也考查了指数运算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
8．函数()ln x f x e x =+的零点所在的大致区间是 A ．(1,0)- B ．1
(0,)2
C ．1(,1)2
D ．3(1,)2
【答案】B
【解析】根据零点存在性定理逐一判断选项即可. 【详解】
因为1()ln 202f =>， 而1
81
()ln808
f e =-<，所以必在11(,)82内有一零点，
本题主要考查了函数的零点的存在性定理，属于中档题.
9．设()e e 2x x f x --=，()2
x x
e e g x -+=，则下列命题是真命题的个数是（ ）
①()()22
1g x f x ⎡⎤⎡⎤-=⎣⎦⎣⎦；②()()()22f x f x g x =⋅；③()()()22
2g x g x f x ⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦. A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
【答案】D
【解析】根据指数的运算对①②③中的等式逐一进行验证，可得出正确选项. 【详解】
()()()()2
2
22222
2
221224x x x x
x x x x e e e e e e e e g x f x ----++-+-⎛⎫⎛⎫+--=-==⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭
，①中的等式成立；
()()()22222222
x x x x x x
e e e e e e
f x
g x f x ----+-⋅=⨯⨯==，②中的等式成立；
()()()()2
2
22222
2
22224x x x x
x x x x e e e e e e e e g x f x ----++++-⎛⎫⎛⎫+-+=+=⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭
()2222
x x
e e g x -+==，③中的等式成立.
因此，真命题的个数为3. 故选：D. 【点睛】
本题考查指数运算律的应用，解题的关键就是利用指数的运算律对各等式逐一验证，考查计算能力，属于中等题.
10．函数()y f a x =+与函数()y f a x =-的图象关于（ ） A ．直线x a =对称 B ．点(),0a 对称
C ．原点对称
D ．y 轴对称
【答案】D
【解析】构造函数()()g x f a x =+，可得出()()g x f a x -=-，从而可得出两个函数图象之间的对称性.
构造函数()()g x f a x =+，则()()g x f a x -=-.
由于函数()y g x =与函数()y g x =-的图象关于y 轴对称，因此，函数()y f a x =+与函数()y f a x =-的图象关于y 轴对称. 故选：D. 【点睛】
本题考查两个函数图象之间的对称性，解题时要熟悉两个函数关于x 轴、y 轴以及原点对称时函数解析式之间的关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 11．若函数()f x 在()0,2上是增函数,函数()2f x +是偶函数,则()1f ,52f ⎛⎫ ⎪⎝⎭,72f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
的大小顺序是( ) A ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫
<<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫
<<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫
<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】D
【解析】由函数()y f x =在()0,2上单调递增,且函数()2f x +是偶函数,可得函数
()y f x =在()2,4上单调递减,且在()0,4上函数()y f x =满足()()22f x f x -=+,
由此要比较72f ⎛⎫
⎪⎝⎭,()1f ,52f ⎛⎫
⎪⎝⎭的大小,可以比较72f ⎛⎫
⎪⎝⎭,()3f ,5.2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
【详解】
解：因为函数()y f x =在()0,2上单调递增,且函数()2f x +是偶函数,所以函数
()y f x =在()2,4上单调递减,且在()0,4上函数()y f x =满足()()22f x f x -=+,
即()()13f f =,
因为()75322f f f ⎛⎫⎛⎫
<<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()75122f f f ⎛⎫⎛⎫
<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． 故选D ． 【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性,属于基础题. 12．设函数2()(),[,](),1x
f x x R M a b a b x
=-
∈=<+集合{|(),},N y y f x x M ==∈则使得M N =成立的实数对(,)a b 有（ ） A ．0个 B ．1个
C ．2个
D ．无数多个
【答案】B
【解析】先得到函数()f x 为R 上为奇函数,在R 上为递减函数,再根据定义域和值域都是
[,]()a b a b <,列方程组无解可得.
【详解】
2()1||
x
f x x =-
+,
22()()1||1||
x x
f x f x x x -∴-=-
==-+-+,
()f x ∴是R 上的奇函数.
当0x ≥时,22(1)2()11x x f x x x +-=-
=-++2
21x
=-++是单调递减函数, 所以()f x 是R 上的单调递减函数,
[,]x a b ∈ ,∴ 值域是[(),()]f a f b ,
即(),()a f b b f a == ,
21||b a b ∴=-
+ ,21||
a b a =-+ , 整理得：||||a b b a a b -=-.
当0ab >时，得a b = ,这与已知a b < 相矛盾； 当0ab <时，即0a b <<时，22,11b a
a b b a
=-
=-+-，解得1,1a b =-= 即使得M N =成立的实数对(,)a b 只有一个. 故选B . 【点睛】
解题关键是利用奇偶性,单调性求函数值域,再与已知值域相等,从而可列方程组来解.
二、填空题
13．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点()3,4P --，则
sin α=______.
【答案】45
-
【解析】利用三角函数的定义可求出sin α的值. 【详解】
由三角函数的定义可得
4sin 5α=
=-
.
故答案为：45
-. 【点睛】
本题考查三角函数的定义求值，考查计算能力，属于基础题.
14．函数()()log 231a f x x =-+（0a >且1a ≠）的图象过定点_________. 【答案】()2,1
【解析】令真数为1，求出x 的值，再代入函数解析式，即可得出函数()y f x =的图象所过定点的坐标. 【详解】
令231x -=，得2x =，且()2log 111a f =+=. 因此，函数()y f x =的图象过定点()2,1. 故答案为：()2,1. 【点睛】
本题考查对数型函数图象过定点问题，一般利用真数为1求出自变量的值，考查运算求解能力，属于基础题.
15．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：）满足函数关系
（
为自然对数的底数，k 、b 为常数）。

若该食品在0的保鲜时间设计192
小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33
的保鲜时间是 小时.
【答案】24
【解析】由题意得：2211221924811
{,,1924248
b k k k b
e e e e +=∴====，所以33x =时，
331131
()192248
k b k b y e e e +==⋅=⨯=.
【考点】函数及其应用.
16．设函数(
)f x =
，则
()()()()()()543456f f f f f f -+-+-++++=L _____.
【答案】【解析】根据指数的运算律计算出()(
)1f x f x +-=的值，由此可计算出所求代数式的值. 【详解】
(
)f x =(
)11222x
x x
f x ∴-====+， ()(
)
12x x x f x f x ∴+-====，
因此，()()()()()(
)54345662
f f f f f f -+-+-++++=⨯=L .
故答案为：【点睛】
本题考查指数幂的化简计算，解题的关键在于观察代数式结构并计算出
()()1f x f x +-为定值，考查计算能力，属于中等题.
三、解答题 17．（1）求值41
2
log 9641
lg 22lg 5494
-⎛⎫
++- ⎪⎝⎭
；
（2）已知2log 5a =，5log 7b =，试用a 、b 表示14log 56. 【答案】（1）
15
8；（2）
31
ab ab ++. 【解析】（1）利用指数的运算律、对数的运算律、换底公式以及对数恒等式可得出结果；
（2）由换底公式可得出51log 2a
=
，然后利用换底公式可得出514
5log 56log 56log 14=，并利用对数5log 2和5log 7表示分子和分母，代入化简计算即可. 【详解】
（1）原式2
2
221
2
2
log
3log 31
87715
42
lg 2lg10032725888
-
⎡⎤⎛⎫
=++=+-=+-=⎢⎥
⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
；
（2）由换底公式得5211
log 2log 5a
=
=，又5log 7b =， 因此，()()3
555514
55553
log 72log 56log 73log 23log 561log 14log 72log 7log 21b ab a ab b a
+
⨯++=====⨯+++. 【点睛】
本题考查指数、对数的运算，以及利用换底公式化简计算，考查计算能力，属于基础题. 18．若角()0,απ∈，且7
sin cos 13
αα+=. （1）求sin cos αα-的值； （2）求tan α的值. 【答案】（1）
17
13；（2）125
-
. 【解析】（1）由()0,απ∈得知sin 0α>，将等式7
sin cos 13
αα+=
两边平方，可求出2sin cos αα的值，并可得出cos 0α<，可推出sin cos 0αα->，并将代数式
sin cos αα-平方，可求出sin cos αα-的值；
（2）根据题中条件和（1）的结果建立方程组求出sin α和cos α的值，再利用同角三角函数的商数关系可求出tan α的值. 【详解】
（1）将7sin cos 13αα+=
平方得22
49sin 2sin cos cos 169
αααα++=， 120
2sin cos 0169
αα∴=-
<. ()0,απ∈，sin 0α∴>，cos 0α<，sin cos 0αα∴->.
而()2
120289
sin cos 12sin cos 1169169αααα⎛⎫-=-=--
= ⎪⎝⎭
，因此，17sin cos 13αα-=；
（2）由（1）得7s i n c o s 1317sin cos 13αααα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得12sin 13
5
cos 13αα⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，因此，sin 12tan cos 5ααα=
=-. 【点睛】
本题考查同角三角函数的平方关系和商数关系求值，在处理有关sin cos αα±的值，一般利用平方关系，即()2
sin cos 12sin cos αααα±=±，同时不要忽略对角的取值范围的判断，考查运算求解能力，属于中等题.
19．对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点，已知函数()()()2
110f x ax b x b a =+++-≠。

（Ⅰ）当1,2a b ==-时，求()f x 的不动点；
（Ⅱ）若对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围。

【答案】（Ⅰ）-1，3；（Ⅱ）()0,1
【解析】试题分析：（Ⅰ）解方程()f x x =解得不动点；（Ⅱ）()f x x =恒有两个相异实根，即判别式恒大于零，再根据二次函数图像知判别式小于零，解得a 的取值范围 试题解析：
（Ⅰ）当1,2a b =-=-时，()2
3f x x x =--，由题意可知23x x x =--，得
121,3x x =-=，
故当1,2a b ==-时，()f x 的不动点为-1，3.
（Ⅱ）因为()()()2
110f x ax b x b a =+++-≠恒有两个不动点，
所以()2
11x ax b x b =+++-，即210ax bx b ++-=恒有两个相异实根，
所以()2
440b ab a b R ∆=-+>∈恒成立，于是设()2
44g x b ab a =-+，所以
()0g x >恒成立，
所以()2
4160a a ∆=-<，解得01a <<，故当b R ∈。

()f x 恒有两个相异的不动点时，a 的取值范围是()0,1。

20．设函数()42,x a x
f x a a R +=--∈．
(1)当2a =时，解不等式：()30f x >；
(2)当[1,1]x ∈-时，()f x 存在最小值2-，求a 的值． 【答案】（1）()3,+∞；（2）1.
【解析】（1）将2a =代入函数()y f x =的解析式，可得出所求不等式为
442230x x -⋅->，换元20x t =>，可得出所求不等式为24320t t -->，求出t 的
范围，可得出x 的范围；
（2）换元2x t =，由[]1,1x ∈-，可得出1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣
⎦
，设()22a g t t t a =-⋅-，分析二次函数()y g t =图象的对称轴12a t -=与区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
的位置关系，求出函数()y g t =的
最小值，结合题中条件，求出a 的值. 【详解】
设()20x
t t =>，则22a
y t t a =--.
（1）当2a =时，()4422x
x
f x =-⨯-，由()0f x >，得442230x x -⋅->，
则有24320t t -->，解得4t <-（舍去）或8t >.
28x ∴>，解得3x >，因此，不等式()30f x >的解集为{}3x x >；
（2）当[]1,1x ∈-时，1,22
t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，设()22a
g t t t a =-⋅-.
①若1
12
2a -≤，即当0a ≤时，函数()y g t =在1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增， 则函数()y g t =的最小值为()1
min 112224
a g t g a -⎛⎫==--=- ⎪⎝⎭，化简得
1924
a a -+=
. 当0a ≤时，函数()1
2a h a a -=+单调递增，则()()102h a h ≤=
，方程1
924
a a -+=无解；
②若122a -≥，即当2a ≥时，函数()y g t =在1
,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减，
则函数()y g t =的最小值为()()1
min 2422a g t g a +==--=-，化简得126a a ++=.
当2a ≥时，函数()1
2
a a a ϕ+=+单调递增，则()()210a ϕϕ≥=，方程126a a ++=无
解； ③若
11222a -<<，即02a <<时，函数()y g t =在11,22a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减，在1
2,2a -⎡⎤⎣⎦上单调递增，则函数()y g t =的最小值为()(
)1
22
min 22
2a a g t g a --==--=-，
化简得2222a a -+=，由于关于a 的函数()22
2
a m a a -=+单调递增，故方程
2222a a -+=最多有一个实根，又()12m =，1a \=.
综上所述，1a =. 【点睛】
本题考查指数不等式的求解，同时也考查了指数型函数的最值问题，将问题转化为二次函数的最值问题是解题的关键，同时要对二次函数的对称轴与定义域的位置关系进行分类讨论，考查化归与转化思想以及分类讨论思想的应用，属于中等题.
21．设a R ∈，()()21
x x
a e a
f x x R e -⋅-=∈+为奇函数. （1）求a 的值；
（2）若对任意[]1,3t ∈恒有()
()2
0f t at f t a -++≤成立，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）1a =；（2）(
,3-∞+.
【解析】（1）由()00f =求出实数a 的值，求出函数()y f x =的解析式，然后利用奇偶性的定义验证函数()y f x =为奇函数；
（2）分析出函数()y f x =为增函数，结合奇函数的性质，由()
()2
f t at f t a -++≤得出()(
)2
f t a f at t
+≤-，由单调性得出()2
10t a t a +-+≥对任意的[]1,3t ∈恒成
立，构造函数()()2
1g t t a t a =+-+，对该二次函数的对称轴与区间[]1,3的位置关系进行分类讨论，分析函数()y g t =在区间[]1,3上的单调性，得出最小值()min g t ，然后解不等式()min 0g t ≥可得出实数a 的取值范围. 【详解】
（1）因为函数()y f x =为奇函数，且定义域为R ，故()()f x f x -=-，
所以()00f =. 故()22002a f -==，所以1a =，此时，()11x
x
e f x e
-=+，定义域为R ，关于原点对称.
()()1
1111111x
x x x
x x
e e e
f x f x e e e ---
---=
=
==-+++，则函数()y f x =为奇函数； （2）由（1）得()()21121111
x x x x x
e e
f x e e e -+-===-+++， 则函数()y f x =在R 上为减函数，由于函数()y f x =为奇函数， 由()
()2
0f t at f t a -++≤，可得()(
)2
f t a f at t
+≤-，则有2
t a at t
+≥-.
()210t a t a ∴+-+≥，则该不等式对任意的[]1,3t ∈恒成立，
构造函数()()2
1g t t a t a =+-+，其中[]1,3t ∈，则()min 0g t ≥.
二次函数()y g t =的图象开口向上，对称轴为直线1
2
a t -=
，下面分三种情况讨论： ①当
1
12
a -≤时，即3a ≤时，函数()y g t =在[]1,3上单调递增， 则函数()y g t =的最小值为()()min 120g t g ==≥恒成立，a R ∴∈，此时3a ≤； ②当
1
32
a -≥时，即7a ≥时，函数()y g t =在[]1,3上单调递减， 则函数()y g t =的最小值为()()min 31220g t g a ==-≥，解得6a ≤，此时a ∈∅； ③当1132a -<
<时，即37a <<时，函数()y g t =在11,2a -⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，在1,32a -⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增，则函数()y g t =的最小值为()()2
min
11024a a g t g a --⎛⎫==-≥ ⎪
⎝⎭
，整理得2610a a -+≤，
解得33a -≤≤+
33a <≤+综上所述，实数a
的取值范围是(
,3-∞+. 【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性求参数，同时也考查了利用函数的奇偶性与单调性解函数不等式，也考查了二次不等式在区间上恒成立问题的求解，一般要对二次函数的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，求出函数的最值，解出与最值相关的不等式即可，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
22．已知函数()3
log 3
m
x f x x -=+（0m >且1m ≠）. （1）判断()f x 的奇偶性并证明； （2）若()0f
π>，是否存在0αβ<<，使()f x 在[],αβ的值域为
[]1log ,1log m m βα++？若存在，求出此时m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）奇函数；证明见解析；（2
）存在，30,
3⎛- ⎝⎭
. 【解析】（1）求出函数()y f x =的定义域，然后利用奇偶性的定义验证函数()y f x =的奇偶性； （2）由()0f
π>，可得出01m <<，利用复合函数可分析出函数()y f x =在区间
[],αβ上为减函数，由题意得()()1log 1log m m f f αα
ββ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩
，于是得出关于x 的方程
33x mx x -=+在区间()3,+∞上有两解，即关于x 的方程()2
3130mx m x +-+=在()3,+∞上有两个
不等的实根，然后结合二次函数的图象列出关于m 的不等式组，解出即可. 【详解】
（1）函数()y f x =是奇函数；证明如下：
由
3
03
x x ->+解得3x <-或3x >，所以，函数()y f x =的定义域为()(),33,-∞-+∞，关于原点对称．
()()333
log log log 333
m
m m x x x f x f x x x x --+--===-=--+-+，
因此，函数()y f x =为奇函数； （2）由题意知，()3log log 103m m f πππ-=>=+，且3
013
ππ-<<+，01m ∴<<. 令()3636
1333
x x u x x x +--=
==-
+++在()3,+∞上为增函数， 而函数log m y u =为减函数，所以，函数()y f x =在()3,+∞上为减函数， 假设存在3βα>>，使得题意成立，则函数()y f x =在[],αβ上为减函数，
则有()()1log 1log m m f f
ααββ⎧=+⎪⎨
=+⎪⎩，即()()3log log 33log log 3m m m m m m αααβββ-⎧=⎪+⎪⎨-⎪=+⎪⎩，3
333
m m αααβββ-⎧=⎪+⎪∴⎨-⎪=+⎪⎩．
所以α、β是方程
3
3
x mx x -=+的两正根， 整理得()2
3130mx m x +-+=在()3,+∞有2个不等根α和β，由韦达定理得
39m αβ=
>，则103
m <<. 令()()2
313h x mx m x =+-+，则函数()y h x =在()3,+∞有2个零点，
则()()
2
10331120133
23180m m m m m
h m ⎧<<⎪⎪⎪∆=-->⎨-⎪>⎪⎪=>⎩
，解得303m -<<
. 因此，实数m
的取值范围是⎛ ⎝⎭
. 【点睛】
本题考查对数型函数的奇偶性，同时也考查了利用函数的值域求参数，解题的关键就是利用函数的单调性将问题转化为二次函数的零点个数问题，一般求解时分析二次函数的图象的开口方向、对称轴、判别式以及端点（与零点比较大小的数）的函数值符号，考查化归与转化思想，属于中等题.。