高一数学人教A版必修2达标训练：2-2-1直线与平面平行

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基础·巩固
1.过平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB 1D 1平行的直线共有( )
A.4条
B.6条
C.8条
D.12条 思路解析：如图所示，满足条件的直线有EF 、E 1F 1、FF 1、EE 1、HG 、H 1G 1、GG 1、HH 1.
答案：C
2.如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，那么这两个平面( )
A.平行
B.相交
C.垂直
D.都可能 思路解析：由观察、想象即可选择D.
答案：D
3.下列四个命题，其中真命题的个数是( )
①两条直线没有公共点，那么这两条直线平行
②两个平面如果没有公共点，那么这两个平面就平行
③两条直线如果都平行于同一个平面，那么这两条直线平行
④两个平面都平行于同一条直线，那么这两个平面平行
A.1
B.2
C.3
D.4
思路解析：只有②是真命题，故应选A.
答案：A
4.如图2-2-8，在空间四边形ABCD 中，M ∈AB ，N ∈AD ，若
ND
AN MB AM =，则MN 与平面BDC 的位置关系是_____________________.
图2-2-8
思路解析：∵ND
AN MB AM =，∴MN ∥BD.又BD ⊂平面BCD ，∴MN ∥平面BCD. 答案：MN ∥平面BCD
5.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点，则BD 1与平面ACE 的位置关系是______. 思路解析：取AC 的中点O ，连结OE ，则OE ∥BD 1，可得BD 1∥平面ACE.
答案：BD 1∥平面ACE
6.四边形ABCD 是正方形，S 为四边形ABCD 所在平面外一点，SA=SB=SC=SD ，P 是SC 上的点，M 、N 分别是SB 、SD 上的点，且SP ∶PC=1∶2，SM ∶MB=SN ∶ND=2∶1，求证：SA ∥平面PMN.
思路解析：本题关键是作出直线PF.
证明：取SC 的中点E ，取AC 、BD 的交点为O ，连结OE ，得OE ∥SA.
设SO 与MN 交于F ，连结PF.
∵SM ∶MB=SN ∶ND=2∶1，
∴MN ∥BD ，且SF ∶FO=2∶1.
又SP ∶PC=1∶2，SE=EC ，
∴SP ∶PE=2∶1.
∴SF ∶FO=SP ∶PE.
∴PF ∥EO.
∴SA ∥PF.
又SA ⊄平面PMN ，∴SA ∥平面PMN.
综合·应用
7.如图2-2-9，正方形ABCD 与ABEF 不在同一平面内，M 、N 分别在AC 、BF 上，且AM=FN. 求证：MN ∥平面CBE.
图2-2-9
思路解析：关键是作出直线HT.
略证：作MT ∥AB,NH ∥AB 分别交BC 、BE 于T 、H 点,AM=FN ⇒△CMT ≌△BNH ⇒MT=NH.
从而有四边形MNHT 为平行四边形⇒MN ∥TH ⇒MN ∥平面CBE.
8.已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形四条边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，(1)求证:四边形EFGH 是平行四边形;(2)若AC ⊥BD 时，求证：EFGH 为矩形；(3)若BD=2，AC=6，求EG 2+HF 2；
(4)若AC 、BD 成30°角，AC=6，BD=4，求四边形EFGH 的面积；
(5)若AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，求AC 与BD 间的距离.
思路解析：作出正确的图形可得答案.
解：(1)连结AC 、BD ，∵E 、F 是△ABC 的边AB 、BC 上的中点，∴EF ∥AC.
同理，HG ∥AC.∴EF ∥HG .
同理，EH ∥FG.∴四边形EFGH 是平行四边形.
(2)由(1)四边形EFGH 是平行四边形,
∵EF ∥AC ，EH ∥BD ，∴由AC ⊥BD ，得EF ⊥EH.∴四边形EFGH 为矩形.
(3)由(1)四边形EFGH 是平行四边形,
∵BD=2，AC=6，∴EF=AC 21=3,EH=BD 2
1=1. ∴由平行四边形的对角线的性质EG 2+HF 2=2(EF 2+EH 2)=20.
(4)由(1)四边形EFGH 是平行四边形,
∵BD=4，AC=6，
∴EF=AC 21=3,EH=BD 2
1=2. 又∵EF ∥AC ，EH ∥BD ，AC 、BD 成30°角，
∴EF 、EH 成30°角.
∴四边形EFGH 的面积S=EF·EHsin30°=3.
(5)如图,分别取AC 与BD 的中点M 、N ，连结MN 、MB 、MD 、NA 、NC ，
∵AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，∴MB=MD=NA=NC=3.
∴MN ⊥AC,MN ⊥BD.
∴MN 是AC 与BD 的公垂线段,
且MN=222=-NB MB .∴AC 与BD 间的距离为2.
9.如图2-2-10,线段PQ 分别交两个平行平面α、β于A 、B 两点，线段PD 分别交α、β于C 、D 两点，线段QF 分别交α、β于F 、E 两点，若PA=9，AB=12，BQ=12，△ACF 的面积为72，求△BDE 的面积.
图2-2-10
思路解析：求△BDE 的面积，看起来似乎与本节内容无关，事实上，已知△ACF 的面积，若△BDE 与△ACF 的对应边有联系的话，可以利用△ACF 的面积求出△BDE 的面积.〔提示：①△ABC 的两条邻边分别长为a 、b ，夹角为θ，则△ABC 的面积S=2
1absinθ；
②sinα=sin(180°-α)〕
解：∵平面QAF∩α=AF ，平面QAF∩β=BE ，又∵α∥β，∴AF ∥BE.同理,可证AC ∥BD.∴∠FAC 与∠EBD 相等或互补，即sin ∠FAC=sin ∠EBD.由AF ∥BE ，得2
12412===QA QB AF BE ，∴BE=
AF 21.由BD ∥AC ，得7
3219===PB PA BD AC ， ∴BD=AC 37.又∵△ACF 的面积为72，即AF 2
1·AC·sin ∠FAC=72， ∴S △DBE =BE 21·BD·sin ∠EBD=21·AF 2
1·AC 37·sin ∠FAC =AF 2167∙·AC·sin ∠FAC=67×72=84. ∴△BDE 的面积为84平方单位.。