4.3.1对数的概念课件-高一上学期数学人教A版(2)

（1）54 625；（2）26 1 ；（3） 1 m 5.73；
64
3
（4）log 116 4；（5）lg0.01 2；（6）lg10 2.303.
2
教材习题
例2求下列各式中x的值：
（1）log
64 x
2 3
；（2）log
x
8
6；
（3）lg100 x；（4） lne2 x.
例题巩固
例题巩固
探究点四 对数式的实际应用
[例 4] 分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级来 描述声音的大小：把一很小的声压 P0＝2×10－5 帕作为参考声压，把所要测量 的声压 P 与参考声压 P0 的比值取常用对数后乘 20 得到的数值称为声压级．声 压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB).分贝值在 60 以下为无害 区，说明声音环境优良，60～110 为过渡区，110 以上为有害区．
x=logaN 其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数.
对数的概念
根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系: 当a>0，a≠1时，ax=N⇔x=logaN
由指数与对数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论: （1）负数和0没有对数; （2）loga1=0，logaa=1
教材练习 例1把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
由已知条件知 40 分贝小于 60 分贝，
所以此地为噪音无害区，环境优良．
例题巩固
关于对数运算在实际问题中的应用 (1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数 据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算． (2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为 对数运算，从而简化复杂的指数运算．
方法总结
对数式化简与求值的基本原则和方法 (1)基本原则： 对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化 简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用的方法： ①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).
×5lg 2 4lg 3
＝15 16
.
(2)原式＝lologg55132
log79 ×3
log7 4
＝log1 3
2 ×log3 4 9
lg ＝
lg
2 1 3
lg 9 ×1
lg 43
1lg 2 ＝2
－lg 3
2lg 3 ×23lg 2
＝－3 2
.
方法总结
例题巩固
探究点三 利用对数式与指数式的互化解题
[解] (1)原式＝log78－log79＋log798
＝log78－log79＋log79－log78＝0. (2)原式＝lg 2(lg 2＋lg 500)＋3lg 5 ＝lg 2·lg 1 000＋3lg 5 ＝3lg 2＋3lg 5 ＝3(lg 2＋lg 5)＝3lg 10＝3.
课堂检测
3．若 4a＝2，lg x＝a，则 x＝________．
3．已知 3x＝log12(3y)＋log124y (y＞0)，则 x 的值是(
)
A．－1 B．0
C．1
D．3
B [3x＝log12(3y)＋log124y ＝log1212＝1，所以 x＝0，故选 B.]
例题巩固
4．计算：(1)3log72－log79＋2log72
3
2
；
(2)(lg 2)2＋lg 2·lg 500＋lg 125.
[例 3] 设 3a＝4b＝36，求2a ＋1b 的值． [解] 法一：由 3a＝4b＝36， 得 a＝log336，b＝log436， 由换底公式得1a ＝log363，1b ＝log364，
∴2a ＋1b ＝2log363＋log364＝log3636＝1. 法二：由 3a＝4b＝36，两边取以 6 为底数的对数，得 alog63＝blog64＝log636＝2， ∴2a ＝log63，1b ＝12 log64＝log62，
课堂精讲
【例 1】 (1)下列函数表达式中，是对数函数的有( )
①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；
⑦y＝log2(x＋1).
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
(2)若对数函数 f(x)的图象过点(4，－2)，则 f(8)＝________.
(1)试列出分贝 y 与声压 P 的函数关系式； (2)某地声压 P＝0.002 帕，则该地为以上所说的什么区？声音环境是否优 良？
[解]
(1)由已知得 y＝20lg P P0
(其中 P0＝2×10－5).
(2)当 P＝0.002 时，y＝20lg
0.002 2×10－5
＝20lg 102＝40(分贝).
对数的概念
新课引入
x中求出经过 x 年后 B 地景区的游客人次为 2001 年的倍数 y. 反之，如果要求经过多少年游客人次是 2001 年的 2倍，3 倍，4倍，...， 那么该如何解决?
对数的概念
一般地，如果 ax =N(a>0，且a≠1)，那么数 x 叫做以a为底N的对数 (logarithm)，记作
[答案] (1)1 (2)1
例题巩固
探究点一 对数运算性质的应用 [例 1] 计算下列各式：
3 (1)log5 625
；
(2)log2(32×42)；
(3)log535－2log573 ＋log57－log595 .
[解] (1)原式＝13 log5625＝13 log554＝43 .
(2)原式 log232＋log242＝5＋4＝9. (3) 原 式 ＝ log5(5×7) － 2(log57 － log53) ＋ log57 － log59－log55 ＝ log55 ＋ log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2.
∴2a ＋1b ＝log63＋log62＝log66＝1.
方法总结
利用对数式与指数式互化求值的方法 (1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算 法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化． (2)对于连等式可令其等于 k(k＞0)，然后将指数式用对数式表示，再由换 底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解．
辨析
1．式子logmN中，底数m的范围是什么？
2．任何一个指数式都可以化为对数式吗？
判断
(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)logaN是loga与N的乘积．( ) (2)因为(－2)2＝4，所以2＝log(－2)4.( ) (3)以e为底的对数叫做自然对数．( )
例题巩固
题型一 指数式与对数式的互化 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
例题巩固
[微判断] (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( ) (2)loga(xy)＝logax·logay.( ) (3)log2(－5)2＝2log2(－5).( )
(4)lloogg2235 ＝log253 .(
)
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
例题巩固
[微练习]
1．计算 log69＋log64＝(
A．log62
B．2
[答案] B
) C．log63
D．3
2．(多选)下列等式正确的有( )
A．log34＝llnn
4 3
B．log34＝llgg
4 3
C．log34＝log143
D．log34＝lloogg1134
[答案] ABC
3．计算：(1)log84＋log82＝________； (2)log510－log52＝________．
例题巩固
1．log32－log36＝( ) A．1 C．－log32
B．－1 D．－2log32
B [log32－log36＝log326 ＝log313 ＝－1.故选 B.]
2．化简：log832 的值为( )
A．12
B．2
C．4
D．53
D [∵log832＝lloogg22382 ＝lloogg222253 ＝53 .故选 D.]
＝9
写成对数式，正确的是(
)
A．log913 ＝－2
B． log 1 9 ＝－2 3
C． log（1 2）＝9 3
D．log9(－2)＝13
2．(多选)有以下四个结论，其中正确的是( )
A．lg (lg 10)＝0
B．lg (ln e)＝0
C．若 e＝ln x，则 x＝e2
D．ln (lg 1)＝0
例题巩固
探究点二 换底公式的应用
[例 2] 计算：
(1)log1627·log8132；
(2) log5 2×log97 . log513×log73 4
[解]
(1)log1627·log8132＝llgg
27 16
×lg 32 lg 81
＝lg 33 lg 24
×lg 25 lg 34
＝3lg 3 4lg 2
(1)3－2＝1 9
1 2
；(2)
4
＝16；
(3)log 1 27 ＝－3；(4) log x 64 ＝－6. 3
例题巩固
题型二 利用对数式与指数式的关系求值
求下列各式中的 x 的值：
(1)
log 64 x
g 100＝x.
课堂检测
1．将
1 3
2
课堂精讲
【例 1】 (1)下列函数表达式中，是对数函数的有( )
①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；
⑦y＝log2(x＋1).
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
(2)若对数函数 f(x)的图象过点(4，－2)，则 f(8)＝________. 解析 (1)由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数； 由于②中底数 a∈R 不能保证 a>0，且 a≠1，∴②不是对数函数； 由于⑤⑦的真数分别为(x＋2)，(x＋1)，∴⑤⑦也不是对数函数； 由于⑥中 log4x 的系数为 2，∴⑥也不是对数函数. 只有③④符合对数函数的定义.
(2)由题意设 f(x)＝logax(a>0 且 a≠1)，
则 f(4)＝loga4＝－2， 所以 a－2＝4，故 a＝12，f(x)＝log12x， 所以 f(8)＝log18＝－3.
2 答案 (1)B (2)－3
课堂精讲
判断一个函数是对数函数的方法
课堂精练
【训练 1】 (1)若函数 f(x)＝log(a＋1)x＋(a2－2a－8)是对数函数，则 a＝________. (2)已知对数函数的图象过点 M(8，3)，则 f12＝________.
新课引入
设
M a m， N = a n ,
因为
aman amn,
所以
MN = a m+n ,
根据对数与指数间的关系可得
logaM = m， loga N = n，loga (MN) = m + n.
loag(MN =l)oagM+loagN.
对数的运算性质
同样地，同学们可以仿照上述过程，由am÷an=am-n和(am)n=amn，自已推出对数 运算的其他性质.
解析
a2－2a－8＝0， (1)由题意可知a＋1>0，
a＋1≠1， 解得 a＝4.
(2)设 f(x)＝logax(a>0，且 a≠1)，
由图象过点 M(8，3)，则有 3＝loga8， 解得 a＝2.
所以对数函数的解析式为 f(x)＝log2x， 所以 f12＝log212＝－1. 答案 (1)4 (2)－1
4．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
(1)53＝125；(2)4－2＝ 1 ；(3)log 1 8 ＝－3.
16
2
知识梳理
1.对数函数的概念 其结构特征是判断一个函数是否为对数函数的主要依据
一般地，函数___y_＝___lo_g__ax_(_a_>__0_，__且___a_≠__1_)__叫做对数函数，其中___x__是自变量，定义 域是___(0_， ___＋__∞__)___.
例题巩固
对数换底公式
设logab=x，则ax=b，于是
logcax=logcb.
根据性质(3)得xlogca=logcb，即
对数换底公式
log a
b
log c log c
b a
(a
0,
且a
1; b
0; c
0,
且c
1)
例题巩固
[微思考] 1．在积的对数运算性质中，三项的乘积式 loga(MNQ)是否适用？ [提示] 适用，loga(MNQ)＝logaM＋logaN＋logaQ，积的对数运算性质可 以推广到真数是 n 个正数的乘积． 2．换底公式中底数 c 是特定数还是任意数？ [提示] 是大于 0 且不等于 1 的任意数．