核心素养专练(四)相似比例式证明-2020秋华师大版九年级数学上册课件(共14张PPT)
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(2)∵AD∥BC，AB＝CD，∴∠ADC＝∠DAB.∵∠ADE＝∠BAC，∠ADC＝∠ADE＋∠CDE， ∠DAB＝∠BAC＋∠CAD，∴∠CDE＝∠CAD，∴△CDE∽△CAD，∴CCDA＝CCED，∴CD2＝CE·CA. 由题意，得 AB＝AF，AB＝CD，∴AF＝CD，∴AF2＝CE·CA.
(2)∵∠B＝∠DAB，∴DA＝DB.又∵∠E＝∠C，∠CAD＝∠B，∴△CAD≌△EBD(AAS)， ∴AC＝BE.∵∠E＝∠C，∠B＝∠B，∴△EBD∽△CBA，∴DAEC＝BADB.∵BD＝AD，AC＝BE，∴ AD·BE＝DE·AB.
二 利用等线段 4．如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 E 在边 BA 的延长线上，CE 交 AD 于点 F， ∠ECA＝∠D.求证：AC·BE＝CE·AD.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴BC＝AD，CD∥AB，AD∥BC，∴∠D＝∠DAE＝ ∠B.又∵∠ECA＝∠D，∴∠ECA＝∠B.又∵∠E＝∠E，∴△EAC∽△ECB，∴AC∶BC＝CE∶ BE，∴AC·BE＝CE·BC，∴AC·BE＝CE·AD.
5．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是中线，P 是 AD 上一点，过点 C 作 CF∥AB， 延长 BP 交 AC 于点 E，交 CF 于点 F.求证：BP2＝PE·PF.
3．[2018·闵行区一模]如图，已知在△ABC 中，∠BAC＝2∠B，AD 平分∠BAC，DF ∥BE，点 E 在线段 BA 的延长线上，连结 DE，交 AC 于点 G，且∠E＝∠C.求证：
(1)AD2＝AF·AB； (2)AD·BE＝DE·AB.
证明：(1)∵∠BAC＝2∠B，∠DAB＝∠DAC，∴∠B＝∠DAB.∵DF∥AB，∴∠ADF＝∠ BAD，∴∠FAD＝∠FDA＝∠B＝∠BAD，∴△FAD∽△DAB，∴FAAD＝AADB，∴AD2＝AF·AB；
参考答案
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点击进入答案wDA＝∠ABF.求证： (1)四边形 ABCD 是平行四边形； (2)OA2＝OE·OF.
证明：(1)∵EC∥AB，∴∠EDA＝∠DAB.∵∠EDA＝∠ABF，∴∠DAB＝∠ABF，∴AD∥BC. ∵DC∥AB，∴四边形 ABCD 为平行四边形；
(2)∵EC∥AB，∴△OAB∽△OED，∴OOAE＝OOBD.∵AD∥BC，∴△OBF∽△ODA，∴OOBD＝OOFA， ∴OOAE＝OOFA，∴OA2＝OE·OF.
2．如图，直线 EF 分别交 AB、AC 于 F、E 两点，交 BC 延长线于点 D，已知 AB·BF ＝DB·BC.求证：AE·CE＝DE·EF.
证明：∵AB·BF＝DB·BC，∴AB∶DB＝BC∶BF.∵∠B 为公共角，∴△BAC∽△BDF， ∴∠A＝∠D.又∵∠AEF＝∠CED，∴△AEF∽△DEC，∴AE∶DE＝EF∶CE，∴AE·CE＝DE·EF.
6．[2018·嘉定区一模]如图，已知在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝CD，点 E 在对 角线 AC 上，且满足∠ADE＝∠BAC.
(1)求证：CD·AE＝DE·BC； (2)以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧交边 BC 于点 F，连结 AF.求证：AF2＝CE·CA.
证明：(1)∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠ACB.又∵∠ADE＝∠BAC，∴△ADE∽△CAB，∴DAEB＝ ABEC，∴AB·AE＝DE·BC.∵AB＝CD，∴CD·AE＝DE·BC；
数学HS版九年级上
核心素养专练（四）
核心素养专练（四） 相似比例式的证明
一 利用三点定型 1．如图，在▱ABCD 中，E 是 CB 延长线上一点，DE 交 AB 于点 F.求证：AD·AB＝ AF·CE.
证明：在▱ABCD 中，∵AB∥DC，∴∠CDE＝∠AFD.又∵∠A＝∠C，∴△ECD∽△DAF， ∴CADF＝CAED.又∵CD＝AB，∴AABF＝CAED，∴AD·AB＝AF·CE.
三 利用中间比 7．如图，在△ABC 中，已知∠A＝90°时，AD⊥BC 于点 D，E 为直角边 AC 的中点， 过 D、E 作直线交 AB 的延长线于点 F.求证：AB·AF＝AC·DF.
证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴△CBA∽△ABD，∴ABBD＝AACD，∠C＝∠FAD，∴AB∶ AC＝BD∶AD，①又∵E 为 AC 的中点，AD⊥BC，∴ED＝12AC＝EC，∴∠C＝∠EDC.又∵∠EDC ＝∠FDB，∴∠FAD＝∠FDB，∠F 为公共角，∴△DBF∽△ADF，∴BD∶AD＝DF∶AF，②由 ①②得AABC＝DAFF，∴AB·AF＝AC·DF.
证明：如答图，连结 PC.∵AB＝AC，AD 是△ABC 的中线，∴AD 所在直线是△ABC 的对 称轴．∴PC＝PB，∠PCE＝∠ABP.∵CF∥AB，∴∠PFC＝∠ABP，∴∠PCE＝∠PFC.又∵∠CPE ＝∠FPC，∴△EPC∽△CPF，∴PPCF＝PPEC，∴PC2＝PE·PF.又∵PC＝BP，∴BP2＝PE·PF.
(2)∵∠B＝∠DAB，∴DA＝DB.又∵∠E＝∠C，∠CAD＝∠B，∴△CAD≌△EBD(AAS)， ∴AC＝BE.∵∠E＝∠C，∠B＝∠B，∴△EBD∽△CBA，∴DAEC＝BADB.∵BD＝AD，AC＝BE，∴ AD·BE＝DE·AB.
二 利用等线段 4．如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 E 在边 BA 的延长线上，CE 交 AD 于点 F， ∠ECA＝∠D.求证：AC·BE＝CE·AD.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴BC＝AD，CD∥AB，AD∥BC，∴∠D＝∠DAE＝ ∠B.又∵∠ECA＝∠D，∴∠ECA＝∠B.又∵∠E＝∠E，∴△EAC∽△ECB，∴AC∶BC＝CE∶ BE，∴AC·BE＝CE·BC，∴AC·BE＝CE·AD.
5．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是中线，P 是 AD 上一点，过点 C 作 CF∥AB， 延长 BP 交 AC 于点 E，交 CF 于点 F.求证：BP2＝PE·PF.
3．[2018·闵行区一模]如图，已知在△ABC 中，∠BAC＝2∠B，AD 平分∠BAC，DF ∥BE，点 E 在线段 BA 的延长线上，连结 DE，交 AC 于点 G，且∠E＝∠C.求证：
(1)AD2＝AF·AB； (2)AD·BE＝DE·AB.
证明：(1)∵∠BAC＝2∠B，∠DAB＝∠DAC，∴∠B＝∠DAB.∵DF∥AB，∴∠ADF＝∠ BAD，∴∠FAD＝∠FDA＝∠B＝∠BAD，∴△FAD∽△DAB，∴FAAD＝AADB，∴AD2＝AF·AB；
参考答案
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点击进入答案wDA＝∠ABF.求证： (1)四边形 ABCD 是平行四边形； (2)OA2＝OE·OF.
证明：(1)∵EC∥AB，∴∠EDA＝∠DAB.∵∠EDA＝∠ABF，∴∠DAB＝∠ABF，∴AD∥BC. ∵DC∥AB，∴四边形 ABCD 为平行四边形；
(2)∵EC∥AB，∴△OAB∽△OED，∴OOAE＝OOBD.∵AD∥BC，∴△OBF∽△ODA，∴OOBD＝OOFA， ∴OOAE＝OOFA，∴OA2＝OE·OF.
2．如图，直线 EF 分别交 AB、AC 于 F、E 两点，交 BC 延长线于点 D，已知 AB·BF ＝DB·BC.求证：AE·CE＝DE·EF.
证明：∵AB·BF＝DB·BC，∴AB∶DB＝BC∶BF.∵∠B 为公共角，∴△BAC∽△BDF， ∴∠A＝∠D.又∵∠AEF＝∠CED，∴△AEF∽△DEC，∴AE∶DE＝EF∶CE，∴AE·CE＝DE·EF.
6．[2018·嘉定区一模]如图，已知在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝CD，点 E 在对 角线 AC 上，且满足∠ADE＝∠BAC.
(1)求证：CD·AE＝DE·BC； (2)以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧交边 BC 于点 F，连结 AF.求证：AF2＝CE·CA.
证明：(1)∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠ACB.又∵∠ADE＝∠BAC，∴△ADE∽△CAB，∴DAEB＝ ABEC，∴AB·AE＝DE·BC.∵AB＝CD，∴CD·AE＝DE·BC；
数学HS版九年级上
核心素养专练（四）
核心素养专练（四） 相似比例式的证明
一 利用三点定型 1．如图，在▱ABCD 中，E 是 CB 延长线上一点，DE 交 AB 于点 F.求证：AD·AB＝ AF·CE.
证明：在▱ABCD 中，∵AB∥DC，∴∠CDE＝∠AFD.又∵∠A＝∠C，∴△ECD∽△DAF， ∴CADF＝CAED.又∵CD＝AB，∴AABF＝CAED，∴AD·AB＝AF·CE.
三 利用中间比 7．如图，在△ABC 中，已知∠A＝90°时，AD⊥BC 于点 D，E 为直角边 AC 的中点， 过 D、E 作直线交 AB 的延长线于点 F.求证：AB·AF＝AC·DF.
证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴△CBA∽△ABD，∴ABBD＝AACD，∠C＝∠FAD，∴AB∶ AC＝BD∶AD，①又∵E 为 AC 的中点，AD⊥BC，∴ED＝12AC＝EC，∴∠C＝∠EDC.又∵∠EDC ＝∠FDB，∴∠FAD＝∠FDB，∠F 为公共角，∴△DBF∽△ADF，∴BD∶AD＝DF∶AF，②由 ①②得AABC＝DAFF，∴AB·AF＝AC·DF.
证明：如答图，连结 PC.∵AB＝AC，AD 是△ABC 的中线，∴AD 所在直线是△ABC 的对 称轴．∴PC＝PB，∠PCE＝∠ABP.∵CF∥AB，∴∠PFC＝∠ABP，∴∠PCE＝∠PFC.又∵∠CPE ＝∠FPC，∴△EPC∽△CPF，∴PPCF＝PPEC，∴PC2＝PE·PF.又∵PC＝BP，∴BP2＝PE·PF.