贵州省遵义航天高级中学2017-2018学年高二下学期期中

2017--2018学年度第二学期半期考试
高二数学（理科）
第 Ⅰ 卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知i 为虚数单位, 则复数
11i
i
-+的模为（ ）
1-
2．命题“1ln ),,0(000-=+∞∈∃x x x ”的否定是（ ） A 、1ln ),,0(000-≠+∞∈∃x x x B 、1ln ),,0(-≠+∞∉∀x x x
C 、1ln ),,0(-≠+∞∈∀x x x
D 、1ln ),,0(000-=+∞∉∃x x x
3．命题“6
π
α=
”是命题“1
cos 22
α=
”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．双曲线22
11625
x y -=的渐近线方程为（ ）
A ．45y x =±
B ．45x y =±
C ．54y x =±
D ．5
4x y =± 5.已知曲线313y x =
在点82,3P ⎛⎫
⎪⎝⎭
，则过P 点的切线方程为（ ）
A ．312160x y --=
B ．123160x y --=
C ．312160x y -+=
D ．123160x y -+= 6.下列说法中错误的是（ ）
A ．给定两个命题,p q ，若p q ∧为真命题，则p q ⌝⌝、都是假命题；
B ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题是“若1,x ≠，则2
320x x -+≠”；
C ．若命题1:,212x
x
p x R ∀∈-
<，则0
:p x R ⌝∃∈，使得0
01212x x -≥； D ．函数()f x 在0x x =处的导数存在，若'00:(=0:p f x q x x =）；是()f x 的极值点，
则p
是q 的充要条件.
7．如图，060的二面角的棱上有,A B 两点，直线,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ． 已知4,6,8AB AC BD ===，则CD 的长为（ ）
A B ．7
C ．．9
8.已知直线10()
a x y a R -+=∈是圆22:(1)(2)4C x y -+-=的一条对称轴，过点(2,)A a --向圆C 作切线，切点为B ，则||AB =（ ）
A B C D ．9．与圆221x y +=及圆228120x y x +-+=都外切的圆的圆心的轨迹为（ ） A ．椭圆 B ．双曲线一支 C ．抛物线 D ．圆 10． 一个体积为38cm 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是（ ） A ．2
8cm π B ．2
12cm π C ．2
16cm π D ．2
20cm π
11. 已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(1)ln f x xf x '=+，则(1)f '＝( ) A ．
e - B ．1- C ．1 D ．e
12.已知抛物线x y C 4:2=的焦点是F ，过点F 的直线与抛物线C 相交于P 、Q 两点，且点Q 在第一象限，若=2，则直线PQ 的斜率是（ ） A 、
4
2
B 、1
C 、2
D 、22
第 Ⅱ 卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡上相应位置） 13．由曲线2y x =和2y x =所围图形的面积S = ． 14．抛物线2
4
1y x =
的焦点坐标为 ． 15．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 。

16．圆C 经过点(3,1)M -与圆22(1)(3)5x y ++-=相切于点(1,2)N ,则圆C 的方程为
三、解答题（本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）
函数()ln ,k
f x x k R x
=+
∈．若曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线与直线20x -=垂直，求()f x 的单调递减区间和极小值（其中e 为自然对数的底数）．
18.（本小题满分12分）
已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10110S =,且124,,a a a 成等比数列 （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列{}n b 满足()()
1
11n n n b a a =-+，若数列{}n b 前n 项和n T ，证明1
2n T <
.
19.（本小题满分12分）
已知函数2
1()cos )cos()2
f x x x x ππ=+-+-. （Ⅰ）求函数()f x 在[0,]π的单调递减区间；
（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，已知()1f A =-，2a =，
sin sin b C a A =，求ABC ∆的面积.
20.（本小题满分12分）
如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 与侧面11CBBC 都是菱形，
11160ACC CC B ∠=∠=︒，2AC =．
（Ⅰ）求证：11AB CC ⊥；
（Ⅱ）若1AB =1CAB 与 平面11A AB 所成的锐二面角的余弦值．
第20题图
21.（本小题满分12分）
椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2
3
，过其右焦点F 与长轴垂直的直线与椭
圆在第一象限相交于点M ，1
||2
MF =
． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）设椭圆C 的左顶点为A ，右顶点为B ，点P 是椭圆上的动点，且点P 与点A ，B 不重合，直线PA 与直线3x =相交于点S ，直线PB 与直线3x =相交于点T ，求证：以线段
ST 为直径的圆恒过定点．
22.（本小题满分12分） 设函数)10(ln 1
)(≠>=
x x x
x x f 且 （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）已知a x
x >12对任意)1,0(∈x 成立，求实数a 的取值范围。

2017--2018学年度第二学期半期考试 高二数学（理科）参考答案及评分标准
一.选择题：
1-5 CCACB 6-10 DCCBB 11-12 BD 二．填空题： 13．
13
14．(1，0) 15．36 16． 222015845()()714196x y -+-=
三．解答题： 17.由条件得()()2
10k
f x x x x '=
->， …………………………………2分 ∵曲线()y f x =在点()()
,e f e 处的切线与直线20x -=垂直， ∴此切线的斜率为0，即()0f e '=，有210k
e e
-=，得k e =，……………4分 ∴()()2210e x e f x x x x x
-'=
-=>， 由()0f x '<得0x e <<，由()0f x '>得x e >． ………………………6分 ∴()f x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增， …………………8分 当x e =时，()f x 取得极小值()ln 2e
f e e e
=+
=． 故()f x 的单调递减区间为()0,e ，极小值为2． …………………………10分
18.解析：（Ⅰ）由题意知：()()22
214111101
31101045110a a a a d a a d S a d ⎧⎧=+=+⎪⇒⎨⎨=+=⎪⎩⎩……………………2分
解12a d ==，故数列2n a n =； (5)
分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
()()1
111212122121n b n n n n ⎛⎫=
=- ⎪-+-+⎝⎭
，……………………………8分
则111111
1...213352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦ 11112212n ⎛⎫=-<
⎪+⎝⎭ (12)
分
19解（1）由已知得
21
()cos cos 2
f x x x x =-
1cos 21
222
x x +=
- sin(2)6
x π
=--…………3分
2222
6
2
kx x kx π
π
π
∴-
≤-
≤+
6
3
kx x kx π
π
∴-
≤≤+
又[0,]x π∈
∴函数()f x 在[0,]π的单调递减区间为[0,
]3
π和5[
,]6
π
π. ………6分 （2）由（1）知()sin(2)6
f x x π
=--
锐角ABC ∆，∴02
A π
<<526
6
6
A π
π
π∴-
<-
<
又()sin(2)16
f A A π
=--
=-
26
2
A π
π
∴-
=
，即3
A π
=
…………9分 又sin sin b C a A =2
4bc a ∴==
1
sin 2
ABC S bc A ∆∴==. …………12分
20.（Ⅰ）证明：连1AC ，1CB ，则1ACC △和11B CC △皆为正三角形．
取1CC 中点O ，连OA ，1OB ，则1CC OA ⊥，1CC OB ⊥， …………………2分
则1CC ⊥平面1OAB ，则11CC AB ⊥ …………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1OA OB ==
1AB =1OA OB ⊥．
如图所示，分别以1OB ，1OC ，OA 为正方向建立空间直角坐标系， …………7分 则(0,1,0)C -
，1B
，A ， 设平面1CAB 的法向量为111(,,)m x y z =，
因为1(3,0,AB =
，(0,1,AC =-，
所以11111100,00,
y x y +⨯-=⨯-=⎪
⎩
取(1,m = ……………………………………9分 面11AA B 的法向量取(1,0,1)n =， ……………………………………10分
则cos ,||||5m n m n m n ⋅<>=
==⨯，…………………………11分
平面1CAB 与平面11
A A
B 分 21．解：（1）解：c e a ==因为21
||2
b MF a ==，联立解得：21a b ==，
， 所以椭圆C 的标准方程为22
141
x y +=．
（2）证明：设直线AP 的斜率为k ，则直线AP 的方程为(2)y k x =+， 联立3x =得(35)S k ，
． 00()P x y 设，，代入椭圆的方程有：22
00
01(2)41
x y x +
=≠±， 整理得：2
2
01(4)4
y x =--，故202
0144y x =--， 又002y k x =
+，002
y
k x '=-(k k '，分别为直线PA ，PB 的斜率)， 所以2
02
01
44
y kk x '==--，
所以直线PB 的方程为：1
(2)4y x k
=--， 联立3x =得134T k ⎛
⎫ ⎪-⎝⎭
，，
所以以ST 为直径的圆的方程为：22
2
5151(3)2828k k x y k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
-+--=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎣⎦，
令0y =，解得：3x =±
，
所以以线段ST 为直径的圆恒过定点30⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭．
22. 解 （Ⅰ）'
22ln 1(),x f x +=-
若 '
()0,
f x = 则 1x e
= 列表如下
……5分
（Ⅱ）在 12a
x
x > 两边取对数, 得
1
ln 2ln a x x
>,由于01,x <<所以 1ln 2ln a x x
> (1) 由(1)的结果可知,当(0,1)x ∈时, 1()()f x f e e
≤=-, 为使(1)式对所有(0,1)x ∈成立,当且仅当ln 2
a
e >-,即ln 2a e >- ……12分。