2021-2022学年云南省昆明市学区中学高二数学理下学期期末试题含解析

2021-2022学年云南省昆明市学区中学高二数学理下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图，汉诺塔问题是指有3根杆子A，B，C，杆上有若干碟子，把所有的碟子从B杆移到A杆上，每次只能移动一个碟子，大的碟子不能叠在小的碟子上面，把B杆上的3个碟子全部移动倒A杆上，最少需要移动的次数是（）
A、12
B、9
C、6
D、7
参考答案：
D
2. 已知等比数列中，有，数列是等差数列，且，则＝
（A）2 （B）4 （C）8 （D）16
参考答案：
C
3. 命题“，使得”为真命题，则实数m的取值范围为（）
A．[0,4] B．(0,4) C．[－4,0) D．(－4,0)
参考答案：
B
,恒成立，等价于，故选B.
4. 已知,且,则 ( )
A. B. C. D.
参考答案：C
5. 编号为1、2、3、4、5、6、7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有
A．60 B．20种 C．10种 D．8种
参考答案：
C
6. 在某次试验中，实数x，y的取值如下表：
若y 与x 之间具有较好的线性相关关系，且求得线性回归方程为，则实数m 的值为（）A. 1.5 B. 1.6 C. 1.7 D. 1.9
参考答案：
D
【分析】
根据表中数据求得，代入回归直线方程即可求得结果.
【详解】由表中数据可知：，
又，解得：
本题正确选项：
7. 设定点,,动点满足，则点的轨迹是
（）
A. 椭圆
B. 椭圆或线段
C. 线段
D. 无法判断
参考答案：
B
8. 等比数列
中，
，
，则
的值是（ ）
A ．14
B ．18
C ．16
D ．20
参考答案：
C
，在等比数列中
构成等比数列，
9. 双曲线
的实轴长是虚轴长的2倍,则m 等（ ）
A.
B. C ． D ．
参考答案：
D 略
10. 在下列命题中，真命题是（ ）
A. “x=2时, x 2
－3x+2=0”的否命题； B. “若b=3, 则b 2
=9”的逆命题;
C. 若ac> bc, 则a>b;
D. “相似三角形的对应角相等”的逆否命题 参考答案： D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 调查者通过随机询问72名男女中学生喜欢文科还是理科，得到如下列联表(单位：名)
性别与喜欢文科还是理科列联表
中学生的性别和喜欢文科还是理科________关系．(填“有”或“没有”) 参考答案：
略
12. 在平面直角坐标系
中，已知双曲线：（）的一条渐近线与直线：
垂直，则实数
▲ .
参考答案： 2
13. 在平面直角坐标系中，已知的顶点和，若顶点在双曲线
的右支上，则
．
参考答案：
∵双曲线中，a=3，b=
∴c=
=4，
∴A 、C 恰好是双曲线的左右焦点，焦距|AC|=8 根据双曲线的定义，得||AB|﹣|CB||=2a=6，
∵顶点B 在双曲线的右支上，
∴|AB|﹣|CB|=6，
△ABC中，根据正弦定理，得故.
14. 过椭圆＝１的下焦点，且与圆x2＋y2－3x＋y＋＝0相切的直线的斜率是
．
参考答案：
15. 双曲线
与椭圆的中心在原点，其公共焦点在轴上，点是在第一象限的公共
点．若，的离心率是，则双曲线的渐近线方程是．
参考答案：
16. 设函数f（x）与g（x）是定义在同一区间上的两个函数，若对任意的x∈，都有|f（x）﹣g（x）|≤k（k≥0），则称f（x）与g（x）在上是“k度和谐函数”，称为“k度密切区间”．设函数f（x）=lnx
与g(x)=在[，e]上是“e度和谐函数”，则m的取值范围是．
参考答案：
﹣1≤m≤1+e
【考点】函数的值．
【分析】由“e度和谐函数”，得到对任意的x∈[，e]，都有|f（x）﹣g（x）|≤e，化简整理得m﹣
e≤lnx+≤m+e，令h（x）=lnx+（≤x≤e），求出h（x）的最值，只要m﹣e不大于最小值，且m+e不小于最大值即可．
【解答】解：∵函数f（x）=lnx与g（x）=在[，e]上是“e度和谐函数”，
∴对任意的x∈[，e]，都有|f（x）﹣g（x）|≤e，即有|lnx+﹣m|≤e，即m﹣e≤lnx+≤m+e，
令h（x）=lnx+（≤x≤e），h′（x）=﹣=，
x＞1时，h′（x）＞0，x＜1时，h′（x）＜0，
x=1时，h（x）取极小值1，也为最小值，
故h（x）在[，e]上的最小值是1，最大值是e﹣1．
∴m﹣e≤1且m+e≥e﹣1，
∴﹣1≤m≤e+1．
故答案为：﹣1≤m≤1+e
【点评】本题考查新定义及运用，考查不等式的恒成立问题，转化为求函数的最值，注意运用导数求解，是一道中档题．
17. 直线的倾斜角为_______；在y轴上的截距为_________.
参考答案：
45°，－1；
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．把符合条件的1000名志愿者按年龄分组：第1组[20，25）、第2组[25，30）、第3组[30，35）、第4组[35，40）、第5组[40，45），得到的频率分布直方图如图所示：
（1）若从第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3、4、5组各抽取多少名志愿者？
（2）在（1）的条件下，该市决定在这12名志愿者中随机抽取3名志愿者介绍宣传经验求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率；
（3）在（2）的条件下，若ξ表示抽出的3名志愿者中第3组的人数，求ξ的分布列和数学期望．
参考答案：
【考点】离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差．
【专题】计算题．
【分析】（1）由频率和频数的关系可得每组的人数，由分层抽样的特点可得要抽取的人数； （2）求出总的可能，再求出4组至少有一位志愿者倍抽中的可能，由古典概型的概率公式可得； （3）可得ξ的可能取值为：0，1，2，3，分别求其概率可得其分布列，由期望的定义可得答案． 【解答】解：（1）由题意可知，第3组的人数为0.06×5×1000=300，第4组的人数为0.04×5×1000=200，
第5组的人数为0.02×5×1000=100，第3、4、5组共600名志愿者，
故由分层抽样的特点可知每组抽取的人数为：第3组=6，第4组=4，
第5组=2，所以第3、4、5组分别抽取6人，4人，2人；
（2）从12名志愿者中抽取3名共有=220种可能，第4组至少有一位志愿者倍抽中有
﹣
=164种可能，
所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为P=
=
；
（3）ξ的可能取值为：0，1，2，3，且P （ξ=0）==，P （ξ=1）==，
P （ξ=2）==，P （ξ=3）==，
所以ξ的分布列为
∴ξ的期望E ξ=
=1.5
【点评】本题考查离散型随机变量及其分布列，涉及频率分布直方图和期望的求解，属中档题．
19. 如图，在三棱锥P -ABC 中，
，
，且点D 、E 分别是BC ，PB 的中点.
（I ）求证：DE ∥平面PAC ；
（II ）求证：平面ABC ⊥平面PAD .
参考答案：
（I ）见解析；（II ）见解析. 试题分析：
证明，利用线面平行的判定定理证明平面
证明
平面
，即可证明平面平面
解析：（I ）证明：在中， 因为
，
分别是，
的中点，
所以 因为
平面
，
平面
所以平面.
（II）证明：因为，，是的中点，
所以，
因为，，平面
所以平面
因为平面
所以平面平面.
20. 已知函数.
（Ⅰ）若函数f(x)在[1,+∞)上单调递减，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若，求f(x)的最大值.
参考答案：
（Ⅰ）（Ⅱ）
【分析】
(Ⅰ)由题意分离参数，将原问题转化为函数求最值的问题，然后利用导函数即可确定实数的取值范围；
(Ⅱ)结合函数的解析式求解导函数，将其分解因式，利用导函数研究函数函数的单调性，最后利用函数的单调性结合函数的解析式即可确定函数的最值.
【详解】（Ⅰ）由题意知，在上恒成立，所以
在上恒成立.
令，则，
所以在上单调递增，所以，
所以.
（Ⅱ）当时，.
则，
令，则，所以在上单调递减.
由于，，所以存在满足，即.
当时，，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以，
因为，所以，所以，
所以.
【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的最值，零点存在定理及其应用，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
21. （本小题满分12分）已知椭圆及点B（0，－2），过左焦点F1与B的直线交椭圆于C、D两点，F2为其右焦点，求△CDF2的面积．
参考答案：
22. 已知函数.
（1）若函数f(x)的最小值为2，求实数a的值；
（2）若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
参考答案：
(1) 或. (2)[－1,2]
【分析】
（1）利用绝对值不等式可得.
（2）不等式在上恒成立等价于在上恒成立，故的解集是的子集，据此可求的取值范围.
【详解】解：（1）因为，
所以.
令，得或，解得或.
（2）当时，.
由，得，即，即.
据题意，，则，解得. 所以实数的取值范围是.
【点睛】（1）绝对值不等式指：及，我们常利用它们求含绝对值符号的函数的最值.
（2）解绝对值不等式的基本方法有公式法、零点分段讨论法、图像法、平方法等，利用公式法时注意不等号的方向，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，而利用图像法求解时注意图像的正确刻画．。