2018-2019学年江西省上高二中高一下学期第二次月考数学试题(解析版)

2018-2019学年江西省上高二中高一下学期第二次月考数学
试题
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 的非负半轴重合，终边过点2(1,P ），则sin 2πα⎛⎫
+=
⎪⎝⎭
（ ）
A B C ．5
-
D ． 【答案】A
【解析】由三角函数定义得到cosα,然后由诱导公式即可得到答案. 【详解】
角α的终边过点()1,2P ，则cos
5x r α=
==
，
则sin cos 25παα⎛⎫
+==
⎪⎝⎭
， 故选：A 【点睛】
本题考查三角函数定义和诱导公式的应用，属于基础题. 2．函数tan 23y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象的一个对称中心为（ ） A ．,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】C
【解析】根据正切函数的对称中心为k π,0k Z 2⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，可求得函数y 图象的一个对称中心． 【详解】 由题意，令πk π2x 32+=，k Z ∈，解得k ππ
x 46
=-，k Z ∈， 当k 2=时，πππx 263=
-=，所以函数πy tan 2x 3⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象的一个对称中心为
π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭
． 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了正切函数的图象与性质的应用问题，其中解答中熟记正切函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
3．已知向量a ，b 满足||1a =，||2b =，()()
28a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．
2
π
B ．
3
π C ．
4
π D ．
6
π 【答案】B
【解析】将()()
28a b a b +⋅-=-变形解出夹角的余弦值，从而求出a 与b 的夹角。

【详解】
由()(
)
28a b a b +⋅-=-得2
2
28a a b b -⋅-=-，
即2
2
cos 28a a b b
θ-⋅-=-
又因为1a =， 2b ，=，所以12cos 88θ--=-，
所以1cos 2θ=，3
πθ= 故选B. 【点睛】
本题考查向量的夹角，属于简单题。

4．若tan 3θ＝，则sin cos sin cos θθ
θθ+=-（ ）
A ．2
B ．-2
C ．
12
D ．12
-
【答案】A
【解析】根据同角三角函数关系可将式子变为关于tan θ的式子，代入求得结果. 【详解】
sin cos tan 131
2sin cos tan 131
θθθθθθ+++===---
本题正确选项：A 【点睛】
本题考查利用同角三角函数关系解决与sin θ、cos θ有关的齐次式问题，属于基础题. 5．已知等比数列{}n a 满足582a a +＝，678a a ⋅=-，则3q =（ ）
A ．12
-
B ．-2
C ．1
2
-
或-2 D ．2
【答案】C
【解析】由等比数列的性质可知，a 5•a 8＝a 6•a 7，然后结合a 5+a 8，可求a 5，a 8，由q 3
8
5
a a =
可求． 【详解】
由等比数列的性质可知，58678a a a a ⋅=⋅=-， ∵582a a +=，
∴54a =，82a =-，或52a =-，84a =， ∴3
8
52a q a =
=-或12
-． 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础试题． 6．已知(2,34)a m =+，(1,2)b m =，且a b ，则m = （ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D
【解析】根据向量的平行可得4m ＝3m +4，解得即可． 【详解】
(2,34)a m =+，(1,2)b m =，且a b ，
则434m m =+， 解得4m =， 故选：D ． 【点睛】
本题考查了向量平行的充要条件，考查了运算求解能力以及化归与转化思想，属于基础题．
7．向量()()AB MB BO BC OM ++++化简后等于（ ） A ．BC B ．AB
C ．AC
D ．AM
【答案】C
【解析】试题分析：原式等于AB BO OM MB BC AC ++++=,故选C. 【考点】向量和的运算 8．已知304
4π
πβα<<<<
，3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，35
sin 413πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，则sin(αβ+=）
（ ） A ．
56
65
B ．
1665
C ．1665
-
D ．5665
-
【答案】A
【解析】利用3sin()sin 4
42πππαββα⎡⎤
⎛⎫⎛⎫+=+--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦结合诱导公式及同角三角函
数求解即可 【详解】 因为304
4π
πβα<<
<<
，3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，35
sin 413
πβ⎛⎫+=
⎪⎝⎭， 所以02
4π
π
α-
<
-<，所以4sin 45πα⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
，
又
3344ππβπ<+<，所以312cos 413πβ⎛⎫
+=-
⎪⎝⎭
， 所以3sin()sin 442πππαββα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+---=
⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3cos 4
4ππβα⎡⎤
⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
33cos cos sin sin 4444ππππβαβα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-+--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
123545613513565
=
⨯+⨯=， 故选：A ． 【点睛】
本题考查两角和与差的三角函数，考查同角三角函数基本关系，注意“配凑角”的思想方法，是基础题
9．等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且315
n n S n T n -=+，则6
6a b =（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
【答案】A
【解析】根据等差数列的性质以及前n 项公式，用中间项表示出S n 、T n ，求出6
6
a b 的值即可． 【详解】
由等差数列的性质可得：
()()1116111116111131112211115
2
a a a S
b b b T +⨯-====++. 故选：A ． 【点睛】
本题考查了等差数列的性质与前n 项公式的灵活应用问题，是基础题目．
10．在ABC △中，角A 、B 、C 所对的对边长分别为a 、b 、c ，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，且2c a =，则cos B 的值为（ ） A ．
1
4
B ．
34
C
．
4
D
．
3
【答案】B
【解析】由,,sinA sinB sinC 成等比数列得2sin sin sin B A C =，故得2b ac =，再根据
2c a =
可得b =，然后根据余弦定理求解即可得到所求．
【详解】
∵,,sinA sinB sinC 成等比数列， ∴2sin sin sin B A C =， 由正弦定理得2b ac =． 又2c a =，
∴222b a =
，故得b =
．
∴222222(2))3
cos 22(2)4
a c
b a a B a
c a a +-+-===⨯⨯．
故选B ． 【点睛】
本题考查余弦定理的应用，解题的关键是根据题意得到三角形中三边间的关系，并用统一的参数表示，属于基础题．
11．在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，a c =且满足
cos cos )cos 0(C A A B +-=，若点O 是ABC △外一点，24OA OB ==，则
四边形O ACB 的面积的最大值为（ ）
A ．8+
B ．4+
C ．12
D ．4+【答案】A
【解析】由诱导公式、两角和的余弦公式化简已知的式子，由内角的范围、商的关系、特殊角的三角函数值求出B ，结合条件判断出△ABC 为等边三角形，设∠AOB ＝θ，求出θ的范围，利用三角形的面积公式与余弦定理，表示出得S OACB ，利用辅助角公式化简，由θ的范围和正弦函数的性质求出平面四边形OACB 面积的最大值． 【详解】
∵cos cos )cos 0(C A A B +=，()cos cos C A B =+﹣
，
∴cos cos cos cos()cos cos sin sin A B A B A B A B A B -=+=-，
cos sin sin A B A B =，
∵A 为三角形内角，sin 0A ≠，∴tan B = ∴由(0,)B π∈得，3
B π
=
，
又∵a c =，∴ABC △为等边三角形； 设AOB θ∠=，则0θπ<<，
∴211||||sin ||22OACB AOB ABC S S S OA OB AB θ==
⋅+⨯+△△
)22142sin ||||2||||cos 2OA OB OA OB θθ=⨯⨯⨯++-⋅
4sin 16224cos )4sin 4
θθθθ=+
+-⨯⨯⨯=-+
8sin 3πθ⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭
∵0θπ<<，∴23
3
3
π
π
π
θ-<-
<
， ∴当3
2
π
π
θ-
=
，即56πθ=
时，sin 3πθ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭取得最大值1，
∴平面四边形OACB 面积的最大值为8+．
故选：A ．
【点睛】
本题考查三角函数中的恒等变换中的公式，余弦定理的应用，考查化简、变形及运算能力，属于中档题．
12．数列{}n a 前n 项和为n S ，11a =，0n a ≠，131n n n S a a +=+，若2018k a =，则k = （ ） A ．1344 B ．1345
C ．1346
D ．1347
【答案】C
【解析】首先由递推关系确定数列的特征，然后结合数列的通项公式求解实数k 的值即可. 【详解】
由题意有：当2n ≥时，11131,31n n n n n n S a a S a a +--=+=+， 两式作差可得：()()11133n n n n n n S S a a a a -+--==-，
由于0n a ≠，故113n n a a +--=，即数列的奇数项、偶数项分别构成一个公差为3的等差数列，
111121,331a S a a a ===+，据此可得22a =，
则数列的通项公式为：()()()()131
132********n n n n n a n n n n --⎧⎧+⨯⎪⎪⎪⎪==⎨⎨--⎪⎪+⨯⎪⎪⎩⎩为奇数为奇数为偶数为偶数，*n N ∈，2018,24036k k a a ==，加2后能被3整除，
则32240361346k k a k -==∴=. 本题选择C 选项. 【点睛】
数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，
再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．
二、填空题
13．函数()3cos 25f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的最小正周期为_____．
【答案】π
【解析】利用()cos y A x ωϕ=+的最小正周期2T ω
π
=，即可得出结论．
【详解】
函数()3cos 25f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的最小正周期为
22
π
π=， 故答案为π． 【点睛】
本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题．()
cos y A x ωϕ=+的最小正周期为2T ω
π
=
.
14．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过P 与2)Q 两点，则其倾斜角θ的值为_____． 【答案】30°
【解析】根据斜率公式，以及tanθ＝k ，即可求出． 【详解】
∵
3k =
=，
∴tan k θ==
∵0180θ︒︒≤<， ∴30θ=︒， 故答案为：30°． 【点睛】
本题考查了斜率公式以及直线的倾斜角和斜率的关系，属于基础题．
15．已知向量(
)2sin19,2sin109a ︒︒
=，||1a b -=，,60a a b
-=，则||b =_____．
【解析】由向量的模的坐标运算，求得2a =，再由向量的数量积的运算公式，求得故
()1a a b ⋅-=，进而利用()()
()
2
222
[]2b a a b a a b
a a
b =--=+--⋅-，即可求解．
【详解】
由向量的模的坐标运算，可得
(2sin19a =
=
2=，
故()
cos ,21cos601a a b a a b a a b ⋅-=⋅--=⨯⨯︒=，而()
b a a b =--， 所以()
()
()
2
2
22
22[]221213b a a b a a b a a b =--=+--⋅-=+-⨯=，
所以3b =． 【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的模的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，合理应用向量模的运算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 16．已知下列四个命题： ①等差数列一定是单调数列；
②等差数列的前n 项和构成的数列一定不是单调数列；
③已知等比数列{}n a 的公比为q ，若1q >，则数列{}n a 是单调递增数列．
④记等差数列的前n 项和为n S ，若20k S >，210k S +<，则数列n S 的最大值一定在n k
=处达到．
其中正确的命题有_____．（填写所有正确的命题的序号） 【答案】④
【解析】①举反例，d ＝0时为常数列，即可判断出结论；②举反例：S n ＝n 2
﹣2n ，为单
调递增数列；③举反例：例如﹣1，﹣2，﹣4，……，为单调递减数列．④记等差数列的前n 项和为S n ，由S 2k ＝k （a k +a k +1）＞0，S 2k +1＝（2k +1）a k +1＜0，可得：a k ＞0，a k +1＜0，即可判断出正误． 【详解】
①等差数列不一定是单调数列，例如0d =时为常数列；
②等差数列的前n 项和构成的数列一定不是单调数列，不正确，反例：2
2n S n n =-，
为单调递增数列；
③已知等比数列{}n a 的公比为q ，若1q >，则数列{}n a 是单调递增数列，不正确，例如-1，-2，-4，……，为单调递减数列． ④记等差数列的前n 项和为n S ， 若()
()1221202
k k k k k a a S k a a ++=
=+>，
()
121211(21)(21)02
k k k k a a S k a +++++=
=+<，
可得：0k a >，10k a +<，可得数列n S 的最大值一定在n k =处达到．正确． 故答案为：④． 【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题
17．在等差数列{}n a 中，54a =，389a a +=． （1）求数列的{}n a 通项公式；
（2）令21n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
【答案】（1）1n a n =-；（2）2
2n S n n =-
【解析】（1）等差数列{a n }的公差设为d ，运用等差数列的通项公式可得首项和公差的方程，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项；
（2）由（1）知b n ＝2a n ﹣1＝2n ﹣3，运用等差数列的求和公式，计算可得所求和． 【详解】
（1）依题意，38569a a a a +=+=，
因为54a =，所以65a =，即651d a a =-=， 所以()5511n a a n n =+-⨯=-.
（2）由（1）知1n a n =-，所以2123n n b a n =-=-，
所以数列{}n b 是首项为1-，公差为2的等差数列， 所以()()
1212322
2
n n n a a n n S n n +-+-==
=-.
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
18．函数()1()sin 0,0,||2x f x A A πωφωφ⎛⎫
=+>><
⎪⎝
⎭
的一段图象如图所示.
（1）求函数()1f x 的解析式； （2）将函数()1y f x =的图象向右平移
4
π
个单位，得函数()2y f x =的图象，求()2y f x =在x 0,2π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
的单调增区间．
【答案】（1）()12sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；
（2）0,3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【解析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式；
（2）根据函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，求得函数y ＝f 2（x ）的解析式，由
2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+ k Z ∈，得到函数的单调增区间.
【详解】
（1）如图，由题意得，()10,A f x >的最大值为2，2A ∴= 又
2362T πππ=+=,∴T π=,即2π
πω
= ∴2ω=. 因为()1f x 的图像过最高点,212π⎛⎫
⎪⎝⎭，则22sin 212πϕ⎛⎫
=⨯+ ⎪⎝⎭
,2
3
π
π
ϕϕ<
∴=
即()12sin 23f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
.
（2）.依题意得：()22sin 22sin 2436f x x x πππ⎛⎫
⎛⎫⎛
⎫=⨯-
+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭⎝
⎭ ∴由2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+ k Z ∈
解得：,6
3
k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤
+∈
0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()2f x 的单调增区间为0,3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
【点睛】
本题主要考查由函数y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题．
19．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且
cos )()cos a B C c b A -=-．
（1）求A ；
（2）若b =
D 在BC 边上，2CD =，3
ADC π∠=
，求ABC △的面积．
【答案】（1）23
A π
=
；
（2）ABC S
. 【解析】（1）由正弦定理、三角函数恒等变换化简已知可得：1
sin 62
A π⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭，结合范围()0,A π∈，可得7,666
A π
ππ⎛⎫
+
∈ ⎪⎝⎭
，进而可求A 的值． （2）在△ADC 中，由正弦定理可得sin 1CAD ∠=，可得2
CAD ＝π
∠，利用三角形内
角和定理可求C B ∠∠，，即可求得AB AC ==算得解． 【详解】
（1）∵)
()cos cos a
B C c b A -=-，
∴sin sin cos sin cos sin cos A B A C C A B A --＝，
∴sin sin cos sin cos sin cos A B B A C A A C ++＝，可得：
)
sin cos sin B
A A
B +=，
∵sin 0B >，
cos 2sin 16A A A π⎛⎫
+=+= ⎪⎝
⎭，可得：1sin 62
A π⎛
⎫+= ⎪⎝⎭， ∵()0,A π∈， ∴7,666
A π
ππ
⎛⎫+
∈ ⎪⎝⎭
， ∴56
6
A π
π+
=
，可得：23A π=．
（2）∵b =
D 在BC 边上，23
CD ADC π
∠＝，＝，
∴在ADC 中，由正弦定理sin sin AC CD ADC CAD
=∠∠2
sin CAD =
∠，可
得：sin 1CAD ＝∠， ∴2
CAD ＝
π
∠，可得：6
C CA
D ADC π
π∠=-∠-∠=
，
∴6
B A
C ＝＝π
π∠-∠-∠，
∴AB AC ==
∴11sin 22ABC
S
AB AC A ⋅⋅==＝． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理、三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理及三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化能力，属于中档题． 20．在ABC △中，已知(1,2)AB =，(4,)(0)AC m m =>． （1）若90ABC ∠=︒，求m 的值；
（2）若||32BC =，且2BD DC =，求cos ADC ∠的值．
【答案】（1）12m =
（2）10
-
【解析】（1）由题意可知0AB BC ⋅=，结合向量的数量积的性质即可求解m （2）由32BC =，结合向量数量积的性质可求m ，然后结合2BD DC =，及向量
夹角公式||DA DC cos ADC DA DC
⋅∠=即可求.
【详解】
（1）若90ABC ∠=︒，则0AB BC ⋅=， 32BC AC AB m =-=-（，）
， 3240m ∴+-=，
1
2
m ∴=
． （2）
32BC =，
()923m +-=，
0m ＞， 5m ∴=， 2BD DC =，
1113DC BC ∴==（，），2
223
BD BC ==（，），
而34AD AB BD （，）=+=， 34DA ∴=--（，）
，
10DA DC cos ADC DA DC
⋅∴∠=
=
=-．
【点睛】
本题主要考查了向量数量积的性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用．
21．已知数列{}n a 满足首项为12a =，12n n a a +=，()n +∈N ；设
23l )og 2(n n b a n N +-=∈，数列{}n c 满足n n n c a b =；
（1）求n b ；
（2）求数列{}n c 的前n 项和n S ．
【答案】（1）32n b n =-（2）1
10(53)2n n S n +=--⋅
【解析】（1）运用等比数列的通项公式，可得a n ＝2n ，再由对数的运算性质可得b n ；（2）
求得c n ＝a n b n ＝（3n ﹣2）•2n
，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，
可得所求和． 【详解】
（1）数列{}n a 满足首项为12a =，12n n a a +=，（n +∈N ）；
可得2n
n a =，
223log 23log 2232n n n b a n =-=-=-；
（2）()322n
n n n c a b n ==⋅-，
前n 项和()124478322n n S n =⋅+⋅+⋅+
+-⋅，
121448716(32)2n n S n +=⋅+⋅+⋅+
+-⋅，
相减可得()123482(32)2n n n S n +-=+++
+--⋅
()1141223(32)212
n n n -+-=+⋅
--⋅-，
化简可得1
10(53)2n n S n +=--⋅．
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题．。