2021-2022年高考数学二轮复习 专题能力训练6 导数的简单应用 文

2021年高考数学二轮复习专题能力训练6 导数的简单应用文
一、选择题
1.(xx河南郑州第一次质量预测)已知曲线y=-3ln x的一条切线的斜率为2,则切点的横坐标为( )
A.3
B.2
C.1
D.
2.(xx四川雅安三诊)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)
D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
3.(xx广东深圳第一次调研)若函数f(x)=x3+x2-ax在区间(1,+∞)上单调递增,且在区间(1,2)上有零点,则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.(-∞,3]
4.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n∈[-1,1],则f(m)+f'(n)的最小值是( )
A.-13
B.-15
C.10
D.15
5.(xx四川成都三诊改编)设定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1,f'(x)>,其中f'(x)是f(x)的导函数,则不等式f(x3)<x3+的解集为( )
A.(-∞,1)
B.(-1,1)
C.(-1,+∞)
D.(0,1)
二、填空题
6.若曲线y=ax2-ln x在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a=.
7.设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(e x)=x+e x,则f'(1)=.
8.函数f(x)=x3-x2-3x-1的图象与x轴的交点个数是.
三、解答题
9.设f(x)=ax2-6ln x,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,3).
(1)确定a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
10.已知函数f(x)=x3+f'x2-x+c
.
(1)求f'的值;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)设函数g(x)=[f(x)-x3]·e x,若函数g(x)在区间[-3,2]上单调递增,求实数c的取值范围.
11.设函数f(x)=a e x++b(a>0).
(1)求f(x)在[0,+∞)内的最小值;
(2)设曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=x,求a,b的值.
答案与解析
专题能力训练6 导数的简单应用
1.A 解析:设切点坐标为(x0,y0),且x0>0,由y'=x-,得k=x0-=2,解得x0=3.
2.D 解析:当x<-2时,1-x>0,由图知f'(x)>0;
当-2<x<1时,1-x>0,由图知f'(x)<0;
当1<x<2时,1-x<0,由图知f'(x)<0;
当x>2时,1-x<0,由图知f'(x)>0.
综上可知函数f(x)的极大值为f(-2),极小值为f(2).故选D.
3.C 解析:∵f'(x)=x2+2x-a,且函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,∴x2+2x-a≥0在(1,+∞)上恒成立,即a≤x2+2x,x∈(1,+∞).
设g(x)=x2+2x,x∈(1,+∞),
则g(x)min=g(1)=3.故a≤3.①
又∵函数f(x)在区间(1,2)上有零点,
∴f(1)·f(2)<0,
即<0.
∴<a<.②
由①②可知<a≤3.故选C.
4.A 解析:求导得f'(x)=-3x2+2ax,由函数f(x)在x=2处取得极值知f'(2)=0,即-
3×4+2a×2=0,可得a=3.
故f(x)=-x3+3x2-4,f'(x)=-3x2+6x.
由此可得函数f(x)在区间(-1,0)上单调递减,在区间(0,1)上单调递增.
故当m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.
∵f'(x)=-3x2+6x的图象开口向下,且对称轴为x=1,
∴当n∈[-1,1]时,f'(n)min=f'(-1)=-9.
因此f(m)+f'(n)的最小值为-13.
5.A
6.解析:∵y'=2ax-,
∴y'|x=1=2a-1=0.∴a=.
7.2 解析:令t=e x,则x=ln t,
所以函数为f(t)=ln t+t,
即f(x)=ln x+x.所以f'(x)=+1.
故f'(1)=+1=2.
8.3 解析:∵f'(x)=x2-2x-3=(x+1)(x-3),∴函数f(x)在(-∞,-1)和(3,+∞)上是增函数,在区间(-1,3)上是减函数,由f(x)极小值=f(3)=-10<0,f(x)极大值=f(-1)=>0知函数f(x)的图象与x 轴的交点个数为3.
9.解:(1)f'(x)=2ax-(x>0),
则f'(1)=2a-6.
又f(1)=a,所以f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y-a=(2a-6)(x-1).
令x=0,得y=6-a.
由题可知6-a=3,即a=3.
(2)由(1)知f'(x)=(x>0).
令f'(x)>0,则x>1,令f'(x)<0,则0<x<1.
所以f(x)递增区间为(1,+∞),递减区间为(0,1).
故f(x)有极小值f(1)=3,无极大值.
10.解:(1)设f'=a,
则f(x)=x3+ax2-x+c,f'(x)=3x2+2ax-1.
于是f'=3+2a×-1=-1=.
故有f'f',
解得f'=-1.
(2)由(1)知f(x)=x3-x2-x+c,则
f'(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1).
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
所以函数f(x)的单调递增区间是,(1,+∞);单调递减区间是.
(3)由于g(x)=[f(x)-x3]·e x=(-x2-x+c)e x,
则g'(x)=(-x2-3x+c-1)e x.
若函数g(x)在区间[-3,2]上单调递增,则g'(x)≥0在区间[-3,2]上恒成立,即g'(x)=(-x2-3x+c-1)e x≥0在区间[-3,2]上恒成立,
∵e x>0,∴-x2-3x+c-1≥0在区间[-3,2]上恒成立.
令h(x)=-x2-3x+c-1,
则解得∴c≥11.
故函数g(x)在区间[-3,2]上单调递增时c的取值范围为c≥11.
11.解:(1)f'(x)=a e x-,
当f'(x)>0,即x>-ln a时,f(x)在(-ln a,+∞)上递增;
当f'(x)<0,即x<-ln a时,f(x)在(-∞,-ln a)上递减.
①当0<a<1时,-ln a>0,f(x)在(0,-ln a)上递减,在(-ln a,+∞)上递增,从而f(x)在[0,+∞)内的最小值为f(-ln a)=2+b;
②当a≥1时,-ln a≤0,f(x)在[0,+∞)上递增,从而f(x)在[0,+∞)内的最小值为
f(0)=a++b.
(2)依题意知f'(2)=a e2-,
解得a e2=2或a e2=-(舍去).
所以a=,代入原函数可得2++b=3,即b=.
故a=,b=.。