江山市第一中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

江山市第一中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 如图，四面体D ﹣ABC 的体积为，且满足∠ACB=60°，BC=1，AD+=2，则四面体D ﹣ABC 中最长
棱的长度为（ ）
A ．
B ．2
C ．
D ．3
2． 设i 是虚数单位，是复数z 的共轭复数，若z =2（+i ），则z=（ ）
A ．﹣1﹣i
B ．1+i
C ．﹣1+i
D ．1﹣i
3． 已知x ，y 满足时，z=x ﹣y 的最大值为（ ） A ．4
B ．﹣4
C ．0
D ．2
4． 由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）
A B1
C D
5． 已知函数()cos()3
f x x π
=+，则要得到其导函数'()y f x =的图象，只需将函数()y f x =
的图象（ ） A ．向右平移
2π个单位 B ．向左平移2
π
个单位
C. 向右平移
23π个单位 D ．左平移23
π个单位 6． 设1m >，在约束条件,,1.y x y mx x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪+≤⎩
下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）
A
．(1,1 B
．(1)+∞ C. (1,3) D ．(3,)+∞ 7． 已知在平面直角坐标系xOy 中，点),0(n A -，),0(n B （0>n ）.命题p ：若存在点P 在圆
1)1()3(22=-++y x 上，使得2
π
=
∠APB ，则31≤≤n ；命题：函数x x
x f 3log 4
)(-=
在区间 )4,3(内没有零点.下列命题为真命题的是（ ）
A ．)(q p ⌝∧
B ．q p ∧
C ．q p ∧⌝)(
D ．q p ∨⌝)(
8． 设函数的集合
，平面上点的集合
，则在同一直角坐标系中，P 中函数
的图象恰好经过Q 中
两个点的函数的个数是 A4 B6 C8 D10
9． 已知集合{}|5A x N x =∈<，则下列关系式错误的是（ ）
A ．5A ∈
B ．1.5A ∉
C ．1A -∉
D ．0A ∈
10．已知函数(5)2()e
22()2x
f x x f x x f x x +>⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩
，则(2016)f -=（ ） A ．2
e B ．e C ．1 D ．
1
e
【命题意图】本题考查分段函数的求值，意在考查分类讨论思想与计算能力．
11．已知向量(,2)a m =，(1,)b n =-（0n >），且0a b ⋅=，点(,)P m n 在圆2
2
5x y +=上，则
|2|a b +=（ ）
A
B ． C
． D
．12．过点),2(a M -，)4,(a N 的直线的斜率为2
1
-
，则=||MN （ ） A ．10 B ．180 C ．36 D ．56
二、填空题
13．（
﹣2）7的展开式中，x 2
的系数是 ．
14．设x R ∈，记不超过x 的最大整数为[]x ，令{}[]x x x =-.现有下列四个命题: ①对任意的x ，都有1[]x x x -<≤恒成立； ②若(1,3)x ∈，则方程{}2
2sin
cos []1x x +=的实数解为6π-；
③若3n n a ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
（n N *∈），则数列{}n a 的前3n 项之和为2
3
1
22n n -；
④当0100x ≤≤时，函数{}22
()sin []sin 1f x x x =+-的零点个数为m ，函数{}()[]13
x
g x x x =⋅-
-的 零点个数为n ，则100m n +=.
其中的真命题有_____________.（写出所有真命题的编号）
【命题意图】本题涉及函数、函数的零点、数列的推导与归纳，同时又是新定义题，应熟悉理解新定义，将问题转化为已知去解决，属于中档题。

15．已知点F 是抛物线y 2
=4x 的焦点，M ，N 是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，M ，N ，F 三点不共线，则△MNF
的重心到准线距离为 ．
16．当0,1x ∈（）时，函数()e 1x f x =-的图象不在函数2()g x x ax =-的下方，则实数a 的取值范围是___________．
【命题意图】本题考查函数图象间的关系、利用导数研究函数的单调性，意在考查等价转化能力、逻辑思维能力、运算求解能力．
三、解答题
17．已知椭圆
+
=1（a ＞b ＞0）的离心率为
，且a 2
=2b ．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l ：x ﹣y+m=0与椭圆交于A ，B 两点，是否存在实数m ，使线段AB 的中点在圆x 2+y 2
=5上，若存
在，求出m 的值；若不存在，说明理由．
18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，椭圆C 过点P ⎛ ⎝⎭，直线1PF 交y 轴于Q ，且22,PF QO O =为坐标原点．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设M 是椭圆C 上的顶点，过点M 分别作出直线,MA MB 交椭圆于,A B 两点，设这两条直线的斜率 分别为12,k k ，且122k k +=，证明：直线AB 过定点．
19．设A （x 0，y 0）（x 0，y 0≠0）是椭圆T ：
+y 2=1（m ＞0）上一点，它关于y 轴、原点、x 轴的对称点依
次为B ，C ，D ．E 是椭圆T 上不同于A 的另外一点，且AE ⊥AC ，如图所示．
（Ⅰ） 若点A 横坐标为
，且BD ∥AE ，求m 的值；
（Ⅱ）求证：直线BD 与CE 的交点Q 总在椭圆
+y 2=（
）2
上．
20．已知椭圆
的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），P 是椭圆C 上任意一
点，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）直线l 1，l 2是椭圆的任意两条切线，且l 1∥l 2，试探究在x 轴上是否存在定点B ，点B 到l 1，l 2的距离之积恒为1？若存在，求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由．
21．已知函数()2
ln f x x bx a x =+-.
（1）当函数()f x 在点()()
1,1f 处的切线方程为550y x +-=，求函数()f x 的解析式； （2）在（1）的条件下，若0x 是函数()f x 的零点，且()*
0,1,x n n n N ∈+∈，求的值；
（3）当1a =时，函数()f x 有两个零点()1212,x x x x <，且12
02
x x x +=，求证：()00f x '>．
22．已知等差数列{a n }，等比数列{b n }满足：a 1=b 1=1，a 2=b 2，2a 3﹣b 3=1．
（Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；
（Ⅱ）记c n =a n b n ，求数列{c n }的前n 项和S n ．
江山市第一中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：因为AD•（BC•AC•sin60°）≥V D﹣ABC=，BC=1，
即AD•≥1，
因为2=AD+≥2=2，
当且仅当AD==1时，等号成立，
这时AC=，AD=1，且AD⊥面ABC，所以CD=2，AB=，
得BD=，故最长棱的长为2．
故选B．
【点评】本题考查四面体中最长的棱长，考查棱锥的体积公式的运用，同时考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，属于中档题．
2．【答案】B
【解析】解：设z=a+bi（a，b∈R），则=a﹣bi，
由z=2（+i），得（a+bi）（a﹣bi）=2[a+（b﹣1）i]，
整理得a2+b2=2a+2（b﹣1）i．
则，解得．
所以z=1+i．
故选B．
【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．
3．【答案】A
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，得A （6，2），
化目标函数z=x ﹣y 为y=x ﹣z ，
由图可知，当直线y=x ﹣z 过点A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为4． 故选：A ．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
4． 【答案】D
【解析】由定积分知识可得，故选D 。

5． 【答案】B
【解析】
试题分析：函数()cos ,3f x x π⎛
⎫
=+
∴ ⎪⎝
⎭()5'sin cos 36f x x x ππ⎛⎫⎛⎫
=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以函数 ()cos 3f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，所以将函数函数()y f x =的图象上所有的点向左平移2π个单位长度得到
5cos cos 326y x x πππ⎛⎫⎛
⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故选B.
考点：函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换. 6． 【答案】A
【解析】
考点：线性规划.
【方法点晴】本题是一道关于线性规划求最值的题目，采用线性规划的知识进行求解；关键是弄清楚的几何意义直线z x my =+截距为
z
m
，作0my x :L =+,向可行域内平移,越向上,则的值越大,从而可得当直线直线z x my =+过点A 时取最大值，⎩⎨
⎧==+00001m x y y x 可求得点A 的坐标可求的最大值,然后由z 2,>解不等式可求m
的范围.
7． 【答案】A 【解析】
试题分析：命题p ：2
π
=
∠APB ,则以AB 为直径的圆必与圆()
()1132
2
=-++y x 有公共点,所以
121+≤≤-n n ,解得31≤≤n ,因此,命题p 是真命题.命题：函数()x
x
x f 3log 4-=
，()0log 144
3<-=f ,()0log 3
4
333>-=
f ,且()x f 在[]4,3上是连续不断的曲线,所以函数()x f 在区间()4,3内有零点，因此,命题是假命题.因此只有)(q p ⌝∧为真命题．故选A ．
考点：复合命题的真假．
【方法点晴】本题考查命题的真假判断,命题的“或”、“且”及“非”的运算性质,同时也考查两圆的位置关系和函数零点存在定理,属于综合题.由于点P 满足2
π
=
∠APB ,因此在以AB 为直径的圆上,又点P 在圆
1)1()3(22=-++y x 上，因此P 为两圆的交点,利用圆心距介于两圆半径差与和之间,求出的范围.函数
x x
x f 3log 4
)(-=是单调函数,利用零点存在性定理判断出两端点异号,因此存在零点.
8． 【答案】B
【解析】本题考查了对数的计算、列举思想
a ＝－时，不符；a ＝0时，y ＝log 2x 过点(，－1)，(1,0)，此时
b ＝0，b ＝1符合； a ＝时，y ＝log 2(x ＋)过点(0，－1)，(，0)，此时b ＝0，b ＝1符合；
a ＝1时，y ＝log 2(x ＋1)过点(－，－1)，(0，0)，(1，1)，此时
b ＝－1，b ＝1符合；共6个 9． 【答案】A
【解析】
试题分析：因为{}|5A x N x =∈< ，而1.5,1,.5,1N N A A ∉-∉∴∉-∉，即B 、C 正确，又因为0N ∈且
05<，所以0A ∈，即D 正确，故选A. 1
考点：集合与元素的关系. 10．【答案】B
【解析】(2016)(2016)(54031)(1)f f f f e -==⨯+==，故选B ． 11．【答案】A 【解析】
考点：1、向量的模及平面向量数量积的运算；2、点和圆的位置关系. 12．【答案】D 【解析】
考点：1.斜率；2.两点间距离.
二、填空题
13．【答案】﹣280
解：∵（﹣2）7
的展开式的通项为
=．
由
，得r=3．
∴x 2的系数是．
故答案为：﹣280． 14．【答案】①③
【解析】对于①，由高斯函数的定义，显然1[]x x x -<≤，①是真命题；对于②，由{}2
2sin
cos []1x x +=得，
{}22sin 1cos []x x =-，即{}22sin sin []x x =.当12x << 时，011x <-<，0sin(1)sin1x <-<，此时
{}22sin sin []x x =化为22sin (1)sin 1x -=，方程无解；当23x ≤< 时，021x ≤-<，0sin(2)sin1x ≤-<，此时{}2
2sin
sin []x x =化为sin(2)sin 2x -=，所以22x -=或22x π-+=，即4x =或x π=，所以原方
程无解.故②是假命题；对于③，∵3n n a ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦（n N *∈），∴1103a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，2203a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，3313a ⎡⎤
==⎢⎥⎣⎦
，4413a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，…，31311[]133n n a n n --⎡⎤==-=-⎢⎥⎣⎦，33[]3n n a n n ⎡⎤
===⎢⎥⎣⎦
，所以数列{}n a 的前3n 项之和为3[12(1)]n n +++-+=231
22
n n -，故③是真命题；对于④，由
15．【答案】．
【解析】解：∵F是抛物线y2=4x的焦点，∴F（1，0），准线方程x=﹣1，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
∴|MF|+|NF|=x1+1+x2+1=6，
解得x 1+x 2=4，
∴△MNF 的重心的横坐标为，
∴△MNF 的重心到准线距离为．
故答案为：．
【点评】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．
16．【答案】[2e,)-+∞
【解析】由题意，知当0,1x ∈（）时，不等式2
e 1x
x ax -≥-，即21e x x a x +-≥恒成立．令()21e x
x h x x
+-=，
()()()2
11e 'x x x h x x
-+-=．令()1e x k x x =+-，()'1e x k x =-．∵()0,1x ∈，∴()'1e 0,x
k x =-<∴()k x 在()0,1x ∈为递减，∴()()00k x k <=，∴()()()
2
11e '0x x x h x x
-+-=
>，∴()h x 在()0,1x ∈为递增，∴
()()12e h x h <=-，则2e a ≥-． 三、解答题
17．【答案】
【解析】解：（1）由题意得e==
，a 2=2b ，a 2﹣b 2=c 2，
解得a=
，b=c=1
故椭圆的方程为x 2
+
=1；
（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 线段AB 的中点为M （x 0，y 0）． 联立直线y=x+m 与椭圆的方程得，
即3x 2+2mx+m 2
﹣2=0，
△=（2m ）2﹣4×3×（m 2﹣2）＞0，即m 2
＜3，
x 1+x 2=﹣，
所以x 0==﹣
，y 0=x 0+m=，
即M （﹣，
）．又因为M 点在圆x 2+y 2
=5上，
可得（﹣
）2+（
）2
=5，
解得m=±3与m 2
＜3矛盾．
故实数m 不存在．
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查存在性问题的解法，属于中档题．
18．【答案】（1）2
212
x y +=；（2）证明见解析. 【解析】
试
题解析：
（1）22PF QO =，∴212PF F F ⊥，∴1c =，
22222
2112
1,1a b c b a b
+==+=+， ∴221,2b a ==，
即2
212
x y +=； （2）设AB 方程为y kx b =+代入椭圆方程
222
12102k x kbx b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，22
221
,112
2
A B A B kb b x x x x k k --+==++，
11,A B MA MB A B y y k k x x --==，∴()
11
2A B A B A B A B MA MB A B
A B
y x x y x x y y k k x x x x +-+--+=+=
=，
∴1k b =+代入y kx b =+得：1y kx k =+-所以， 直线必过()1,1--．1 考点：直线与圆锥曲线位置关系．
【方法点晴】求曲线方程主要方法是方程的思想，将向量的条件转化为垂直.直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
19．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：∵BD∥AE，AE⊥AC，
∴BD⊥AC，可知A（），
故，m=2；
（Ⅱ）证明：由对称性可知B（﹣x0，y0），C（﹣x0，﹣y0），D（x0，﹣y0），四边形ABCD为矩形，
设E（x1，y1），由于A，E均在椭圆T上，则
，
由②﹣①得：（x1+x0）（x1﹣x0）+（m+1）（y1+y0）（y1﹣y0）=0，
显然x1≠x0，从而=，
∵AE⊥AC，∴k AE•k AC=﹣1，
∴，
解得，
代入椭圆方程，知．
【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义的应用，关键是利用椭圆的对称性寻求点的坐标间的关系，体现了整体运算思想方法，是中档题．
20．【答案】
【解析】解：（1）∵椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），
P 是椭圆C 上任意一点，且椭圆的离心率为，
∴
=
，解得
，
∴椭圆C 的方程为
．…
（2）①当l 1，l 2的斜率存在时，设l 1：y=kx+m ，l 2：y=kx+n （m ≠n ）
，
△=0，m 2=1+2k 2，同理n 2=1+2k 2m 2=n 2
，m=﹣n ，
设存在，
又m 2=1+2k 2，则|k 2（2﹣t 2）+1|=1+k 2，k 2（1﹣t 2）=0或k 2（t 2
﹣3）=2（不恒成立，舍去） ∴t 2
﹣1=0，t=±1，点B （±1，0），
②当l 1，l 2的斜率不存在时，
点B （±1，0）到l 1，l 2的距离之积为1．
综上，存在B （1，0）或（﹣1，0）．…
21．【答案】（1）()2
6ln f x x x x =--；（2）3n =；（3）证明见解析. 【解析】
试
题解析： （1）()2a
f'x x b x =+-
，所以(1)251(1)106
f'b a b f b a =+-=-=-⎧⎧⇒⎨⎨=+==⎩⎩， ∴函数()f x 的解析式为2
()6ln (0)f x x x x x =-->；
（2）22
626
()6ln '()21x x f x x x x f x x x x
--=--⇒=--=，
因为函数()f x 的定义域为0x >，
令(23)(2)3
'()02
x x f x x x +-=
=⇒=-或2x =，
当(0,2)x ∈时，'()0f x <，()f x 单调递减，
当(2,)x ∈+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增， 且函数()f x 的定义域为0x >，
（3）当1a =时，函数2
()ln f x x bx x =+-，
21111()ln 0f x x bx x =+-=，2
2222()ln 0f x x bx x =+-=，
两式相减可得22
121212()ln ln 0x x b x x x x -+--+=，121212ln ln ()x x b x x x x -=
-+-． 1'()2f x x b x =+-，0001
'()2f x x b x =+-，因为1202x x x +=，
所以12120121212
ln ln 2
'()2()2x x x x f x x x x x x x +-=⋅+-+-
-+ 212121221221122112211
1
21ln ln 2()211ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤
⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤--⎝⎭⎢⎥=-=--=-⎢⎥⎢⎥-+-+-⎣⎦+⎢⎥⎢⎥⎣⎦
设21
1x
t x =>，2(1)()ln 1t h t t t -=-+，
∴22
222
14(1)4(1)'()0(1)(1)(1)
t t t h t t t t t t t +--=-==>+++， 所以()h t 在(1,)+∞上为增函数，且(1)0h =，
∴()0h t >，又21
1
0x x >-，所以0'()0f x >．
考点：1、导数几何意义及零点存在定理；2、构造函数证明不等式.
【方法点睛】本题主要考查导数几何意义及零点存在定理、构造函数证明不等式，属于难题.涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 22．【答案】
【解析】解：（I ）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ：∵a 1=b 1=1，a 2=b 2，2a 3﹣b 3=1．
∴1+d=q ，2（1+2d ）﹣q 2
=1
，解得
或
．
∴a n =1，b n =1；
或a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1，b n =3n ﹣1
． （II
）当时，c n =a n b n =1，S n =n ．
当
时，c n =a n b n =（2n ﹣1）3n ﹣1
，
∴S n =1+3×3+5×32+…+（2n ﹣1）3n ﹣1
，
3S n =3+3×32+…+（2n ﹣3）3n ﹣1+（2n ﹣1）3n ，
∴﹣2S n =1+2（3+32+…+3n ﹣1）﹣（2n ﹣1）3n
=﹣1﹣（2n ﹣1）3n =（2﹣2n ）3n
﹣2，
∴S n =（n ﹣1）3n
+1．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。