弹性单自由度体系能量反应谱研究

0 前言
基于能量抗震设计方法 , 综合考虑了结构在地震作 用下的加速度 、 速度和位移反应 , 并考虑地震的持时作 用 , 以及结构的滞回耗能和阻尼耗能 , 可以在某种程度 上反映结构在地震作用下的损伤累计和性能劣化 , 比现 有基于承载力或强度的设计方法更精确 、 科学地反映问 题。 上世纪 50 年代 , Housner提出用能量的概念来分析 [1 ] 结构的地震反应 ,将基于能量的分析方法用于水塔等 单自由度体系的极限设计 ,认为若结构耗散能量的能力 不小于地震输入能量 , 使能量在结构中合理分布 , 可达 到结构在地震作用下不至破坏或倒塌的抗震设计目的 。 此后有学者在结构能量反应计算 、 结构能量分布 、 结构 [ 22 9] 能量耗散等方面做了研究 , 结果表明基于能量的抗 震设计方法可以对近年来几次大地震作用下的结构反 应做出更合理的解释 。 研究弹性单自由度体系的能量反应以及能量谱 , 有 助于揭示结构能量的反应规律和特点 , 是基于能量抗震 的设计方法中的重要问题 , 基于我国《建筑抗震设计规 [ 10 ] ( GB 50011 —2001 ) 中规定的 4 类场地土条件下 , 范》 采用 160 条强震记录 , 得到了结构的能量谱 , 研究了能
建 筑 结 构 学 报 (增刊 1 ) Journal of Building Structures ( Supp lementary Issue 1 )
弹性单自由度体系能量反应谱研究
滕 军 , 董志君 , 容柏生 , 鲁志雄
1 1 2 1
( 1. 哈尔滨工业大学 深圳研究生院 , 广东深圳 518055; 2. 广州容柏生建筑工程设计事务所 , 广东广州 510180 )
2
ω ( t-τ) -ζ
0
g
)d τ d t ( 7) sin ω D ( t - τ )d τ dt sin ωD ( t - τ ( 8)
t
t
ω ( t-τ) -ζ
0
g
水平地震作用下弹性单自由度体系的动力平衡方 程式为 ( 1) mx ¨ + cx + f ( x ) = - m x ¨ g 式中 , m 为体系的质量 ; c为体系的阻尼系数 ; f ( x ) 为体 系的弹性恢复力 , f ( x ) = kx, k 为体系的刚度 ; x、 x和 x ¨ 分别为体系相对于地面的位移 、 速度和加速度 ; x ¨ g 为地 面运动加速度 。 对式 ( 1 ) 左右各项同乘相对速度 x , 并在地震持续 时间 ( 0, t ) 内积分 ,得到能量反应平衡方程
0
假设有一组 N 个自振周期 T i ( i = 1, 2, …, N ) 各不 相同 , 而阻尼比 ζ 相同的弹性单自由度体系 ,在某一给定 地震记录 x ¨ 动 g 的作用下 , 各个体系的最大输入能反应 、 ) = 能反应 、 阻尼能反应和滞回能反应分别为 : S E ( T i , ζ ) = EK m ax 、 ) = ED m ax 和 S E ( Ti ,ζ S E ( Ti ,ζ E I m ax 、
)e x ¨ (τ ∫
g
t
ω ( t-τ) -ζ
)d τ sin ω D ( t - τ
( 4)
式中 , ζ 为体系阻尼比 ; ωD 为体系自振圆频率 。 则由式 ( 2 ) 相对输入能 、 动能 、 阻尼耗能和滞回耗能 分别可做如下求解
EI = m
0
x ¨ )e x ¨ (τ ∫ ∫
g 0 g
t
t
表 1 地震记录特征统计 Ta b le 1 S ta tis tic s o f the e a rthqua ke re co rd s
场地 记录 类别 数 坚硬土 40 或岩石 中硬土 40 中软土 40 软弱土 40 震级分布
M
倍标准差 E I(M ean +2dev) 以及平均值加 3 倍标准差 E I(M ean +3dev) 曲线进行了统计 ,见图 5。 由图 5 可知 , 不同地震波的能量谱差别较大 , 比较 能量 谱 的 平 均 值 E M 平均值加标 1 倍准差 I ean 、 E I(M ean +1dev) 、 平均值加 2 倍标准差 E I(M ean +2dev) 以及平均值 加 3 倍标准差 E I(M ean +3dev) 曲线可知 , E M I ean 和 E I(M ean +1dev) 所 包住的能量谱曲线较少 ,而 E I( (M ean +3dev) 曲线又过于保守 , 所以为了有一定的可靠性 , 又不过于保守 , 建议取能量 谱平均值加 2 倍标准差 E I(M ean +2dev) 为能量谱代表值 , 各 类场地能量谱代表曲线见图 6,其平均值曲线见图 7。 分析图 6 和图 7 曲线可知 ,能量谱曲线可分为 3 段 , 即上升段 — — — 短周期范围 ,能量谱曲线随周期增加而加 大 , 在此范围内 4 条曲线近乎重合 ; 平台段 — — — 在中等 周期范围内 , 能量谱曲线在一定量值附近震荡 , 上下变 化不大 , 此 段 的 长 度 随 土 质 变 软 , 呈 变 长 趋 势 ; 下 降 段— — — 在长周期范围内 , 谱曲线随周期增长而下降 , 几 条曲线下降速率相近 。
Energy spectra of elastic SDOF system s
TENG Jun , DONG Zhijun , RONG Baisheng , LU Zhixiong
1 1 2 1
( 1. Shenzhen Graduate School, Harbin Institute University of Technology, Shenzhen 518055, China 2. RBS A rchitecture Engineer Design A ssociate, Guangzhou 510180, China ) Abstract: According to the spectrum analysis theory, the energy spectrum formulas were developed, which could be used to compute input energy spectrum , damp ing energy spectrum, hysteric energy spectrum and kinetic energy spectrum of elastic SDOF system s under earthquakes . Input energy spectrum were obtained for 160 records of strong earthquakes in four site conditions. The input energy spectrum curve is composed of three sections: the increase section for short periods, the p lateau section for medium periods and the decrease section for long periods . Among them , the p lateau section is affected by the site condition. Simp lified formulas are p roposed to describe the variation of spectrum curves, and whose rationality is verified. Keywords: elastic SDOF; energy spectra; site; simp lified formula
I K D
) = S E ( T i ,ζ
H
EH
m ax
,则通过数值计算可得到结构输入
∫
t
mx ¨ xd t +
0
∫
t
t
cx x d t +
0
∫
t
f ( x) xd t = -
0
mx ¨ xd t ( 2) ∫
g
t
能谱 、 动能谱 、 阻尼耗能谱和滞回耗能谱 。 某弹性单自由度体系质量为 1kg,周期为 1 s,阻尼比 为 5 % , 在加速度峰值为 0. 452 g , 持时为 54 s 的 El Centro 地震波作用下的能量反应见图 1, 各能量反应谱见图 2。 由图 2 可知弹性结构在地震作用下的输入能量谱包络 了动能谱 、 阻尼耗能谱 、 滞回耗能谱 , 是结构在地震作用 下能量反应的主要代表值 ,所以地震下结构的输入能量 谱的特点与规律有较大的研究价值 。以下分析均以单 位质量的弹性单自由度体系的输入能量谱为研究对象 。
基金项目 : 国家自然科学基金重大研究计划培育项目资助 ( 90715009 ) 。 作者简介 : 滕军 ( 1962 — ) ,男 ,辽宁沈阳人 ,工学博士 ,教授 。 收稿日期 : 2008 年 3 月
129
量谱的特点以及场地条件对能量谱的影响规律 , 回归得 到了输入能量谱的实用计算公式 。
x ( t) = 0
图 1 El Centro波作用下结构的能量时程曲线 Fig . 1 Energy ti m e 2history curves of the structure under El Centro wave
2 强震记录的选择
我国抗震规范对场地类别的划分既考虑了土层等 [ 10 ] 效剪切波速 ,同时还考虑了场地覆盖层厚度的影响 。 为了保证结构能量谱分析的可靠性 , 应选用一定数量的 地震波样本数据 ,在美国太平洋地震工程研究中心强震 记录数据库中 ,每类场地类型选择 40 条强震记录 , 这些 地震记录可以覆盖地震动对能量谱影响的主要参数 , 即 地震强度 、 地震持时和频谱组成 , 同时还可以考虑不同 震级和地震距离等地震动因素对能量谱的影响 , 地震记 录主要参数统计见表 1, 地震记录加速度幅值与地震持
EK = - m
t
ED =
1 能量方法的基本概念
1. 1 弹性单自由度体系的能量计算
0
EH =
0
x ¨ x )e ¨(τ ∫ ∫ c )e x ¨ (τ ∫ ∫ f ( x) )e x ¨ (τ ∫ ∫
0 0 g
ttBiblioteka tω ( t-τ) -ζ
)d τ d t ( 6) sin ωD ( t - τ
mx ¨ x d t为地震动相对输入能 ; t为 ∫
g
t
地震动的持续时间 。 由式 ( 3 ) 可知 , 地震对结构的作用是一种能量的输 入、 转化 、 存储和耗散的过程 , 地震动把能量输入结构 , 结构则通过运动和弹性变形把一部分能量转化 , 通过塑 性变形把一部分能量存储 ,通过结构阻尼把一部分能量 耗散掉 。结构动能和弹性变形能在地震结束后为零 , 不 造成结构的损伤 ,而塑性变形能和阻尼耗能则使结构产 生非线性变形及材料性能劣化 , 产生结构损伤 。地震输 入确定的情况下 ,结构震后性能取决于材料的塑性变形 能力和结构的阻尼耗能能力 , 如果结构的塑性变形能力 和阻尼耗能能力较强 , 则震后结构虽有所损伤 , 但结构 仍能安全服役 ; 如果结构的塑性变形能力和阻尼耗能能 力较弱 ,则震后结构会有不同程度的破坏甚至倒塌 。 1. 2 能量反应谱的求解 由离散的地震记录 ,根据 Duhamel积分 , 由式 ( 1 ) 可 以得到结构地震动相对速度为
时关系见图 3, 地震震级与震源距关系见图 4。由图 3、 图 4 可以看出所选地震波持时包括 36185 ～152198 s, 加 速度峰值包括 01008 g ～ 01728 g, 震级包括 417 ～ 716 级 ,震源距包括 112 ～195km。这些参数涵盖了常见地震 波的大部分参数 ,具有一定的代表性 。
或表示为
EK + ED + EH = E I
t
( 3)
D 0
mx ¨ x d t为体系相对动能 ; E = cx x d t ∫ ∫ 为体系阻尼耗能 ; E = ∫ f ( x ) x d t 为体系变形能 , 包括
式 ( 3 ) 中 , EK =
0
t
H
0
弹性变形能 EE 和塑性变形能 EP (弹性体系中仅有弹性 变形能 EE ) ; E I = 0
ω ( t -τ) -ζ
( 5) )d τ d t sin ω D ( t - τ
130
图 2 El Centro 波作用下结构的能量反应谱 Fig . 2 Energy spectra under El Centro wave
图 4 地面运动记录震级 2 震源距的分布
Fig . 4 Range of magnitude and hypocentral distance
摘要 : 根据反应谱计算理论得到了线性单自由度体系在地震作用下的输入能量谱 、 阻尼耗能谱 、 滞回耗能谱以及动能谱计 算公式 ,通过数值计算得到了 4 种不同类别场地土条件下 160 条强震记录的输入能量谱 ,研究了输入能量谱的特点 。研究 结果表明 ,能量谱曲线可以分为 3 段 ,即短周期的上升段 、 中等周期的平台段和长周期的下降段 。场地类别对能量谱平台 段有一定的影响 。最后 ,提出了描述输入能量谱的谱形状的 3 段式曲线方程 ,回归得到了输入能量谱的简化计算公式 ,验 证了简化计算公式的合理性 。 关键词 : 弹性单自由度体系 ; 能量反应谱 ; 场地 ; 简化计算公式 中图分类号 : TU31113 文献标识码 : A