云南省昆明一中2011届高三年级第一次月考数学理

昆明一中
2011届高三年级第一次月考
数学试题（理科）
考试用时:120分钟
满分:150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，有且
只有一项是符合题目要求的）
1．已知全集是，集合和满足N M ⊆，则下列结论中不成立的是U M N
（ ）
A ．
B ． = M N M = M N N
C ．
D ．
()
=∅ U M N ð()
=∅ U M N ð2．
抛
物
线
24x y =的准线方程为
（
）
A ．4
1
-=y B ．81=
y C ．16
1=
y D ．16
1-
=y 3．
设复
数
ωω++
-=1,2
3
2
1则i 等于
（
）
A ．ω-
B ．2
ω
C ．ω
1
-
D ．
2
1
ω
4．设b a ,是两条不同的直线，βα,是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是
（
）
A ．若αα//,//,//b b a a 则
B ．若b a b a ⊥⊥
⊥则,,βα
C ．若βαβα⊥⊥则,//,a a
D ．若αβα⊥⊂⊥b b ,,则
b β⊥5．
已
知
数
列
是
各
项
均
为
正
数
的
等
比
数
列
，
{}n a =++==54331,21,3a a a S a 则前三项和
（ ）
A ．2
B ．33
C ．84
D ．189
6．
若函数
=
==+=+)(,)1(22x f x y e y x f y x 则对称的图象关于直线与
（ ）
A ．)0(1ln 21
>-x x B ．
)1(1)1ln(21
>--x x
C ．)1(1)1ln(2
1
->-+x x
D ．
()()1
ln 1102
x x +->7．若函数ϕπ
ϕ则上是增函数且在是奇函数,)4
,
0(,)2cos(2)(+=x x f 的一个值为
（ ）
A ．2
π
-
B ．0
C ．
2
π
D ．π
8．已知点P 的坐标⎪⎩
⎪⎨⎧≥≥≤+,1,,4),(x x y y x y x 满足过点P 的直线14:2
2=+y x C l 与圆相交于、
A 两
点，则
的
最小值是
B AB （ ）
A ．62
B ．4
C ．6
D ．2
9．已知ABC ∆的顶点A （-5，0），B （5，0），顶点C 在双曲线C
B
A y x sin sin sin ,191622-=-则
上的
值
为
（ ）
A ．
53 B ．5
3±
C ．
5
4 D ．5
4±
10．设函数的图像在点处切线的斜率为，则函数
()sin cos =+f x x x x ()()
,t f t k 的
图像为
()=k g t （
）
11．如图，在正三棱锥A —BCD 中，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，a BC DE EF =⊥若.，
则A —BCD 的体积为
（
）
E
A
A ．
3242a B ．
3122a
C ．3243a
D ．
3123a
12．有4个标号为1，2，3，4的红球和4个标号为1，2，3，4的白球，从这8个球中任
取4个球排成一排，若取出的4个球的数字之和为10，则不同的排法种数是 （ ） A ．384 B ．396 C ．432 D ．480
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在题中的横线上） 13．581(x x
x 展开式中-
的系数为
．（用数字作答）
14．以双曲线22
2
=-y x 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程
为
．
15．在︒=∠==∆60,3,2,ABC BC AB ABC 中，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若
μλμλ++=则,BC AB AO =
．
16．右图给出一个数表，它有这样的规律：表中第一行只有一个数1，
表中第n n n 有行)2(≥个数，且两端的数都是n ，其余的每一个
数都等于它肩上两个数的和，则第n 行的第2个数
是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分。

解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）
已知A ，B ，C 是的三个内角，向量,，且
∆
ABC (1,=
m ()cos ,sin = n A A ．
1⋅=-
m n （I ）求角A ； （II ）若C B
B B
tan ,3cos sin 2sin 122求=-+的值．
18．（本小题满分12分）
如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长是2，D 是CC 1的中点，直线AD 与侧面BB 1C 1C 所成的角是45°．
（I ）求二面角A —BD —C 的大小； （II ）求点C 到平面ABD 的距离．
第一行 1
第二行 2 2第三行 3 4 3第四行 4 7 7 4…… ……
19．（本小题满分12分） 某大学毕业生参加一个公司的招聘考试，考试分笔试和面试两个环节，笔试有A 、B 两
个题目，该学生答对A 、B 两题的概率分别为
21、3
1
，两题全部答对方可进入面试．面试要回答甲、乙两个问题，该学生答对这两个问题的概率均为2
1
，至少答对一题即可
被聘用（假设每个环节的每个问题回答正确与否是相互独立的）． （I ）求该学生被公司聘用的概率；
（II ）设该学生答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
20．（本小题满分12分）
已知函数)()
1(ln )(R a x
x a x x f ∈--
=． （I ）求)(x f 的单调区间； （II ）求证：不等式)2,1(2
1
11ln 1∈<--x x x 对一切恒成立．
21．（本小题满分12分）
已知F 1、F 2分别是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点，以坐标原点O 为圆
心，以双曲线的半焦距c 为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为A ，与y 轴正半轴的交点为B ，点A 在y 轴上的射影为H ，且.)323(+=
（I ）求双曲线的离心率；
（II ）若AF 1交双曲线于点M ，且λλ求,1F =的值．
22．（本小题满分12分）
已知数列).(21
21}{*N n a n S n a n n n ∈--
=项和为的前
（I ）设}{,)12(n n n b S n b 求数列+=的通项公式；
（II ）当.9
1111:,222212<+++≥+n n n b b b n 证明时
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1—6 CDCCCB 7—12 ABDBAC
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．28
14．
15．
32
16．2
22+-n n
()2
2
22x y -+=三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本小题满分10分）
解：（I ）,1sin 3cos -=-=⋅A A n m …………2分
,21
6sin(=
-
∴π
A …………3分
,6566πππ<-<-A .3,66πππ==-∴A A …………4分
（II ）B
B B B B B B B B B B B B cos sin cos sin )cos )(sin cos (sin )cos (sin cos sin 2sin 122
2-+=-++=-+ ………6分
,31
tan 1
tan =-+=
B B …………7分
,2tan =∴B …………8分
B
A B
A B A C tan tan 1tan tan )tan(tan -+-
=+-=∴ …………9分
11
3
583
2123+=
-+-
= …………10分 18．（本小题满分12分） 解法一：
（I ）设侧棱长为
C C BB AE E BC x 11,,面则中点取⊥
∴︒=∠45ADE …………2分
,14
1345tan 2
=+
==
︒∴x ED
AE
得.22=x …………3分
过E 作EF ⊥BD 于F ，连AE ，则AF ⊥BD 。

AFE ∠∴为二面角A —BD —C 的平面角 …………5分
,3,33sin ==
∠⋅=AE EBF BE EF
.3tan ==∠∴EF AE AFE .3arctan 的大小为二面角C BD A --∴…………7分
（II ）由（I ）知.,ABD AEF AEF BD 面面平面⊥∴⊥
过E 作ABD EG G AF EG 面则于⊥⊥, …………9分
,10
30
=⋅=
∴AF EF AE EG …………11分 5
30
2=
∴EG ABD C 的距离为到平面 …………12分 解法二：
（I ）求侧棱长部分同解法一。

…………3分
如图，建立空间直角坐标系，则)0,2,1(),0,0,1(),0,0,1(),3,0,0(D C B A - 设),,(z y x n =是平面ABD 的一个法向量。

由)1,6,3(,
0,0--=⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅n n n 得 …………5分
而)3,0,0(=OA 是平面BCD 的一个法向量， ………6分
.10
10
,cos -
=>=
<∴OA n …………7分 .10
10
arccos
的大小为二面角C BD A --∴ …………8分
（II ）),3,0,1(-=CA …………9分
.5
30
||||=⋅=
∴n n d ABD C 的距离为到平面点 …………12分 19．（本小题满分12分）
解：设答对A 、B 、甲、乙各题分别为事件A ，B ，C ，D ， 则.2
1
)()(,31)(,21)(====
D P C P B P A P
（I ）所求事件的概率为)](1[)(D C P B A P ⋅-⋅⋅ …………3分
.8
1
)21211(3121=⋅-⋅⋅=
…………5分
（II ）ξ的取值为0，1，2，3，4，
,3
1
3221)()0(=⋅=⋅==B A P P ξ ………… 6分 ,21
32213121)()1(=⋅+⋅=⋅+⋅==B A B A P P ξ …………7分
,24
1
21213121)()()2(=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==D C P B A P P ξ …………8分
,121
)21(3121)()()3(212=⋅⋅=⋅+⋅⋅⋅==C D C D C P B A P P ξ …………9分
,24
1
)21(3121)()()4(2=⋅⋅=⋅⋅⋅==D C P B A P P ξ
…………10分
ξ∴的分布列为
ξ
0 1 2 3 4
P
3
1
21 241 121 24
1
.124
1
412132412211310=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∴ξE …………12分
20．（本小题满分12分） 解：（I ）).0(1)(),,0()(22>-=-=
'+∞x x
a
x x a x x f x f 的定义域为 ………… 2分 ①若),0()(,0)(,0+∞>'≤在x f x f a 上单调递增 …………4分 ②若上单调递减在时当),0()(,0)(,),0(,0a x f x f a x a <'∈>； 当),()(,0)(,),(+∞>'+∞∈a x f x f a x 在时上单调递增。

…………6分
（II ）0)1(2ln )1(2
1
11ln 1,21>--+<--∴<<x x x x x x 等价于 …………7分
令),1(2ln )1()(--+=x x x x F 则.11
ln 21ln )(-+=-++
='x
x x x x x F …………8分
由（I ）知，当,0)1()(,1min ===f x f a 时
,0)1()(=≥∴f x f
,0)(,011
ln ≥'≥-+
∴x F x
x 即 …………10分 则)2,1()(在x F 上单调递增，
.2
111ln 1,0)1()(<--=>∴x x F x F 即
…………12分 21．（本小题满分12分）
解：（I ）由已知),0(),0,(),0,(21c B c F c F -
,)323(+= )2
3
,21(),23,
0(c c A c H ∴ ………… 2分 122
22=-b
y a x A 在双曲线 上，
.143422
22=-∴b
c a c …………3分 ,063,4222222=-+∴=+b b a a c b a
即.323)(,03(6(2
2
4
+==--a
b a
b a
b 得 …………4分
.13324)(12+=+=+=∴a
b
e …………6分
①
②（II ）)23,
2
1(),0,(,11c c A c F F -=且λ
))
1(23,)1(2)2((
λλλλ++-∴c
c M …………8分
1,22
22=-b
y a x M A 都在双曲线 上，
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=-∴.1)1(43)
1(4)2(,1434222
22222
222
2λλλλb c a c b c a
c …………10分
由①得,34222-=e b
c ③
将③代入②得,
1)1(4)4()1(4)2(2
2
2222=+--+-λλλλe e
.2
122+-=∴e e λ …………11分
由（I ）得4
1
3+=
λ …………12分 22．（本小题满分12分）
解：（I ）),(2
1
21,21----
=≥n n n S S n S n 时当 …………2分 ,2)12()12(1+-=+∴-n n S n S n 即.21+=-n n b b …………4分
且,232
3311=⨯==a b
.2)1(22n n b n =-+=∴ …………5分 （II ）2
2222212)
4(1
)22(1)2(1111n n n b b b n n n ++++=++++
1
)4(1
1)42(11)22(11)2(12222-+
+-++-++-<
n n n n …………7分 141141(321121()121121[(21+--+++-+++--=n n n n n n .1
281141121(212--+=+--=n n n n n …………9分
现只需证
.010118,9
1
128122
≥--≤--+n n n n n 即 …………10分 ,010211281011822=-⋅-⋅≥--n n
∴原不等式成立。

…………12分
注：其它解法酌情给分。