计数原理排列组合二项式定理章节综合检测提升试卷(一)带答案人教版高中数学高考真题汇编

高中数学专题复习
《计数原理排列组合二项式定理》单元过关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
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得分
一、选择题
1．(汇编全国2理)64(1)(1)x x -+的展开式中x 的系数是（ ）
A ．4-
B ．3-
C ．3
D ．4
2．(汇编江西理)在（x －2）汇编 的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为
S ，当x ＝2时，S 等于（B ）
A.23008
B.-23008
C.2
3009
D.-2
3009
3．（汇编全国3文）(6) 6
1x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭展开式中的常数项为（ ）
A. 15
B. 15-
C. 20
D. 20-
4．(汇编全国1理)35
3(12)(1)x x +-的展开式中x 的系数是（ ）
A ．-4
B ．-2
C ．2
D ．4
5．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是
A. 60
B. 48
C. 42
D. 36（汇编四川文）
6．在()n
a b +的展开式中，若n 为奇数，则中间项是----------------------
---------------------（ ） (A)第
12,22n n ++项 (B)第13
,
22n n ++项 (C)第13,22n n -+项 (D)第23
,
22
n n ++项 7．
1．()n
a b -的展开式中第2r +项的系数为-------------------------------------------------------（ ）
(A)(1)r r n C - (B ) 11(1)r r n C ++- (C ) 22
(1)r r n C ++- (D)
1(1)r n r n C +--
8．
2．4名男生，5名女生分配到初一年级4个班级担任辅导员，每班至少有男生、女生各1人，不同的分配方案有----------------------------------------------------------------------------------------（ ）
(A) 44544A A 种 (B) 234534C A A (C) 244
544C A A 种 (D) 2344
5344C A A A
9．某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中1本，则该生的购书方案有--------（ ）
(A) 3种 (B ) 6种 (C ) 7种 (D) 9种
10．一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目原有相对顺序不变，在增加3个节目，则不同的添加方法有 （ ） A ．210种 B ．252种 C ．504种 D ．505种
11．将5,6,7,8四个数填入12349⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭
中的空白处以构成三行三列方阵，若要求
每一行从
左到右、每一列从上到下依次增大，则满足要求的填法种数为 （ ） A ．24 B ．18 C ．12 D ．6
12．9
1
()x x
-展开式中的常数项是（ C ） (A) －36 (B)36 (C) －84 (D) 84
第II 卷（非选择题）
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得分
二、填空题
13．已知1
tan()2
πα-=-，则2
sin cos
2sin ααα-= ▲ ． 14．（5分）从红桃2、3、4、5和梅花2、3、4、5这8张扑克牌中取出4张排成一排，如果取出的4张扑克牌所标的数字之和等于14，则不同的排法共有 432 种（用数字作答）．
15． 三角形的周长为
31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的
三元数组(,,)a b c 的个数为_▲___
16．设292
1101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++
++，其中i
a （i =0，1，2，…，11）为实常数，则1010a a a +++ 的值为 .（用数字作答）-514
17．n 个不同的球放入n 个不同的盒子中，如果恰好有一个盒子是空的，有_____种不同的方法；n 个相同的球放入n 个不同的盒子，如果恰好有一个盒子
是空的，有_______种不同的放法。

18．正六边形的中心和顶点共7个，以其中3个顶点为顶点的三角形共有_______个
19．8
2
1(12)x x x ⎛⎫+- ⎪⎝
⎭的展开式中常数项为 42- ．（用数字作答） 20．证明：3
2*32(38)(3,)n n n n n n N ->++∈≥
评卷人
得分
三、解答题
21．（本题满分16分）
杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家、杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律。

下图是一个11阶杨辉三角： （1）求第20行中从左到右的第4个数；
（2）若第n 行中从左到右第14个数与第15个数的比为3
2
，求n 的值； （3）求n 阶（包括0阶）杨辉三角的所有数的和；
（4）在第3斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15；第4斜列中，第5个数为35。

显然，1+3+6+10+15=35。

事实上，一般地有这样的结论：第m 斜列中（从右上到左下）前k 个数之和，一定等于第m +1斜列中第k 个数。

试用
含有m 、k ),(*
N k m ∈的数学公式表示上述结论，并给予证明。

第0行
1 … … … … … … … … … … … … 第1斜列
第1行
1
1 … … … … … … … … … … … 第2斜列
第2行
1
2
1 … … … … … … … … … … 第3斜列
第3行
1
3
3
1 … … … … … … … … … 第4斜列
第4行
1
4
6
4
1 … … … … … … … … 第5斜列
第5行
1
5
10
10
5
1 … … … … … … … 第6斜列
第6行
1
6
15
20
15
6
1 … … … … … … 第7斜列
第7行
1
7
21
35
35
21
7
1 … … … … … 第8斜列
第8行
1
8
28
56
70
56
28
8
1 … … … … 第9斜列
第9行
1
9
36
84
126
126
84
36
9
1 … … … 第10斜列
第10行 1
10
45
120
210
252
210
120
45
10
1 … … 第11斜列
第11行
1 11
55
165
330
462
462
330
165
55
11
1 … 第12斜列
11阶杨辉三角
22．已知230123(1)(1)(1)(1)(1)n n n x a a x a x a x a x +=+-+-+-+
+-，（其中n *∈N ）
123n n S a a a a =+++
+.
(1)求n S ；
(2)求证：当4n ≥时，2
(2)22n n S n n >-+．
23．上海某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学，每所小学至少得到2台，不同的送法有多少种？
24．用0，1，2，3，4，5 六个数字，可以组成多少个没有重复数字的：(1)首数是奇数的五位偶数？(2) 五位奇数？(3)五位偶数？
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人
得分
一、选择题
1．B 2．A
解析：设（x －2）汇编＝a 0x
汇编
＋a 1x
汇编
＋…＋a
汇编
x ＋a
汇编
则当x ＝2时，有a 0（2）汇编＋a 1（2）汇编＋…＋a
汇编
（
2）＋a
汇编
＝0
（1） 当x ＝－
2时，有a 0（2）汇编－a 1（2）汇编＋…－a
汇编
（
2）＋a
汇编
＝
23009 （2）
（1）－（2）有a 1（2）汇编＋…＋a
汇编
（
2）＝－23009÷2＝－23008
故选B 3．A 4．C 5．B
【解析】解法一、从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A ，（A 共有
62
223=A C 种不同排法），剩下一名女生记作B ，两名男生分别记作甲、乙；则
男生甲必须在A 、B 之间（若甲在A 、B 两端。

则为使A 、B 不相邻，只有把男生乙排在A 、B 之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有6×2＝12种排法（A 左B 右和A 右B 左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有12×4＝48种不同排法。

解法二；同解法一，从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A ，（A 共有
62
223 A C 种不同排法），剩下一名女生记作B ，两名男生分别记作甲、乙；为
使男生甲不在两端可分三类情况：
第一类：女生A 、B 在两端，男生甲、乙在中间，共有2
22
26A A =24种排法； 第二类：“捆绑”A 和男生乙在两端，则中间女生B 和男生甲只有一种排法，此时共有2
26A ＝12种排法
第三类：女生B 和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A 和男生甲也只有一种排法。

此时共有226A ＝12种排法
三类之和为24＋12＋12＝48种。

6． 7． 8． 9． 10． 11．D 12．
第II 卷（非选择题）
请点击修改第I I 卷的文字说明 评卷人
得分
二、填空题
13．0
14．排列、组合及简单计数问题．
专题：计算题．
分析：根据题意，
分析可得，数字之和为14的情况有4，4，3，3；2，2，5，5；2，3，4，5；再依次求得每种情况下的排法数目，进而由加法原理 解析：
排列、组合及简单计数问题．
专题： 计算题．
分
析： 根据题意，分析可得，数字之和为14的情况有4，4，3，3；2，2，5，5； 2，3，4，5；再依次求得每种情况下的排法数目，进而由加法原理，
相加可得答案．
解答：
解：数字之和为10的情况有4，4，3，3；2，2，5，5； 2，3，4，5； 取出的卡片数字为4，4，3，3时；有A 44种不同排法； 取出的卡片数字为2，2，5，5时；有A 44种不同排法；
取出的卡片数字为2，3，4，5时；每个数字都有两种不同的取法，则有24A 44种不同排法；
所以共有2A 44+24A 44=18A 44=432种不同排法． 故答案为：432．
点评： 本题考查排列的应用，解题时注意数字可能来自一种卡片还是两种卡片．
15．24 16． 17． 18． 19． 20． 评卷人
得分
三、解答题
21． 解：（1）.11403
20=C
…………4分
（2）由.34,32
1314321413==-⇒=n n C C n
n 解得
…………8分
（3）.12
22211
2-=+++++n n
…………12分 （4）.112111m
k m m k m m m m m C C C C -+--+---=+++ …………14分
证明：11
111122m m m m m m m m m k m m
m k C C C C C C ------+++-+++=+++
1
1
1112222m m m m m m
m m m k m k m k m k C C C C C C ---+++-+-+-+-=++
+==+==右
式……16分 22．[必做题] (1)取
1x =，则02n a =；取
2x =，则
01233n n
a a a a a +
++++=
，
∴
12332n n n n S a a a a =++++=-； …………………………………………
………4分
(2)要证2(2)22n n S n n >-+，只需证23(1)2
2n n
n n >-+， 当4n =时，8180>；
假设当(4)n k k =≥时，结论成立，即23(1)22k k k k >-+，
两边同乘以3 得：121
2
233(1)2222(1)[(3)2442]
k k k k
k k k k k k k ++⎡⎤>-+=++
+-+--⎣⎦
而22(3)2442(3)24(2)6(3)24(2)(1)60k k k k k k k k k k k k -+--=-+--+=-+-++> ∴1123((1)1)22(1)k k k k ++>+-++，即1n k =+时结论也成立，
∴当4n ≥时，23(1)2
2n n
n n >-+成立. 综上原不等式获
证. (10)
分 23． 24．。