2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第14课__对数函数

____第14课__对__数__函__数____
1. 理解对数函数的定义、图象和性质．
2. 能用对数函数的性质比较两个对数的大小．
3. 能用对数函数的图象和性质来解决简单的综合性问题.
1. 阅读必修1第81～87页，完成以下任务：
(1) 对数函数的概念是什么？通过第83页例1，掌握求对数函数定义域的方法． (2) 对数函数的图象和性质是怎样的？通过第83页例2，掌握比较对数大小的方法． (3) 通过第84～85页例3、例4，掌握对数函数图象的变换．
2. 由重点题目第87页习题第8、14题进一步观察和探究对数函数的图象和性质.
基础诊断
1. 函数y ＝log 2(x －x 2)的定义域是__(0，1)__，值域是__(－∞，－2]__， 单调增区间是__⎝⎛⎭
⎫0，1
2__． 解析：由题意得，x －x 2>0，解得0<x<1，故函数y ＝log 2(x －x 2)的定义域为(0，1)； 因为y ＝log 2(x －x 2)
＝log 2⎣⎡⎦
⎤－⎝⎛⎭⎫x －122
＋14≤log 21
4＝－2， 所以函数的值域为(－∞，－2]；
因为y ＝log 2t 是单调增函数，所以函数g(x)＝x －x 2的增区间即为原函数的增区间．因为g(x)＝x －x 2在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递增，故原函数的单调增区间为⎝⎛⎭
⎫0，12.
2. 函数f(x)＝1－2log 6x 的定义域为．
解析：由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧x>0，
1－2log 6x ≥0，解得0<x ≤6，故函数f(x)的定义域为(0，6]．
3. 若－1<log a 3
4
<1，则实数a 的取值范围为__⎝⎛⎭⎫0，34∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞__． 解析：由－1<log a 34<1得log a 1a <log a 3
4<log a a.若0<a<1，则函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上单
调递减，所以1a >34>a ，解得0<a<34；若a>1，则函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增，所以
1
a <34<a ，解得a>4
3
. 综上，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，34∪⎝⎛⎭
⎫4
3，＋∞. 4. 已知a ∈R ，函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎫1x ＋a ，若关于x 的方程f (x )＋log 2x 2
＝0的解集中恰有一个元素，则a 的值为__－1
4
或0__．
解析：由题意得log 2⎝⎛⎭⎫1x ＋a ＋log 2x 2＝0，即log 2(ax 2＋x )＝0，即ax 2
＋x －1＝0. 当a ＝0时，解得x ＝1，符合题意； 当a ≠0时，Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14.
综上，a 的值为0或－1
4
.
范例导航
考向❶ 含对数式的大小比较
例1 比较下列各组数中两个值的大小： (1) log 23.4，log 28.5； (2) log 0.31.8，log 0.32.7；
(3) log a 5.1，log a 5.9(a>0，且a ≠1)．
解析：(1) 根据函数y ＝log 2x 单调递增可得log 23.4<log 28.5. (2) 根据函数y ＝log 0.3x 单调递减可得log 0.31.8>log 0.32.7. (3) 函数y ＝log a x 的单调性需分两种情况讨论： ①当0<a<1时，函数y ＝log a x 单调递减， 所以log a 5.1>log a 5.9；
②当a>1时，函数y ＝log a x 单调递增， 所以log a 5.1<log a 5.9.
比较下列各组数的大小． (1) log 323与log 56
5；
(2) log 1.10.7与log 1.20.7；
(3) 已知log 12
b<log 12
a<log 12
c ，比较2a ，2b ，2c 的大小．
解析：(1) 因为log 323<log 31＝0，log 565>log 51＝0，所以log 323<log 56
5.
(2) 方法一：因为0<0.7<1，1.1<1.2，
所以0>log 0.71.1>log 0.71.2， 所以1log 0.71.1<1
log 0.71.2
，
由换底公式可得log 1.10.7<log 1.20.7.
方法二：作出y ＝log 1.1x 与y ＝log 1.2x 的图象，
如图所示，由两图象与直线x ＝0.7相交可知log 1.10.7<log 1.20.7.
(3) 因为y ＝log 12
x 为减函数，且log 12
b<log 12
a<log 12
c ，所以b>a>c.
考向❷ 对数函数的图象(变换)与性质
例2 已知函数f(x)＝log a x(a>0且a ≠1)，若对于任意的x ∈⎣⎡⎦⎤
13，2都有|f(x)|≤1成立，试求a 的取值范围．
解析：因为f(x)＝log a x ，则y ＝|f(x)|的图象如图所示．由图可知，要使x ∈⎣⎡⎦⎤13，2时恒有|f(x)|≤1,
只需|f ⎝⎛⎭⎫13|≤1，即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a. 当a>1时，a －
1≤13≤a ，解得a ≥3；
当0<a<1时，a －
1≥13≥a ，解得0<a ≤13.
综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎦
⎤0，1
3∪[3，＋∞)．
(1) 已知函数f(x)＝|lg x|，若0<a<b ，且f(a)＝f(b)，则a ＋2b 的取值范围为__(3，＋∞)__； 解析：画出函数f(x)＝|lg x|的图象如图所示．
因为0<a<b ，f(a)＝f(b)，所以0<a<1，b>1，所以lg a<0，lg b>0.又因为f(a)＝f(b)，所以－lg a ＝lg b ，即ab ＝1，所以a ＋2b ＝a ＋2a ，易证μ＝a ＋2
a 在区间(0，1)上单调递减，所以μ>3，
即a ＋2b>3.
(2) 已知函数f(x)＝log a |x|在(0，＋∞)上单调递增，则f(－2)__<__f(a ＋1)．(填“<”“＝”
或“>”)
解析：因为f(x)＝log a |x|在(0，＋∞)上单调递增，所以a>1，所以a ＋1>2.因为f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)<f(a ＋1).
考向❸ 对数函数的图象与性质的综合运用
例3 已知函数f(x)＝log a (x ＋1)－log a (1－x)，a>0且a ≠1. (1) 求f(x)的定义域；
(2) 判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(3) 若a>1，求使f(x)>0的x 的解集． 解析：(1) 由题意得
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x>0，解得－1<x<1. 故所求函数f(x)的定义域为{x|－1<x<1}． (2) 由(1)知f(x)的定义域为{x|－1<x<1}，
且f(－x)＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x)＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x)]＝－f(x)， 故f(x)为奇函数．
(3) 因为当a>1时，f(x)在定义域{x|－1<x<1}上是增函数，所以由f(x)>0，得x ＋1
1－x >1，
解得0<x<1，
所以使f(x)>0的x 的解集是{x|0<x<1}．
自测反馈
1. 设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系为__a>b>c__． 解析：a ＝log 3π>1，b ＝12log 23，则12<b<1，c ＝12log 32<1
2，所以a>b>c.
2. 已知函数f(x)＝ln 1＋ax
1＋2x
(a ≠2)为奇函数，则实数a ＝__－2__．
解析：依题意有f(－x)＋f(x)＝ln 1－ax 1－2x ＋ln 1＋ax 1＋2x ＝0，即1－ax 1－2x ·1＋ax
1＋2x ＝1，故1－a 2x 2＝1
－4x 2，所以a 2＝4.又a ≠2，故a ＝－2.
3. 已知函数f(x)满足：当x ≥4时，f(x)＝⎝⎛⎭⎫
12x
；当x<4时，f(x)＝f(x ＋1)，则f(2＋log 23)的值为__1
24
__．
解析：因为1<log 23<2，所以3<2＋log 23<4，所以f(2＋log 23)＝f(3＋log 23)，因为4<3＋log 23<5，所以f(3＋log 23)＝⎝⎛⎭
⎫
123＋log 23
＝⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭
⎫
12log 23
＝18×2log 23－
1＝18×13＝124
. 4. 定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，f ⎝⎛⎭⎫13＝0，则满足f ⎝⎛⎭⎫log 18x >0的x 的取值范围是__⎝⎛⎭
⎫0，1
2∪(2，＋∞)__． 解析：由题意得，f (log 18
x )>f ⎝⎛⎭⎫
13，因为f (x )为R 上的偶函数且在[0，＋∞)上单调递增可
得，log 18x >13或log 18
x <－13，解得0<x <1
2或x >2，故x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)．
1. 对数函数的底数与真数应满足的条件必须重视，对于含参数问题，一般都需分类讨
论．
2. 比较对数大小时，先与0比较分正负；正数与1比较，分大于1还是小于1.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应
用．
3. 你还有哪些体悟，写下来：。