2018年江苏省数学高考试题评析及教学启示

２０１８年江苏省数学高考试题评析及教学启示∗
Ә黄㊀健㊀㊀(常熟市教育局教学研究室ꎬ江苏常熟㊀２１５５００)
㊀㊀摘㊀要:文章对２０１８年江苏省数学高考试题进行详细深入的分析ꎬ认为试题有四大亮点:低起点㊁高观点ꎬ轻表面㊁重本质ꎬ淡热点㊁强思维ꎬ明趋势㊁求创新ꎻ也有两大问题:重要知识点的考查不均衡ꎬ部分试题打磨得不够精细.同时阐述了自己的教学理念:重视课本的导学作用ꎬ重视数学知识体系ꎬ重视多视角下的一题多解.
关键词:江苏高考ꎻ分析评价ꎻ思考启示
中图分类号:Ｏ１２３.１㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀文章编号:１００３－６４０７(２０１８)０８￣００３５￣０４
１㊀总体评价
２０１８年江苏省数学高考试题遵循了国家教育部制订的«普通高中数学课程标准(２０１７年版)»和«２０１８年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)说明»(以下简称«考试说明»)ꎬ继续秉承 原创为主ꎬ改编为辅 的命题理念ꎬ延续了 注重基础ꎬ贴近课本ꎬ多题把关 的命题风格ꎬ原创题能围绕考生熟悉的情境来设置ꎬ改编题多来源于教材及通用复习资料.在保证检测 四基 (基础知识㊁基本技能㊁基本思想㊁基本活动)的前提下ꎬ突出考查了 四能 (发现问题的能力㊁提出问题的能力㊁分析问题的能力㊁解决问题的能力)ꎬ体现了 能力立意 的命题原则ꎬ诠释了数学课程的目标.
本着 平稳中有变化ꎬ平和里有创新 的原则ꎬ命题组对试卷的结构和难度把握得非常到位.试卷结构平稳有度ꎬ知识点的考查顺序和模拟卷基本一致ꎬ题目由易到难的过渡比较自然ꎬ基础题和中档题所占比例较大ꎬ使学生能拿到大部分分数ꎬ中高档题注重对问题本质和思想方法及运算能力的考查ꎬ区分度恰当.试题呈现方式常规ꎬ问题情境贴近实际ꎬ符合学生的认知水平ꎬ尊重教师的教学习惯ꎬ没有出现像２０１７年的部分题目存在 情境怪 知识点擦边 语言晦涩 等现象ꎬ更有利于学生渐入状态ꎬ稳定发挥ꎬ有利于正确选拔出不同层次的人才.从考后的反响看ꎬ社会各界反应平稳ꎬ圈内专家对试题赞赏有加ꎬ无疑是成功的.
从内容上看ꎬ试题涉及的知识点宽泛ꎬ重难点突出ꎬ层次分明ꎬ难度呈阶梯式上升ꎬ配图清晰明了ꎬ易于上手.对«考试说明»中的８个Ｃ级考点进行了全面反复的考查ꎬ也基本覆盖了Ｂ级考点和兼顾了Ａ级考点ꎬ体现了力求全面㊁突出核心的特点.对主干内容如函数㊁数列㊁解析几何㊁三角等都作了重点考查ꎬ这与日常教学十分吻合ꎬ体现了课程㊁教学㊁评价的一致性.
填空题第１~１０题和解答题第１５ꎬ１６题是基础题.对基础题的考查延续了前几年紧扣教材㊁考查单一知识点的习惯ꎬ以课本概念和习题为命题切入点ꎬ考查数学的基本概念㊁定理和公式.几乎所有的基础题都能从教材中找到相近或类似的问题ꎬ不管是问题模型还是计算过程ꎬ都充分顾及了考生的心理ꎬ立足平稳ꎬ未设障碍.
填空题第１１~１３题和解答题第１７ꎬ１８题是中档题.考点集中在Ｂ级㊁Ｃ级知识点上ꎬ如 解三角形 基本不等式 直线与圆 函数的性质 平面向量的数量积 ꎬ注重对数学思想的考查ꎬ强调多种知识的融合ꎬ解题思路灵活ꎬ方法丰富.从各个角度都能体会问题的深意ꎬ从不同的解题方法上能凸显能力的差异.此外ꎬ试题依然对运算提出了较高的要求ꎬ贴合了核心素养的理念ꎬ使优秀学生能脱颖而出.
填空题第１４题和解答题第１９ꎬ２０题是高档题.考点集中在 导数 数列 等传统难点上ꎬ突出考查问题的本质ꎬ对数学抽象及逻辑推理能力有很高的要求.题目设置上充分尊重学生的答题习惯ꎬ大题均采用分层设问的方式ꎬ起点适当ꎬ层层递进ꎬ螺旋上升ꎬ让不同层次的考生均有所收获ꎬ既增强
∗收文日期:２０１８￣０６￣１２ꎻ修订日期:２０１８￣０７￣０５
作者简介:黄㊀健(１９７９－)ꎬ男ꎬ江苏常熟人ꎬ中学高级教师.研究方向:数学教育.
了学生的解题信心ꎬ又有效地区分了学生的思维水平和数学应用能力ꎬ符合新课程的理念.
２㊀特点与亮点
２.１㊀低起点ꎬ高观点
试题做到了立足教材㊁严格遵守«考试说明».许多试题的命制都立足于较高的数学思想和观点ꎬ同时考虑到学生的心理ꎬ特意将试题的起点放低ꎬ严控难度ꎬ呈现方式尽可能给学生以亲切感ꎬ使学生能顺利解决.
比如第２题考查复数的实部ꎬ从高观点下看ꎬ条件中的复数相乘本质上是旋转ꎬ了解本质的学生可以不通过计算仅凭观察就得出答案ꎻ第１８题解析几何题ꎬ学生若了解圆的切线㊁椭圆的切线㊁包络线等内容ꎬ可轻而易举地解决ꎻ第１９题点 Ｓ 的本质是两曲线与它们的公切线的切点重合时的横坐标ꎬ有着很深的背景和很高的思维要求.首先ꎬ指对数函数如ｙ＝ｅｘ和ｙ＝ｌｎｘ的公切线问题如何等价转化是一大难点ꎻ其次ꎬ当切点不重合时ꎬ往往会出现 隐性零点 .鉴于此ꎬ命题组对条件作了约束ꎬ使切点重合后就显得容易多了.另外ꎬ试题严格控制了 最值 范围 问题的数量ꎬ有意降低了解题的门槛ꎬ如第１８题解析几何第２)小题的第②问ꎬ给定三角形的面积求直线方程ꎬ回避了求面积取值范围的问题.
２.２㊀轻表面ꎬ重本质
和２０１７年不同ꎬ２０１８年许多试题的呈现形式给人一种似曾相识的感觉ꎬ好多问题都是对现有题目进行了适当的改编.虽然试题表面上比较熟悉ꎬ但这并不表示学生仅凭模仿㊁记忆就能顺利地解答.江苏省苏州市教科院的吴锷老师曾经说过: 很多试题都是通过对现有问题进行加工㊁重组而得的ꎬ问题载体的形式并不重要ꎬ重要的是问题中体现出的数学思维和创新能力 .本试卷正是体现了这种 轻表面㊁重本质 的理念ꎬ让学生从熟悉的情境出发ꎬ考查其思考㊁运算和综合化归能力ꎬ使选拔更加真实㊁有效.
比如第１３题: 在әＡＢＣ中ꎬ角ＡꎬＢꎬＣ所对的边分别为ａꎬｂꎬｃꎬøＡＢＣ＝１２０ʎꎬøＡＢＣ的平分线交ＡＣ于点Ｄꎬ且ＢＤ＝１ꎬ则４ａ＋ｃ的最小值为. 此题应是参考江苏省南京㊁盐城市２０１７届高三年级一模考试第１４题: 在әＡＢＣ中ꎬＡꎬＢꎬＣ所对的边分别为ａꎬｂꎬｃꎬ若ａ２＋ｂ２＋２ｃ２＝８ꎬ则әＡＢＣ面积的最大值为. 它将解三角形和基本不等式融合在一起ꎬ解题思路有 转化到角 转化到边 转化到两三角形的面积问题 转化成点的轨迹问题 等ꎬ不管是哪一种思路ꎬ本质都是通过 消元 化归到最值问题.学生如果能类比联想ꎬ就能很快找到思路ꎬ甚至可以想到终极大法:建系.另外从图形特征上看ꎬ本题和一个等面积法的经典问题相似度很高ꎬ可用等面积法快速解决问题.试题如下: 如图１ꎬ在Ｃ城周边已有两条公路ｌ１ꎬｌ２在点Ｏ处交会ꎬ且它们的夹角为７５ʎ.
已知
图１
ＯＣ＝(２＋６)ｋｍꎬＯＣ与公路
ｌ１的夹角为４５ʎꎬ现规划在公路
ｌ１ꎬｌ２上分别选择ＡꎬＢ两处为
交会点(异于点Ｏ)ꎬ并直接修
建一条公路通过Ｃ城ꎬ设ＯＡ＝
ｘｋｍꎬＯＢ＝ｙｋｍꎬ试确定点Ａꎬ
Ｂ的位置ꎬ使әＯＡＢ的面积最
小 .
２.３㊀淡热点ꎬ强思维
相比较前几年ꎬ命题组更注重对数学方法和数学思维的考查ꎬ不少试题都改编自课本ꎬ尤其是具有较强探索意义的开放性问题倍受命题组关注.相反ꎬ对许多被教师广泛关注的热点问题模型ꎬ则有意淡化或回避ꎬ如近几年炒得火热的隐形圆㊁极化恒等式㊁极值偏移点㊁圆锥曲线中的定点定值等.这样的命题方向无疑是正确的ꎬ它能更好地为优秀学生提供发挥的空间ꎬ也体现了公平公正的选拔原则.
比如第１２题: 在平面直角坐标系ｘＯｙ中ꎬＡ为直线ｌ:ｙ＝２ｘ上在第一象限内的点ꎬＢ(５ꎬ０)ꎬ以ＡＢ为直径的☉Ｃ与直线ｌ交于另一点Ｄ.若ＡＢң ＣＤң＝０ꎬ则点Ａ的横坐标为. 此题考查直线方程和圆方程的概念和运算.虽然通过条件按部就班地 死算 就能求出答案ꎬ但导致的结果是费时且容易出错.对几何图形性质掌握得比较到位的考生可以发现øＢＡＤ＝４５ʎꎬｋＡＢ＝ｔａｎ(θ＋４５ʎ)＝２＋１
１－２＝－３(其中θ为ｌ的倾斜角)ꎬ从而ＡＢ的方程为:ｙ＝－３(ｘ－５)ꎬ再联立直线ｌ的方程可快速得出点Ａ的横坐标为３.
再如第１４题: 已知集合Ａ＝{ｘ｜ｘ＝２ｎ－１ꎬｎɪＮ∗}ꎬＢ＝{ｘ｜ｘ＝２ｎꎬｎɪＮ∗}.将ＡɣＢ的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{ａｎ}.记Ｓｎ为数列{ａｎ}的前ｎ项和ꎬ则使得Ｓｎ>１２ａｎ＋１成立的
ｎ的最小值为. 此题呈现问题的载体都是
学生熟悉的ꎬ但学生在处理时却能深刻感受问题的深意ꎬ因为无现成模型或规律可寻ꎬ所以要深入思考并体会数列的特征才能找到解题的方向.
这两个例子突出反映了试题对数学运算㊁逻辑推理的较高要求ꎬ能较好地观察出学生对数学问题的感悟能力及在数学应用上的综合能力ꎬ正确区分优秀生和后进生.
２.４㊀明趋势ꎬ求创新除了对课本题进行改编外ꎬ本次考试还有不少
题目改编自外省的模拟题或数学联赛试题ꎬ可以看出命题组在坚持平稳的方针下也追求适度地创新.种种迹象表明ꎬ竞赛题改编成高考压轴题或是将来命题的一大方向ꎬ命题的趋势正向着多角度㊁多元化的方向发展.
比如:第１８题是改编自２０１５年江苏省数学竞赛初赛试卷上的解析几何题ꎬ首次考查椭圆的切线问题ꎬ改变了以往求交点㊁面积范围㊁定点定值等问题的常规套路ꎬ有一定的创新ꎬ综合考查了学生分析和解决问题的能力ꎬ对运算求解能力要求较高ꎬ具有良好的区分度.从教学实际来看ꎬ虽然直线与椭圆相切的问题有着很深的几何背景和意义ꎬ但由于种种原因一直被师生忽视ꎬ不断被边缘化ꎬ这次在高考中出现ꎬ势必会激发各界对此类问题的研究和探源.事实上ꎬ在前不久的江苏省苏州市期末试卷命题过程中ꎬ曾经编出过一道类似的问题ꎬ但没有采用.现将试题呈现如下ꎬ仅供参考
.
图２
如图２ꎬ已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２
ｂ２
＝１(其中ａ>ｂ>０)的右焦点为Ｆ(２ꎬ０)ꎬ右准线为ｌ:ｘ＝３.设Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)是椭圆Ｃ上异于长轴端点
的一个动点ꎬ过点Ｐ的直
线ｍ与椭圆有且只有一个公共点ꎬ且与直线ｌ相交于点Ｑ.
１)求直线ｍ的方程ꎻ２)求证:ＰＦʅＱＦ.
另外如第１９题第３)小题: 对任意ａ>０ꎬ判断
是否存在ｂ>０ꎬ使函数ｆ(ｘ)与ｇ(ｘ)在区间(０ꎬ＋ɕ)内存在 Ｓ点 ꎬ并说明理由. 这样的设问方
式在竞赛中能觅得踪影ꎬ值得研究.
３㊀不足与改进
㊀㊀１)重要知识点的考查不均衡.
本次考试在Ｃ级知识点考查的分布上ꎬ还不是很均衡.比如:平面向量在考纲中明确要重点考和反复考ꎬ然而试卷中仅仅第１２题中以载体的形式出现了一次数量积ꎬ没有考出向量的核心概念及作用ꎬ缺乏向量题该有的 味 .笔者认为ꎬ命题组还是应当继承传统ꎬ在向量核心知识点和方法上多做文章ꎬ考查学生对向量的几何认识和利用向量工具解决其他问题的能力ꎬ这样才能体现出向量工具的真正价值.如２０１６年的 数量积运算 和２０１７年的 平面向量基本定理 ꎬ都体现了重视 四基 和发展 四能 的理念.
㊀㊀２)部分试题打磨得不够精细.
大部分试题都符合课程理念ꎬ具有较好的选拔功能ꎬ但也有极个别的题目ꎬ似乎打磨得不够精细ꎬ稍稍影响了学生的解题效率.
比如第１１题: 若函数ｆ(ｘ)＝２ｘ３－ａｘ２＋１(其中ａɪＲ)在(０ꎬ＋ɕ)内有且只有一个零点ꎬ则ｆ(ｘ)在[－１ꎬ１]上的最大值与最小值的和为
. 本题形式上有误导的嫌疑ꎬ因为看见求
ｆ(ｘ)的最大值与最小值之和ꎬ数学素养好的学生会想到去研究三次函数的对称中心ꎬ却徒劳无功ꎬ而稍差的学生反而不去多想ꎬ老实算出最大值和最小值后得出结果.如果因为好学生的奇思妙想导致比差学生花的时间更长ꎬ这显然有悖于命题的初衷.笔者认为可将表达式进行修改ꎬ比如只求最大值ꎬ或者将表达式修改为 ｆ(ｘ)＝２ｘ３－ａｘ＋１ ꎬ让学生能从对称㊁平移的角度来处理问题.４㊀思考与启示
２０１７年江苏省数学高考的社会反响较大ꎬ而２０１８年则比较平稳ꎬ最大的原因在于学生对题目情境比较熟悉.为什么学生 不怕难题ꎬ而怕新
题 ?原因在于学生对问题背景的不熟悉和本质的不理解.这里面有课程设置的原因ꎬ也有八股式考试带来的弊端ꎬ在这样的指挥棒下ꎬ每道题目的题型和难度被人为控制ꎬ部分本应是重点的知识点被边缘化ꎬ学生对章节的了解是碎片式的ꎬ知识的记忆浮于表面ꎬ不懂本质的现象比比皆是.因此只要稍稍改变试题的面孔ꎬ就会 吓 死一大片.但目前制约命题的因素有很多ꎬ试卷的结构不是说改就能改的.既然不能改变高考ꎬ那就尝试改变我们的日常教学ꎬ在此提３点建议.㊀㊀
(下转第３８页)
２０１８年全国数学高考卷Ⅰ文科第２１题探究∗
Ә张㊀涛㊀吴㊀跃㊀㊀(宿城第一中学ꎬ安徽宿州㊀２３４０００)
㊀㊀摘㊀要:文章以２０１８年全国数学高考卷Ⅰ文科第２１题为例ꎬ探究５种解法ꎬ同时追本溯源揭示其本质.通过重视教材抓 四基 ㊁高于教材抓 四能 ㊁关注素养抓 创新 这３个方面谈谈对高三复习的思考及感悟.
关键词:高考ꎻ探究ꎻ导数ꎻ高三复习
中图分类号:Ｏ１２２.１㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀文章编号:１００３－６４０７(２０１８)０８￣００３８￣０４
１㊀试题展现
例１㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ａｅｘ－ｌｎｘ－１.１)设ｘ＝２是ｆ(ｘ)的极值点ꎬ求ａꎬ并求ｆ(ｘ)的单调区间ꎻ
２)证明:当ａȡ１ｅ时ꎬｆ(ｘ)ȡ０.
(２０１８年全国数学高考卷Ⅰ文科试题第２１题)点评㊀本题是２０１８年全国数学高考卷Ⅰ文科试题的压轴题.试题的命制严格遵循«普通高中数学课程标准(２０１７年版)»«２０１８年普通高等学校招生全国统一考试大纲»«２０１８年普通高等学校招生全国统一考试说明»(以下分别简称«课程标准»«考试大纲»«考试说明»)的要求ꎬ体现了素养导向ꎬ展现了数学的科学价值和人文价值ꎬ同时兼顾试题的基础性㊁综合性和应用性.第１)小题考查导数极值的判断㊁单调区间的求法ꎬ注重基础ꎬ学生容易得分ꎻ第２)小题注重对学生能力的考查ꎬ以不等式证明为载体ꎬ考查学生灵活运用导数知识分析问题㊁解决问题的能力ꎬ有一定的广度和深度ꎬ入口较宽ꎬ解法多样ꎬ有利于对学生进行多层次㊁多角度的考查ꎬ作为压轴题起到了把关作用.
２㊀解法探究
㊀㊀１)解㊀因为ｆᶄ(ｘ)＝ａｅｘ－１ｘꎬ又ｘ＝２是ｆ(ｘ)的极值点ꎬ所以ｆᶄ(２)＝ａｅ２－１２＝０ꎬ解得ａ＝１２ｅ２.当ａ＝１２ｅ２时ꎬ
(上接第３７页)
１)重视课本的导学作用ꎬ提升学生的核心素养.
高三复习要立足于课本ꎬ而不是立足于复习资料.要重视教材的导学作用ꎬ注重 通性 通法 的指导和研究ꎬ重视数学思想方法的渗透和提炼ꎬ让学生充分了解题目的特征ꎬ形成处理问题的方法模型.要引导学生通过反思㊁总结㊁引申和提炼来深化对知识的感悟ꎬ避免以 刷题 死记硬背 等来应付学习.
㊀㊀２)重视数学知识体系ꎬ防止教学中心偏移.
高三复习要兼具全面性和系统性ꎬ一方面要研究教材ꎬ注意知识点的遗漏ꎬ另一方面也要研究历年高考中的常见考点ꎬ来构建完整的知识结构体系.这些体系的构建ꎬ能让学生明白常考问题的类型ꎬ消除恐惧心理ꎬ也能提高教学的针对性ꎬ增强有效性.
３)重视多视角下的一题多解ꎬ引导学生掌握本质.
教师上课应注重启发与诱导ꎬ试题的讲评不能只看标准答案ꎬ要重视从多个视角看待问题:如第１３题ꎬ可以从图形作图㊁建系㊁解三角形㊁向量等多角度去分析ꎬ把 讲题目 变成 讲知识 ꎬ做到举一反三㊁触类旁通.同时ꎬ要注意把学生的主动权还给学生ꎬ学生能讲的教师不讲ꎬ学生能想的教师不替学生想ꎬ让学生动起来ꎬ营造充满活力的课堂ꎬ真正发挥学生的主体作用ꎬ提高学生的思维能力ꎬ做到 教有特色ꎬ教有文化ꎬ教有效率 .
∗收文日期:２０１８￣０６￣０９ꎻ修订日期:２０１８￣０７￣０１
作者简介:张㊀涛(１９６４－)ꎬ男ꎬ安徽宿州人ꎬ中学高级教师.研究方向:数学教育.。