函数凹凸性的性质判定及应用

函数凹凸性的判定性质及应用
曹阳数学计算机科学学院
摘要：函数的凹凸性在数学研究中具有重要的意义。

本文从凸函数的多种定义入手，引出凹凸函数的性质，介绍了凹凸函数的性质及
判定定理。

在此基础上，将一元函数的凹凸性进行推广，推广到二
元函数上，讨论了二元函数凹凸性的性质，判定方法及其应用。

一
元到二元，即增加了一个变量，那么对于ｎ元的情况是否有相似的
函数存在呢？本文层层深入，将二元函数进行再次推广，至ｎ元的
情形，给出ｎ元凹凸函数的定义，判定方法及性质。

本文主要讨论
了一元，二元，多元凹凸函数的定义，性质，及判定方法，并介绍
了它们应用。

关键词：凹凸性；一元函数；二元函数；多元函数；判别法；应用；
Convex function of Judge Properties and Applications Abstract: The function of convexity in mathematical research is of great significance. In this paper, the definition of convex function of a variety of start, leads to uneven nature of the function, describes the properties of convex functions and decision theorem. On this basis, the concave and convex functions of one variable to promote, promote to the binary function, discusses the uneven nature of the nature of the binary function, determine the method and its application. One to a binary, an increase of a variable, then for n-whether it is a similar function exist? This layers of depth, the binary function to
re-promote, to the case of n-given definition of n-convex function, determine the methods and properties. This article focuses on one element, binary, multiple convex function definition, nature, and judging methods, and describes their application.
Keywords: Convexity; One Function; Binary function; Multiple functions; Criterion; Applications;
1.引言
凸函数是数学中一类极其重要的函数，它在最优化，运筹与控制理论，模具设计等方面具有重要的理论和实践意义。

凸函数在大学数学中很少具有直接的运用，而导数在函数图像的凹凸性研究是大学数学中一个重要的知识点，这说明凸性在大学数学，特别是数学分析中的应用没有得到应有的正视，长期以来，凸函数被热为只在一些具体学科，如机器人学，模具设计或一些数学分支（如全局优化，运筹学等）中具有重要的运用，而在大学数学中没有应用。

本文将重点探讨凸函数在分析学中的一些简单应用。

在本文中，我们首先给出凸函数的多种定义，性质，然后探讨二元与多元的情况下凸函数的定义，判定及性质。

2. 一元函数凹凸性的判定
2.1 凸函数的多种定义及等价证明 下面先先给出凸函数的13种常见定义。

假设I ∈R ，f:I →R.
定义1： f 在I 内连续ｆ（１２ｘ＋ｘ２）≤１２ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）２
,则称f 为凸函数。

定义1：若32211232132
()()
()() f x f x f x f x x x x x x x x --∀∈≤--，，Ｉ，则称f 为凸函数
定义1：
123123x x x x x x ⎛⎫ ⎪
∀∈ ⎪ ⎪
⎝⎭１１２２３
３ｘ１ｆ（ｘ），，Ｉ，＜＜，ｘ１ｆ（ｘ）ｘ１ｆ（ｘ）的行列式≤0，则称f 为凸函数
定义1：
12x x ∀∈∀∈≤１２１２，Ｉ，ｔ（0，1），
ｆ（t ｘ＋（1-t ）ｘ）t ｆ（x ）＋（1-t ）ｆ（ｘ），则称f 为凸函数
定义1:1
1
1
n n n
===∀≤∑∑∑ｋｋｋｋｋｋｋｋｋｔ，ｔ＝１，有ｆ（ｔｘ）ｔｆ（ｘ），则称f(x)为凸函数
1：
12x x ∀∈∃≤∀≤＇＇＇＇－＋－＋＇＇＋１－２
（1.）ｘＩ　，ｆ（ｘ），ｆ（ｘ）且ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）(2），，ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）
则称f(x)为凸函数
1：若ｆ在Ｉ内存在单增函数
ψ,∃０ｘ∈I, ∀x ∈I,有ｆ（ｘ）－ｆ（０ｘ）
＝d ψ⎰０
ｘ
ｘ（ｔ）ｔ，则称f 为凸函数。

1：
设f 在I 上连续，12x x ∀∈，Ｉ，且12x x ＜有
1212+x ()()122x f x f x d +≤≤⎰２
１ｘｘ２１
ｆ（
）ｆ（ｔ）ｔｘ－ｘ，则称f 为凸函数。

1：若１ｘ
，．．．，x ｎ
∈Ｉ，ｆ（１２ｎｘ＋ｘ＋．．．＋ｘｎ
）≤
１２ｎ
ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）＋．．．．＋ｆ（ｘ）ｎ
（ｎ∈Ｎ），则称f 为凸函数。

1：若ｆ在Ｉ内可导，∀ｘ，ｙ∈Ｉ，
有ｆ（ｘ）≥＇
ｆ（ｙ）（ｘ－ｙ）＋ｆ（ｙ），则称f 为凸函数。

1：若ｆ在Ｉ可导，且＇ｆ
（ｘ）单调递增，则称f 为凸函数。

1：ｆ在Ｉ内二次可导，＇＇
ｆ（ｘ）
≥０，则称f 为凸函数。

1：ｆ在区间Ｉ上凸函数的充要条件是：函数ψλλλ１
２
（）＝ｆ（ｘ＋（１－）ｘ）为[0,1]
上的凸函数，
下面给出几种定义间的相互证明。

定理1 若ｆ在区间Ｉ上可导，则定义７⇒定义１０
证明：因为ｆ在Ｉ内存在单增函数ψ，∃０
ｘ∈Ｉ，∀∈ｘＩ，有： ｆ（ｘ）－ｆ（０ｘ）＝dt ψ
⎰０ｘ
ｘ（ｔ） （１） 故对于∀ｙ∈Ｉ，不妨设ｙ＜ｘ，有：
ｆ（ｙ）－ｆ（０ｘ）＝dt ψ
⎰０
ｙ
ｘ（ｔ） （２） 将式（１）两边关于ｘ求导，得＇ｆ（ｘ）＝ψ（ｘ）
． （１）－（２），得：
ｆ（ｘ）－ｆ（ｙ）＝d ψ⎰０
ｘ
ｘ（ｔ）ｔ－d ψ⎰０
ｙ
ｘ（ｔ）ｔ＝d ψ⎰０
ｘ
ｘ（ｔ）ｔ＋d ψ
⎰０
ｘｙ（ｔ）ｔ＝d ψ⎰
ｘ
ｙ
（ｔ）ｔ＝（ｘ－ｙ）ψξ（）
；ｙ＜ξ＜ｘ （３） 因为ψ（ｔ）单调递增，且ｙ＜ξ，所以ψ（ｙ）≤ψ
ξ（），式（２）可化为： ｆ（ｘ）－ｆ（ｙ）＝（ｘ－ｙ）ψξ（）≥（ｘ－ｙ）ψ（ｙ）＝（ｘ－ｙ）＇ｆ（ｙ） 即ｆ（ｘ）≥＇ｆ（ｙ）（ｘ－ｙ）＋ｆ（ｙ）
定理1： 若ｆ在Ｉ上连续，则定义１３⇒定义８。

证明：因为ψλ（）＝λλ１２ｆ（ｘ＋（１－）ｘ）为[
]０，１上的凸函数，故： λλ１２ｆ（ｘ＋（１－）ｘ）＝ψλ（）＝ψ（λλ⋅⋅１＋（１－）０）≤λψλψ（１）＋（１－）（０）＝λλ１２ｆ（ｘ）＋（１－）ｆ（ｘ）
特别地，当λ＝
12时，有ｆ（１２ｘ＋ｘ２）≤１２ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）２
先证不等式的左边．
1x ∀２，ｘ∈I ，１２ｘ＜ｘ，由实数的性质知在Ｉ上可确定一个闭区间[]１２ｘ，ｘ，若ｔ
∈［１２１
ｘ＋ｘｘ，２］，则ｔ关于１２
ｘ＋ｘ２
的对称点是１２ｘ＋ｘ－ｔ，而ｆ在Ｉ上连续，所以积分存在，所以：
[]d ≥⎰
⎰
⎰１２
１２
２
１
１
２
ｘ＋ｘｘ＋ｘｘ１２２２１２
ｘｘｘ１２
２１
ｘ＋ｘ
ｆ（ｔ）ｔ＝ｆ（ｔ）＋ｆ（ｘ＋ｘ＋ｔ）ｄｔ２ｆ（）ｄｔ＝
２ｘ＋ｘ（ｘ－ｘ）ｆ（）２
即１２ｘ＋ｘｆ（）２≤⎰２１ｘｘ２１
１ｆ（ｔ）ｄｔｘ－ｘ 下证不等式的右边． 作变换ｕ＝
x ≤≤２２２１１２１２２１１２－t
（0ｕ１），则t ＝x －u （x －x ）＝ux ＋（1－u ）x ，dt ＝（x －x ）du ，x －x 当t ＝x 时，u ＝1；t ＝x 时，ｕ＝0
d ⎰
２
１
ｘｘｆ（ｔ）ｔ
＝[][]≤⎰⎰１
１
２１１２２１１２０
０
１２２１
（ｘ－ｘ）ｆｕｘ＋（１－ｕ）ｘｄｕ（ｘ－ｘ）ｕｆ（ｘ）＋（１－ｕ）ｆ（ｘ）ｄｕ＝ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）２即 ⎰２１ｘｘ２１
１ｆ（ｔ）ｄｔｘ－ｘ≤１２ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）２，故１２ｘ＋ｘｆ（）２≤⎰２１ｘｘ２１
１ｆ（ｔ）ｄｔｘ－ｘ≤１２ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）２ 定理2.1.31 若ｆ在Ｉ上二次可导，则定义８⇒定义１２。

证明 因∀
1
x ，2x ∈Ｉ１２ｘ＜ｘ，
１２ｘ＋ｘｆ（）２≤⎰２１ｘｘ２１
１ｆ（ｔ）ｄｔｘ－ｘ≤１２ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）２ 令x ≤１２１２
＋ｘｘ＝
，则ｘ＜ｘ＜ｘ，故ｆ（ｘ）２１２
ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）２
，即ｆ（ｘ）－ｆ（１ｘ）≤ｆ（ｘ２）－ｆ（１ｘ）
１２
ｘ－ｘ＝ｘ－ｘ＞０，所以x ≤１
２１２
ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｆ（）－ｆ（ｘ）ｘ－ｘｘ－ｘ；又因为ｆ在Ｉ上可导，则ｆ在Ｉ上连续，故由极限的性质可知
lim lim x x →→≤１２
１２
ｘ１２
ｘｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ），即ｘ－ｘｘ－ｘ≤＇＇＋１－２
ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）．因为ｆ具有二阶导数，所以＇＇＇＇
＋１１－２２
ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ），ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ），即∀1x ，2x ∈Ｉ，都有＇１ｆ（ｘ）≤＇
２ｆ（ｘ），设ｘ为Ｉ上任意固定点，则
0lim x x x
∆→∆≥∆＇＇
＇ｆ（ｘ＋）－ｆ（ｘ）０，所以ｆ（ｘ）０。

定理2.1.41 定义１１⇒定义2
证明 因为ｆ（ｘ）在Ｉ内可导，且＇
ｆ（ｘ）单调递增，∀∈１２３ｘ，ｘ，ｘI, 且
１２３ｘ＜ｘ＜ｘ。

可确定两个区间[]１２ｘ，ｘ，[]２３ｘ，ｘ⊂
Ｉ，曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在（2x ，ｆ（2x ））的切线方程为ｙ－ｆ（２ｘ）＝＇２ｆ（ｘ）（ｘ－２ｘ）故横坐标为ｘ的曲线的
纵坐标与切线纵坐标之差为：ｆ（ｘ）－ｙ＝ｆ（ｘ）－ｆ（２ｘ）－＇
２ｆ（ｘ）（ｘ－２ｘ）
而ｆ（ｘ）在Ｉ内可导，而[]２３ｘ，ｘ⊂Ｉ，故ｆ（ｘ）在[]２３ｘ，ｘ内连续，在（２３ｘ，ｘ）上可导，所以ｆ（ｘ）在[]２３ｘ，ｘ上满足拉格朗日中值定理，即ξ∃∈１（２３ｘ，ｘ）
，ｓ．ｔ．ｆ（ｘ３２）－ｆ（ｘ）＝
ξ＇
１３２ｆ（）（ｘ－ｘ）。

由式（３），当ｘ＝ｘ３时，有：ｆ（ｘ３）－ｙ＝ｆ（ｘ３）－ｆ（ｘ２）－＇２ｆ（ｘ）３２（ｘ－ｘ）＝ξ＇
１ｆ（）３２（ｘ－ｘ）－＇２ｆ（ｘ）３２（ｘ－ｘ）＝（ξ＇１ｆ（）－＇
２ｆ（ｘ））３２（ｘ－ｘ）≥０
同理ｆ（ｘ）在[]１２ｘ，ｘ上满足拉格朗日中值定理，即ξ∃∈２（１２ｘ，ｘ）
，ｓ．ｔ． ｆ（ｘ２１）－ｆ（ｘ）＝
ξ＇
２２１ｆ（）（ｘ－ｘ）。

由式（３），当ｘ＝ｘ１时，有：ｆ（ｘ１）
－ｙ＝ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）－＇２ｆ（ｘ）１２（ｘ－ｘ）＝ξ＇２ｆ（）１２（ｘ－ｘ）－＇２ｆ（ｘ）１２
（ｘ－ｘ）＝（ξ＇２ｆ（）－＇
２ｆ（ｘ））１２（ｘ－ｘ）≥０。

由式（４）得
x ３２
３２
ｆ（）－ｆ（ｘ）ｘ－ｘ≥＇２ｆ（ｘ），
由式（５）得x １２
１２ｆ（）－ｆ（ｘ）ｘ－ｘ≤＇２ｆ（ｘ），所以
x １２
１２
ｆ（）－ｆ（ｘ）ｘ－ｘ≤
x ３２３２ｆ（）－ｆ（ｘ）ｘ－ｘ 2.2 凹函数的多种定义及等价证明 凹函数的13种常见定义。

定义1： f 在I 内连续ｆ（１２ｘ＋ｘ２）≥１２
ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）２,则称f 为凹函数。

定义1：若32211232132
()()()()f x f x f x f x x x x x x x x --∀∈≥--，，Ｉ，则称f 为凹函数
定义1：
123123x x x x x x ⎛⎫ ⎪
∀∈ ⎪ ⎪
⎝⎭１１２２３
３ｘ１ｆ（ｘ），，Ｉ，＜＜，ｘ１ｆ（ｘ）ｘ１ｆ（ｘ）的行列式≥0，则称f 为凹函数
定义
1
12x x ∀∈∀∈≥１２１２
，Ｉ，ｔ（０，１），ｆ（ｔｘ＋（１－ｔ）ｘ）ｔｆ（ｘ）＋（１－ｔ）ｆ（ｘ）则称f 为凹函数
定义1 :1
1
1
n
n n
===∀≥∑
∑∑ｋ
ｋｋｋ
ｋ
ｋ
ｋｋｋｔ，ｔ＝１，有ｆ（
ｔｘ）
ｔｆ（ｘ），则称f 为凹函数 1：
12x x ∀∈∃≥∀≥＇＇＇＇＇＇
－＋－＋＋１－２
（１。

）ｘＩ　，ｆ（ｘ），ｆ（ｘ）且ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）（２。

），，ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）则称f 为凹函数
1：若ｆ在Ｉ内存在单减函数
ψ,∃０ｘ∈I, ∀x ∈I,有ｆ（ｘ）－ｆ（０ｘ）
＝d ψ⎰０
ｘ
ｘ（ｔ）ｔ，则称f 为凹函数。

1：
设f 在I 上连续，
12121212+x ()()122x f x f x x x x x d +∀∈≥≥⎰２
１
ｘｘ２１
，Ｉ，且＜有，ｆ（
）ｆ（ｔ）ｔｘ－ｘ则称f
为凹函数
1：若１
ｘ
，．．．，x ｎ∈Ｉ，ｆ（１２ｎ
ｘ＋ｘ＋．．．＋ｘｎ
）
≥
１２ｎ
ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）＋．．．．＋ｆ（ｘ）ｎ
（ｎ∈Ｎ），则称f 为凹函数。

1：若ｆ在Ｉ内可导，∀ｘ，ｙ∈Ｉ，有ｆ（ｘ）≤＇
ｆ
（ｙ）（ｘ－ｙ）＋ｆ（ｙ），则称f 为凹函数。

1：若ｆ在Ｉ可导，且＇
ｆ
（ｘ）单调递减，则称f 为凹函数。

1：ｆ在Ｉ内二次可导，＇＇
ｆ（ｘ）
≤０，则称f 为凹函数。

1：ｆ在区间Ｉ上凹函数的充要条件是：函数。

ψλλλ１
２
（）＝ｆ（ｘ＋（１－）ｘ）为[0,1]
上的凹函数。

几种定义间的推到证明即可类比与凸函数的情况 2.3 关于凸凹函数性质的总结
上一段为凸（或凹）函数的十三种定义及部分定义间的相互证明，这一段在此基础上就凸（或凹）函数的性质方面作进一步思考。

根据上文所提到的定义，可知
性质2：当ｆ在Ｉ上一阶可导时，由ｆ在Ｉ单增（或减），
≥≤＇
０００ｆ（ｘ）（或）ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ）
证明：必要性：计算
ξ＇＇＇００００００ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）－ｆ（ｘ）＝ｆ（）（ｘ－ｘ）－ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）＝
ξ＇＇００（ｆ（）－ｆ（ｘ））（ｘ－ｘ） （ξ介于ｘ和０
ｘ之间）
由于ｆ在Ｉ单增（或减），可知上面两个因子同号，故有
≤ｆ（ｘ）（或≥＇
０００）ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ）
充分性：设∀∈０x ，x Ｉ，有≥f （x ）（或≤＇
０００）f
（x ）（x －x ）＋f （x ）。

当∈１２x ，x Ｉ，而１
２x ＜x 时就有≥１f （x ）（或≥１２２２x －x ）＋f （x ）及f （x ）（或≤＇２）f （x ）（≤＇
１２１１或）f （x ）（x －x ）＋f （x ）
两式相加即有１２ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）≥
（或≤＇＇
２１１２）［ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）］（ｘ－ｘ）．由１２ｘ＜ｘ　
可见≤≥＇＇
１２f （x ）（或）f （x ），即f 在I 上I 上单减（或单增） 性质2 设ｆ在Ｉ上可导，ｆ在Ｉ下凸（或上凹）⇔∀∈≥１，２
ｘｘＩ，ｆ（ｘ）（或≤＇１１１）f （x ）＋f （x ）（x －x ），由于１f （x ）＝f （x ）＋f ＇
１１（x ）（x －x ），是过
１１
（ｘ，ｆ（ｘ））的曲线的切线，由于上面不等式的几何意义是：下凸（上凹）曲线总在曲线上的任一点的切线之上（下）。

性质2.3.32：当ｆ在Ｉ上二阶可导时，则可得 当ｆ在Ｉ上二阶可导时，ｆ在Ｉ下凸
（或上凹）⇔∀∈≥≤＇＇
x I ，f （x ）（或）0 证明：必要性：ｆ在Ｉ上二阶可导，且下凸（或上凹）＇
ｆ（ｘ）在I 上单增（或单减）
⇒≥＇
）ｆ（ｘ）（或≤∀∈）0，x I
充分性：
∀∈１，２ｘｘＩ，有ξ＇
２１２１２１２１ｆ（ｘ）ｆ（）ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋（ｘ－ｘ）＋（ｘ－ｘ） （１！２！
或≤＇
１２１１
）ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ），据上面的证明中徳充分性，可知已做；额下面证明链的证明：≥２ｆ（ｘ）（或f 在I 上单增或单减）
⇒≤＇
１２１１）ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ）
性质2：若ｆ在Ｉ上可导，则下述两个断语等价： （１）
≥≤＇
２１２１１f （x ）（或）f （x ）（x －x ）＋f （x ）
（２）
22≤≥１２１
２x ＋x f （x ）＋f （x ）
f （）（或） 证明：（１）⇒
（２）∀∈１２ｘ，ｘＩ，令2１２３ｘ＋ｘｘ＝，则22
１２２１
１３２３
ｘ－ｘｘ－ｘｘ－ｘ＝，ｘ－ｘ＝
于是≥１ｆ（ｘ）（或
2222
≤＇＇１２１２１２１２
１３３
ｘ＋ｘｘ－ｘｘ＋ｘｘ＋ｘ）ｆ（）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ）＝ｆ（）＋ｆ（） 两式相加，即得≥１２ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）（或
2222
≤＇＇１２２１１２１２
２３３
ｘ＋ｘｘ－ｘｘ＋ｘｘ＋ｘ）ｆ（）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ）＝ｆ（）＋ｆ（）过点１１（ｘ，ｆ（ｘ））与２２
（ｘ，ｆ（ｘ））的弦为２１
２１
ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝ｘ－ｘ亦即22
≤２１
１１
２１
ｘ－ｘｆ（ｘ＋）－ｆ（ｘ）ｘ－ｘ（或≥１２１１２１２１２１
ｆ（ｘ＋（ｘ－ｘ））－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ））＝ｘ－ｘｘ－ｘ）当令上式中的
2
２１
２１２１ｘ－ｘｘ－ｘ＝（ｘ－ｘ是两点
１１２２（ｘ，ｆ（ｘ）），（ｘ，ｆ（ｘ））横坐标的差）令2２１
２１
ｘ－ｘｘ－ｘ＝当此时两点的横坐标缩小一半时），上式仍然成立22
≤２１
１１２
２１
２ｘ－ｘｆ（ｘ＋）－ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ或
≥１２１１２１２１２１
ｆ（ｘ＋（ｘ－ｘ））－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ））＝ｘ－ｘｘ－ｘ，用数学归纳法易证
∀∈ｎＮ，
有22
≤２１
１１ｎ
２１
ｎｘ－ｘｆ（ｘ＋）－ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ或≥１２１１２１２１２１
ｆ（ｘ＋（ｘ－ｘ））－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ））＝ｘ－ｘｘ－ｘ，此即≥２ｆ（ｘ）（或
≤＇
１１２１）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）
2.4 一元函数凹凸性判定定理及其应用
定理1： 设12a x x b <<<，
（1）若()f x 的图形在[,]a b 上是凸的，则
'121212()[()()]/()'();f x f x f x x x f x >-->
（2）若()f x 的图形在[,]a b 上是凹的，则
'121212()[()()]/()'();f x f x f x x x f x >-->
证 先证（1）：由于()f x 的图形在[,]a b 上是凸的，可知()f x 在[,]a b 连续，在(,)a b 内可导。

因为12a x x b <<<，在12[,]x x 上使用拉格朗日中值定理，至少存在一点12(,)(,)x x a b ξ∈⊂，使得'2121()[()()]/()f f x f x x x ξ=--。

有由于
()f x 的图形在[,]a b 上是凸的，有'''()0,()f x f x <在(,)a b 上单调递减，得到'''12()()()f x f f x ξ>>，从而有'121212()[()()]/()'();f x f x f x x x f x >-->
同理可证（2）
几何意义 如图所示，在弧AB 上任取两点1122(,()),(,()),M x f x N x f x ，其中
12a x x b <<<，若()f x 的图形在[,]a b 上是凸的（或凹的），则弦MN 的斜率2121[()()/()MN k f x f x x x =--小于（大于）过点N 的切线斜率'2()f x ，大于（小
于）过点M 的切线斜率'1()f x ，即弦MN 斜率的大小总是在过两端点的切线的斜率之间。

:
定理2.4.22 :设123a x x x b ≤<<≤
（1）若()f x 的图形在[,]a b 上是凸的，则
31212131
()()
()();f x f x f x f x x x x x -->--
（2）若()f x 的图形在[,]a b 上是凹的，则
31212131
()()
()();f x f x f x f x x x x x --<-- 证明 因为()f x 在[,]a b 连续，在(,)a b 内可导，故在12[,]x x 上使用拉格朗日中值定理，至少存在一点12(,)(,)x x a b ξ∈⊂，使得'2121()()()()f x f x f x x ξ-=-令
2121()[()()]/()g x f x f x x x =--则
''''
1112211()()[()()][()()]()()()()f x x x f x f x f x f x x g x x x x x ξ-----==--='1
()'()
,f x f x x ξ--其
中1.x x ξ<<（1）若()f x 的图形在[,]a b 上是凸的，则''()0f x <，'()f x 在[,]a b 上单调递减，于是''()()f x f ξ<，从而'()0g x <，即()g x 在1[,]x x 上单调递减。

取123x x x x b <<≤≤则有23()()g x g x >即
31212131()()
()();f x f x f x f x x x x x -->-- 同理可证凹函数。

几何意义 如图所示，在弧AB 上任取3点
112233(,()),(,()),(,())M x f x N x f x P x f x ，其中123a x x x b ≤≤<≤。

当()f x 的图形在[,]a b 上是凸的(凹的)时，弦MN 的斜率2121
()()
f x f x x x --大于(小于)弦MP 的斜
率3131
()()f x f x x x --
（1）函数凹凸性的直观解题法
以函数()
=在某区间I 上单调增加为例说明我们不难理解,随着自变量x
y f x
的稳定增加,当函数y的增量越来越大时,函数图形是凹的,当函数y 的增
量越来越小时,函数图形是凸的,当函数y的增量保持不变时,函数图像是直线. 对于减函数我们可以作类似的分析.
例题
例１如图，液体从一圆锥形漏斗流入正方体容器中，开始时漏斗盛满液体，经过50 秒漏完!已知正方体容器液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥中液面下落的距离,则H 与下落时间t(秒)的函数关系用图像表示只可能是以下哪一选项?
分析: 不难看出圆锥中液面下落的距离H 随着时间t 是单调增加的函数, 由于正方体中液面上升的速度是一个常量,所以自变量t 是稳定增加的,因此
液体从漏斗漏出的速度为一常量. 又由于圆锥的截面越向下越小,所以随着时间t的稳定增加,圆锥中液面下降的距离H 的变化将越来越快,H关于t 的函数图形应是凹的，故正确答案选(B)
例2：用凸函数方法证明younger不等式：βββ
∂≤∂∂
ｘｙｘ＋ｙ（ｘ，ｙ，，均
为正数β∂＋＝１）证明：令 ｆ（ｘ）＝lnx,则1＇＇
２
ｆ（ｘ）＝－＜０，ｆ（ｘ）ｘ
为凹函数。

从而
β
βββ∂∂≥∂∂ｆ（ｘ＋ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）＝ｌｎｘ＋ｌｎｙ＝ｌｎｘｙ或ββ∂∂≥ｌｎ（ｘ＋ｙ）ｌｎ（ｘ＋ｙ）由ｘｅ的单调增加性：
β
β∂∂≥ｌｎ（ｘ＋ｙ）
ｌｎ（ｘ＋ｙ）
ｅ
ｅ
即β
β∂≤∂ｘｙ
ｘ＋ｙ 我们可以推广至三元甚至n 元的情况
∂∂∂≤∂∂∂∂∂１２ｎ
１２ｎ１１２２ｎｎ１ｎ１
ｎｘｘ．．．．ｘｘ＋ｘ＋．．．．＋ｘ（ｘ，．．．，ｘ，，．．．，均为正数∂∂１ｎ＋．．．＋＝１）
证明:令ｆ（ｘ）＝lnx,则1＇＇
２
ｆ（ｘ）＝－＜０，ｆ（ｘ）ｘ
为凹函数。

从而∂∂∂∂∂∂≥∂∂∂∂∂１２ｎ
１１２２ｎｎ１１２２ｎｎ１１ｎｎ１２ｎ
ｆ（ｘ＋ｘ＋．．．．＋ｘ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）＋．．．．＋ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ＋．．．＋ｌｎｘ＝ｌｎｘｘ．．．．ｘ或∂∂∂∂∂∂≥１２ｎ
１１２２ｎｎ１２ｎl ｎ（ｘ＋ｘ＋．．．．＋ｘ）ｌｎ（ｘ＋ｘ＋．．．．＋ｘ）
从而
∂∂∂≤∂∂∂∂∂１２ｎ
１２ｎ１１２２ｎｎ１ｎ１
ｎｘｘ．．．．ｘｘ＋ｘ＋．．．．＋ｘ（ｘ，．．．，ｘ，，．．．，例3：证明：对任何正数ｘ，ｙ，当1∂>时，有1∂
∂∂≤∂∂－１－１ｘ
ｘｙ＋ｙ
证明：注意不等式系数之和1
∂∂∂
－１＋＝１，
且ｘ，ｙ及系数均为正数，可考虑用凸，凹函数证明。

设＇＇
２
１ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ，则ｆ（ｘ）＝－＜０ｘ
为凹函数，故11∂∂
∂∂∂∂≥∂∂∂∂－１－１－１ｘ－１ｘｆ（ｙ＋）ｆ（ｙ）＋ｆ（）
ｙｙ1∂∂∂∂∂
－１＝ｌｎｙ＋［ｌｎｘ－（－１）ｌｎｙ］
＝ｌｎｘ
由ｘ
ｅ的单调增加性知：1∂
∂∂∂∂≥－１－１ｘ
ｌｎ（ｙ＋）
ｌｎｘ
ｙ
ｅ
ｅ
即1∂
∂∂≥∂∂－１－１ｘ
ｙ＋ｘｙ
例4：ｆ（ｘ）为（ａ，ｂ）
内的凹函数，证明对任意的β∂⊂∃［，］（ａ，ｂ），Ｌβ∀∈
∂１２＞０，ｓ．ｔ．ｘ，ｘ［，］，有≤１２１２ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）Ｌｘ－ｘ
证明：由β∂⊂［，］（ａ，ｂ）知，存在ｈ＞０，使得h h β∂-+⊂[，]（ａ，ｂ）记{}{}Ｍ＝ｍａｘｆ（ｘ），ｍ＝ｍｉｎｆ（ｘ），于是对β∀∈∂１２ｘ，ｘ［，］,若１２ｘ＜ｘ，取３２
ｘ＝ｘ＋ｈ，由于f(x) 为凸函数，故
≤≤２１３２
２１３２
ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）Ｍ－ｍ，ｘ＋ｘｘ＋ｘｈ从而
≤２１２１Ｍ－ｍ
ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｘ－ｘｈ
若≠２１ｘｘ，可取３２ｘ＝ｘ－ｈ，由于f(x)为凸函数，有≤≤≤２３１２
２１１２
２３１２
ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）Ｍ－ｍＭ－ｍｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｘ－ｘｘ－ｘｘ－ｘｈｈ成立，若≤２１２１１２Ｍ－ｍ
ｘ＝ｘ，ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｘ－ｘｈ
亦成立，综上所述
β∀∈∂≤１２１２１２ｘ，ｘ［，］，有ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）Ｌｘ－ｘ
(2）应用凹凸性的常规定义证题
对函数凹凸性定义, 不同教材有不同的定义形式,下面给出其中一种定义形式:
设()f x 在区间I 上连续,如果对I 上任意两点12,x x 都有1212()()
()22
x x f x f x f ++<
那么称()f x 在I 上的图形是(向上)凹的(或凹弧);如果对I 上任意两点12,x x 都有1212()()
()22
x x f x f x f ++<,那么称f(x)在I 上
的图形是(向上)凸的(或凸弧).
一般地,看()f x .是区间I 上的凹函数,则有.111()()n
n
i i i i x f f x n n ==<∑∑其中i x 是I 内
的任意点(ｉ=1,2,…,n)若.f(x)是区间I 上的凸函数时,则不等号反向).定理设
()f x .在,[.]a b 上连续,在(,)a b 内具有一阶和二阶导数,如果在(,)
a b 内.''()0f x >(或''()0f x <). 那么()f x .在[.]a b 上的图形是凹的（或凸的）（证明全略）
（3） 数形结合解题
函数的凹凸性揭示了函数因变量随自变量变化而变化的快慢程度，如果结合函数其它性质，可使我们对函数图形的描绘更加精确。

例1：如图所示 半径为r=4的圆c 切直线AB 于0 点,线OT 从OB 出发绕O 点逆时针方向旋转
到OA!OT 交圆C 于P,记.PCO < 弓形PMO 的面积s=f(x),试判定()f x 在
[0,2]上的凹凸性。

解：由题意可得POC S S S ∆=-扇形PMOC ,
又因为
2211148,2222POC PMOC S r x x x S ∆==⨯⨯==⨯扇形21
sin cos sin 222
x x r r r x ⨯==
2
14sin 8sin ,[0,2]2
x x x π⨯⨯=∈ 所以，得''()88sin .f x x x =-当(0,)x π∈时，''()0;f x >当(,2)x ππ∈时，
''()0;f x <由函数凹凸性定理可知，()f x 在[0,]π上函数图形为凹，
在[0,2]π上函数图形为凸。

函数的凹凸性是函数图形的一个重要特征，了解函数的凹凸性能使函数图形的描绘更加精确化。

在解决函数变化率的过程中或求某些特殊不等式时，用函数凹凸性求解!会显得更为简捷。

3.二元函数凹凸性的判定及其应用
3.1 二元函数凹凸的定义
定义3:设(,)f x y 是定义在区域C 上的二元函数，且满足对任意
112212(,),(,);,0x y C x y C ρρ∈∈>，且121ρρ+=，有111222(,)(,)f x y f x y ρρ+≥
（或≤）11221122(,)f x x y y ρρρρ++我们称(,)f x y 在C 上为凹（或凸）函数。

为了研究方便，设定(,)f x y 非常数函数和一次函数。

从定义中看出，为上面定义中等号成立的充分条件而非必要条件。

3.2 二元函数凹凸性的判定定理
定理 3.2.13 设(),f x y 在区域D 上具有二阶连续偏导数，记
''(,),xx A f x y =''(,),xy B f x y =''
(,),xy C f x y = 则
（1）在D 上恒有A<0，且20AC B -≥时，(,)f x y 在区域D 上是凸函数； （2）在D 上恒有A>0, 且20AC B -≥时，(,)f x y 在区域D 上是凹函数。

如果A 仅在个别处为零，并不影响函数在该区域的凹凸性.但如果在区域D 上恒有A=0时，依据定理1无法判断(,)f x y 在区域D 上的凹凸性，定理2可解决这个问题。

定理 3.3.23 设(,)f x y 在区域D 上具有二阶连续偏导数，记
''(,),xx A f x y =''(,),xy B f x y =''(,),xy C f x y =在D 恒有A=0,20AC B -=时，则当
0C ≤时，(,)f x y 在区域D 上凸函数；
当0C ≥时，(,)f x y 在区域D 上是凹函数。

证明 任取11(,)x y ，
22(,),x y D ∈设120(1),tx t x x +-=120(1),ty t y y +-=(0,1).t ∈记1012,,x x x y y y -=∆-=∆则2020,,11
t t
x x x y y y t t -=∆-=∆--由二元函数的
泰勒公式可得
1,1221212112200()(1)(,)((1),(1))(,)(1)(,)(,)
tf x y t f x y f tx t x ty t y tf x y t f x y f x y +--+-+-=+--=2,200(()(,))t f x y f x y -=''''
20,000211{()(,)0.5[(,)()x y xx t f x y x f x y y f x ξη∆+∆+∆+
1100((,)(,))t f x y f x y -+
''''2'111100(12(,)(,)()]}(1){(,)
1
xy yy x t
f x y f y t f x y x t ξηξη-∆∆+∆+-∆-'00(,)1
y t
f x y y t +∆+-''2''''
22222220.5(
)[(,)()2(,)(,)()]}1
xx xy yy t f x f x y f y t ξηξηξη∆+∆∆+∆-
=
2''2
''''2
''
221111112210.5{(,)()2(,)(,)()[(,)())()]
2(1)
xx
xy
yy
xx t t f x f x y f y f x y t ξηξηξηξηη∆+∆∆+∆+∆+∆-
''''
222222(,)(,)()},xy yy f x y f y ξηξη+∆∆+∆其中：
101101011020220(),(),(),x x x y y y x x x ξθηθξθ=+-=+-=+-2022012()(,1),y y y o ηθθθ=+-<<显然 1122ξηξη∈∈（，）D,(,) D.
由A=0及
2
0AC B -=得 B=0，于是1,1221212()(1)(,)((1),(1))tf x y t f x y f tx t x ty t y +--+-+-=
2
''
2''
211220.5(,)()(,)()((0,1)).
2(1)yy yy t tf y f y t t ξηξη∆+
∆∈-
当0c ≤时，
1,1221212()(1)(,)((1),(1))0tf x y t f x y f tx t x ty t y +--+-+-≤，
即
12121122((1),(1))(,)(1)(,),(,)f tx t x ty t y tf x y t f x y f x y +-+-≥+-在区域D 上是
凸函数。

当0c ≥时，1,1221212()(1)(,)((1),(1))0tf x y t f x y f tx t x ty t y +--+-+-≥，
即
12121122((1),(1))(,)(1)(,),(,)f tx t x ty t y tf x y t f x y f x y +-+-≤+-在区域D 上是
凹函数。

例1 讨论２
ｆ（ｘ，ｙ）＝３ｘ＋ｙ的凹凸性
函数的定义域为''{(,):,},(,)3,(,)2x y x y x R y R f x y f x y y ∈∈==，于是
''''''(,)0,(,)0,(,)2,xx xy yy A f x y B f x y C f x y ======，于是2,0A O AC B =-=且0,c >
由定理可知(,)f x y 在其定义域上是凹函数
定理3设(,)f x y 在开区域内2个偏导数，(,),(,)x y f x y f x y ，都存在且连续
(,)f x y 在D 内是凸（凹）函数的充要条件是：对于任意1122(,),(,)x y x y D ∈，
有
''112222122212(,)(,)(,)()(,)()
x y f x y f x y f x y x x f x y y y ≤+-+-''112222122212(,)(,)(,)()(,)()x y f x y f x y f x y x x f x y y y ≥+-+-（or 证明 只证明凸函数的情形 充分性 任取
()012120,1,(1),(1)t x tx t x y ty t y ∈=+-=+-令
由已知可得
''110000100010(,)(,)(,)()(,)()
x y f x y f x y f x y x x f x y y y ≤+-+-， ''220000200020(,)(,)(,)()(,)()
x y f x y f x y f x y x x f x y y y ≤+-+-，
''1122000012000120(,)(1)(,)(,)(,)[(1)](,)[(1)],x y tf x y t f x y f x y f x y tx t x x f x y ty t y y +-≤++--++--
所以(,)f x y 在区域D 内是凸函数
必要性 由于(,)f x y 在区域D 内是凸函数，则对任何
()11220,1,(,),(,)t x y x y D ∈∈，都有
11221212(,)(1)(,)((1),(1)),
tf x y t f x y f tx t x ty t y +-≤+-+-
整理得
1122212212221
(,)(,)(((),())(,))
f x y f x y f x t x x y t y y f x y t -≤+-+--
''221222121
{(,)()(,)()x y f x y t x x f x y t y y o t
-+-+＝
''22122212(,)()(,)()x y f x y x x f x y y y -+-+
＝ 令0t +→，两边取极限得
''112222122212(,)(,)(,)()(,)(),x y f x y f x y f x y x x f x y y y -≤-+-即
''112212221222(,)(,)()(,)()(,)x y f x y f x y x x f x y y y f x y ≤-+-+ 同理可证凹函数的情形。

3.4 二元凹凸函数的应用（求最大值，最小值）
定理5 设是在开区域D 内具有连续偏导数的凸（或凹）函数，00(,)x y D ∈且''0000(,)0,(,)0,
x y f x y f x y ==
则00(,)f x y 必为(,)f x y 在D 内的最大值与最小值
证明： 只证明凸函数的情形。

因为ｆ（ｘ，ｙ）是在开区域D 内具有连续偏
导数的凸函数，由定理3可知，对于任给
∈（ｘ，ｙ）Ｄ,有''00000000(,)(,)(,)()(,)()x y f x y f x y f x y x x f x y y y ≤+-+-
'
'0000(,)0,(,)0,x
y
f x y f x y ==又
例1：求二元函数22(,)33222f x y x y x y =+--+的最大值或最小值。

解：函数的定义域为''{(,):,},(,)62,(,)62x y x y x R y R f x y x f x y y ∈∈=-=-，于是
''(,)0,(,)0x y f x y f x y ==，
得11
,33
x y ==，所以(,)f x y 在其定义域内最小值为114(,)333
f = 同理可证凹函数的情形。

例2 求二元函数22(,)33222f x y x y x y =+--+在定义域内的最大值或最小
值
解函数。

的定义域为''{(,):,},(,)62,(,)62x y x y x R y R f x y x f x y y ∈∈=-=-，于是
''''''(,)6,(,)0,(,)6xx xy yy A f x y B f x y C f x y ======则20,0A AC B >->所以
(,)f x y 在其定义域内是凹函数，令''(,)0,(,)0x y f x y f x y ==，得11
,33
x y ==，，所
以(,)f x y 在其定义域内最小值为114
(,)333
f =
4．多元函数凹凸性的判定
4.1多元函数凹凸性的几个定义
定义4.1.16 设D 是n 维空间的一个区域，若
'''
1212(,,...,),(,,...,)n n p x x x D p x x x D ∈∈∈＇ 则
（1）设''
xy f 总能分解成
''''''''''(,),(,)(,),xy xx yy xx yy f f g x y f h x y f g f h =≥≥≤-≤-则
f(x,y)在D 上是凹（凸）的；
（2）设（1）的条件成立并且关于'''',xx yy f f 的两个不等式中，'''111221((),(),...,()),
n n n Q x x x x x x x x x D θθθ+-+-+-∈
则称D 是凸函数，否则称D 为凹函数。

定义4.1.26
设()f p 是定义在凸函数D 上的函数，111121212222(,,...,),(,,...)n n p x x x p x x x 是D
上的任意两点，记12112221220(,,...,).222
n n x x x x x x
p +++=
（1）若恒有12012011
[()()]()([()()]()),22
f p f p f p f p f p f p +≥+≤且等号不恒成
立，则称f 在D 上是凹（或凸）的
（2）若12012011
[()()]()([()()]()),22
f p f p f p f p f p f p +>+<则称f 在D 上是严
格上的凹（或凸）的。

（3）若1201
[()()]()2
f p f p f p +=，则称在D 上是线性的，
则称f 在D 上是线性的。

这两种定义是等价的
在二元函数中，设D 是２维空间的一个区域，若''
1212
(,),(,)p x x D p x x D ∈∈∈＇ 则由定义一知（1）设''
xy f 总能分解成
''''''''''(,),(,)(,),xy xx yy xx yy f f g x y f h x y f g f h =≥≥≤-≤-则
ｆ（ｘ，ｙ）在D 上是凹（凸）的；
（２）设（1）的条件成立并且关于'''',xx yy
f f 的两个不等式中，''11122((),()),Q x x x x x x D θθ+-+-∈２则称D 是凸函数，否则称D 为凹函数。

由定义二知
设()f p 是定义在凸函数D 上的函数1111221222(,),(,)p x x p x x 是D 上的任意两点，
记112221220(,).22x x x x
p ++=
（1）若恒有12012011
[()()]()([()()]()),22
f p f p f p f p f p f p +≥+≤且等号不恒成
立，则称f 在D 上是凹（或凸）的
（2）若12012011
[()()]()([()()]()),22
f p f p f p f p f p f p +>+<则称f 在D 上是严
格上的凹（或凸）的。

（3若1201
[()()]()2
f p f p f p +=，则称f 在D 上是线性的。

例如三元函数(,,)f x y z =
4.2多元函数凹凸性的几个判定定理
定理4.2.18
设(,)f x y 是凸区域D 上具有二阶连续偏导数的二元函数，记
''''''
2(,),(,),(,),,xx xy yy A f x y B f x y C f x y B AC ===∆=-若0C ≤且不恒为0，
那么，当0A >或0C >，函数f 在D 上上凹，当A>0或C<0，函数f 在D 上上凸，若0∆<当0A >或0C >，函数f 在D 上是凹的， 当0A <或C<0，函数f 在D 上上凸。

证明:任取111222(,),(,),p x y p x y D ∈记1212
000(,)(
,),22x x y y p x y ++=由泰勒公式''1
10100100()()()()()()2x y M
f p f p x x f p y y f p =+-+-+''220200200()()()()()()2
x y M
f p f p x x f p y y f p =+-+-+
则当0,0A C ≠≠时
2''''
0002''0222000222000()(,)2()()(,)()(,)
{[()()]()()}{[()()]()()}(1,2)
i i xx i i i i xy i i i yy i i i i i i i i M x x f x x y y f y y f x x x A y y B y y B AC A
x x B y y C x x B AC i C
ξηξηη=-+--+--+-----+----=＝
＝''110100100()()()()()()2x y M f p f p x x f p y y f p =+-+-+
''2
20200200()()()()()()2x y M
f p f p x x f p y y f p =+-+-+
则
1
2
120()()2()2M M f p f p f p ++=+
当1200,00,()()2(),0,0,0i A f p f p f p A C ∆≤>≤+≥∆<>>，C>0,M 时，定理得证
利用泰勒公式，我们不难证明
定理4.2.29设(,)f x y 是凸函数D 上的具连续偏导数的二元函数不同时取，则有(,)f x y 在D 上是严格凹（凸）的。

若''''''
0,xx xy yy f f f ==≡，则(,)f x y 在D 上线性的。

定理一和定理显然不难推广到一般徳多元函数中去，这里不再叙述。

定理4.2.39 设ｆ是凸区域D 上的n 元函数，
1121211{(,,...,)}(,,...,),0,n
n n n i i i D x x x x x x D a x a +==∈+=∑ a 是任意常数}是D 中的
任意平面区域；（1）ｆ在D 上上凹（凸）的等价于ｆ在１Ｄ上上凹（凸）或线性，但非恒线性的；
（2）ｆ在D 上严格凹（凸）的等价于ｆ在１Ｄ上是严格上凹（凸）的； （3）ｆ在D 上是线性的等价于ｆ在D 上是线性的。

证明：（只证严格上凹的情形）设ｆ在D 内任何平面区域１Ｄ上均严格上凹，故有102()f p >２f(p )+f(ｐ)
因而ｆ在D 上严格上凹。

反之，若ｆ在D 上严格上凹，显然在任何１Ｄ上也是严格上凹。

在上面的基础上给出
定义 设n 元函数f 在n 元凸区域D 上不是平的, 不是凹的, 也不是凸的, 则称f 在D 上是凹凸不平的
定理4.2.110 设ｆ（ｘ，ｙ）是凸区域D 上的具有二阶连续偏导数的二元函
数，对(,)x y D ∀∈记''''''2(,),(,),(,),,xx xy yy A f x y B f x y C f x y B AC ===∆=-则、
（1）f 在D 上是平的A B C ⇔==;
(2) f 在D 上是凹的0,0,0A C ⇔∆≤≥≥(A,B,C 不全恒为0)； （3）f 在D 上是平的0,0,0A C ⇔∆≤≤≥(A,B,C 不全恒为0)；
（4）f 在D 上是凹凸不平的,P D ∃∈使()0,p ∆>或A （或C ）在D 上值是可正负的。

（注：若,,A C ∆在D 内没有零点或只有孤立点，则（2）、（3）就成了严格上凹凸的情况）
证明：只证（2）与（4）。

先证（2）
在D 内任取一条线段，不妨记其方程是0x x =或y kx b =+(k 是任意实数）易得
f 在D 上上凹⇔f 在线段0x x =上上凹或线性，且在线段y kx b =+上上凹或
线性但非恒线性⇔''
0(,)0yy f x y ≥，且
''''2''''''2()(,)(,)2(,)(,)20xx xx xy yy g x f x kx b k f x y kf x y f x y Ak BK C =+=++=++≥（等号不恒取)，(,)x x x y D ∈∈,且y kx b =+其中''0(,)0yy f x y ≥（对
0(,))0x y D C ∀∈⇔≥）
对于220Ak Bk C ++≥(k 任意，等号不恒取)，分别有
（1）0A =时，20BK C +≥有，对任意k 恒成立，则0,0B C =≥。

此时
''0,()0C g x ∆==≠
（2）0A >时，24440,B AC -=∆≤即0,0C ∆≤≥
由（1）与（2）知，''()0g x ≥（等号不恒取）0,0A ⇔∆≤≥且0C ≥（A,B,C 不全恒为0）综上可得，f 在D 上上凹0,0A ⇔∆≤≥且0C ≥（A,B,C 不全恒为0）
再证（4）由定理中的（1）、（2）、（3）
f 在D 上凹凸不平⇔f 在D 上不是平的，不是凹的也不是凸的⇔A ，B,C 不全
恒为0，且1,p D ∃∈使1()0p ∆>或2,p D ∃∈使2()0A p <，或3,p D ∃∈使
3()0C p <，同时，1Q D ∃∈,使1()0Q ∆>，或2Q D ∃∈使2()0A Q >或3Q D ∃∈,
使 3()0C Q > ,p D ⇔∃∈使()0p ∆>,或A （或C ）在D 上可正负。

小 结
函数的凹凸性是解决函数问题经常遇到的，一元，二元，至多元函数的凹凸函数的性质及判定在数学中具有重要的作用。

利用函数凹凸性的判定定理对解决函数问题具有很大的帮助。

在熟悉函数凹凸性的定义时更要掌握函数凹凸性的几个重要的判定定理。

参考文献
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学报,2003,9,19(3).
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院学报,2005(3).
致谢
本文在选题，修改及其完稿的整个过程中，都是在宋贤梅老师的细心指导下完成的，在写作的过程中，宋老师严格要求，同时又给予鼓励，引导我正确的写作思路，传授我适当的写作方法,在此对她表示忠心的感谢！。