弹性力学应力分析部分
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T T
px p x
x 1T 1 xy 2
T
xz 3 T
1 1
同理，可求得在以 y 和 z 轴为外法线方向的斜截面上的正 应力和切应力分别为 y 2 T 2 T (2-12) yx 1 2 yz 3 T 2
l1, m1, n1
xz X xl3 Yxm3 Z xn3 3T px
[ px ] [ ] [ 1]
x X xl1 Yx m1 Z xn1 1T px xy X xl2 Yx m2 Z x n2 2 xz X xl3 Yx m3 Z xn3 3
微分方程。
§1.2 弹性力学的研究方法
Study Method of the Elasticity Mechanics
解析法(Analytical Method )
数值法(Numerical Method) 实验法(Experimental Method )
解析法
弹性力学问题
偏微分方程 分离变量法 级数解法 偏微分方程的边值问题 常微分方程 复变函数法 积分变换法
和
z 3 T 3 zx zy
1 3 T 2 3
T
(2-13)
因此，在新坐标系 o x y z 中，表示M点的应力状态的应力张量表示为
结构（如 桁架、刚架等）。 研究各种形状的弹性体，如 杆件、平面体、空间体、板 壳、薄壁结构等问题。
弹性力学
Elasticity Mechanics
Difference 2
材料力学
基 Material Mechanics 本 假 结构力学 设 Structural Mechanics 区 别
弹性力学
(2-15)
式(2-15)是求主平面的方向余弦 l , m, n 的线性方程组。 而它们不能同时为零。
l 2 m2 n2 1
(2-16)
由齐次方程组(2-15)可见，如果要使 l , m, n 有非零解，则 系数行列式的系数必须等于零。令：
材料力学计算简单而结果往往是近似的，但不少情 况下精度可以满足工程要求的 [例2] 徐变截面杆的分析
Example 2: Analysis of the bar with creep
section
o
x x
?
x
P x
P
Difference 3
取分离体(isolated body)方面
Elasticity Mechanics
除了基本假设之外，为了简化 数学推导，还有附加假设，结 论有一定近似。如:平面截面 假设及横力弯曲情况下，梁横 截面上剪应力的分布假设。 与材料力学基本相同 常只作基本假设，在此基础上运 用数学理论通过演绎与推理求解 力学模型，其分析更为精确。
[例1] 满载均荷简支梁 Example 1:The Simply Supported Beam under Simply Supported Beam
M τxz τzx σz B
A
o
y
x
cos( N , x) l , cos( N , y) m , cos( N , z ) n
C
z
τxy τyx σy τyz
N
pz
σx py pN
px
M τxz τzx σz B
τzy
A
o
y
x
F
x
0：
px dA x S BMC yx S AMC zx S AMB 0
材料力学
一般截取部 分杆段研究 一般截取微 单元体研究
得到力的平衡方程
Equilibrium Equation
Material Mechanics
弹性力学
得到偏微分方程
Elasticity Mechanics
Partial Differential Equations
Difference 4
数学计算(Numerical Computation)方面
y’
Yx
M
X x x l1 xy m1 xz n1 Yx yx l1 y m1 yz n1
y
Z x zx l1 zx m1 z n1
[ px ] [ ] [ 1]
x
X x
x’
l1, m1, n1
y’
Z x l3 , m3 , n3 z
yx l y m yz n p y zx l zy m z n pz
应力的边界值与面力分量间的关系表达式，即物 体的应力边界条件
面力边界条件
x l xy m xz n px
yx l y m yz n p y zx l zy m z n pz
pi ij n j (在S 上）
x l xy m xz n px
面力分量与 物体内部应 力分量之间 的关系
从微分单元体入手，严格考虑静力学、几何
弹性力学
Elasticity Mechanics
学、物理学三个方面的条件，边界上严格考 虑受力和约束条件，三维数学问题，求解偏 微分方程边值问题。 也考虑上述条件，但不是十分严格。常采
材料力学
Material Mechanics
用近似的假设如平面截面假设来简化问题 ，基本上是一维数学问题，基本方程是常
q
M
I
y
z
x
y
Qs ; I zb
y
0
公式成立的条件
Ｌ＞５ｈ； Ｌ—梁的垮长；ｈ—梁高；
q
y
x
x
y
2
z
My
I
Z
y y 3 q (4 2 ) h h 5
QS I zb
弹性力学的结果可以检验材料力学结果是否合理。
q y 2y 2 y 2 (1 h )(1 h )
1 1 dydz ldA S AMB dxdy ndA 2 2
px dA ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x S BMC yx S AMC zx S AMB 0
px dA xldA yxmdA zx ndA 0
px xl yxm zx n
第2章 应力分析 (Stress Analysis)
参考教材
《弹性力学》（第4版），徐芝纶主编，高等
教育出版社，2006 《弹性理论》（第3版），S.P.Timoshenko J.N. Goodier 主编，清华大学出版社，2007 《弹性力学》，徐秉业、王建学编著，清华 大学出版社，2007 《弹性力学与有限单元法》，蒋玉川、张建 海、李章政编著，科学出版社，2006
S AMC
z
1 dzdx mdA 2 C
τxy
S BMC
N
pz
σx pN
1 dydz ldA 2
dz
τyx σy
dA
τyz
py
px M τxz τzx σz
dy
dx
A
o
τzy
B
y
S AMB
1 dxdy ndA 2
x
S AMC
1 dzdx mdA 2
S BMC
S.P.Timoshenko Beams on elastic
foundation Timoshenko beam theory Mechanics of plates and shells Elastic vibration
弹性力学、材料力学、结构力学三者关系 The Relation of the Three Mechanics 分析各种结构物或其杆件在 弹性阶段(Elastic Stage)的应 共同点 力和位移，校验它们是否具
common ground 有所需的强度、刚度、稳定
性，并寻求或改进它们的计
算方法
Difference 1
材料力学
Material Mechanics
研究杆件（如梁、柱和轴） 的拉压、弯曲、剪切、扭 转和组合变形等问题。 在材料力学基础上研究杆系
研 究 对 象 区 别
结构力学
Structural Mechanics
x z
主平面
pz
N
px
N p py
o
图. 2-7
y
如图2-7所示，如果主应力 N 在 x , y , z 轴方向的应力分量 分别为
px N l,
p y N m,
pz N n
(a)
将(a)式代入式（2-4）,移项整理后得：
( x N )l xy m xz n 0 yx l ( y N )m yz n 0 zx l zy m ( Z N )n 0
z’
投影于 x , y , z 方向
xz
M x
xy
x
x’
X x
Yx l2 , m2 , n2
x X xl1 Yxm1 Z xn1 1 px
T
y
xy X xl2 Yx m2 Z x n2 2 T px
封闭的精确解
有限差分法
工程上的实 际问题能真 正获得解析 解的情况实 属少数
有限体积法
数值法
有限单元法 边界单元法 无单元法 DDA法 流形元法
§2-2 一点的应力状态 Stress at a Point
1.正截面应力
z
z
yx
zx
zy
y
O x
yz x yx zx zy z
M
y
x’
T l1 m1 n1 1 T [ ] l 2 m2 n2 2 T l3 m3 n3 3
x
显然新坐标系的各坐标平面可分别看作是旧坐标的 斜截面。
z
Z x
z’
例如，y’M’z’平面是外法线为x’轴的斜截面。
斜截面上总应力
2 2 2 pn px py pz
斜面上的正应力为总应力分量px、py、pz在斜面法线上的投影之和
n px l p y n pz m
n xl y n z m 2 xylm 2 yz mn 2 zx nl
2 2 2
y
xz xy
yz
y
2﹑斜截面的应力公式(Stress Equations on Oblique Plane)
C
z
τyx σy τyz τzy A τxy px pz
N
σx pN py M τxz τzx σz B
o
y
x
C
z
τxy τyx σy pz
N
σx py pN
τyz
τzy
px
x xy xz xy y yz T ij xz yz z
(2-14a)
§2.4 主应力 应力状态的不变量 Principal Stresses & Stress Invariants 过一点切应力为零的平面 称为主平面，主平面上的正 应力称为主应力，主平面的 外法线方向称为主方向。为 了建立复杂应力状态下的强 度条件，必须研究物体内任 意点的主应力和主方向。
斜截面上剪应力
p
2 n 2 n
2 n
§2.3 应力分量的坐标变换式
Coordinate Transformation of the stress Components z y’ ’ ， y’ ， z’ 对旧坐标 x ， 设新坐标系 x z’ y，z 的轴的方向余弦分别为， l1,m1,n1; l2,m2,n2; l3,m3,n3 。用矩阵表示为
px p x
x 1T 1 xy 2
T
xz 3 T
1 1
同理，可求得在以 y 和 z 轴为外法线方向的斜截面上的正 应力和切应力分别为 y 2 T 2 T (2-12) yx 1 2 yz 3 T 2
l1, m1, n1
xz X xl3 Yxm3 Z xn3 3T px
[ px ] [ ] [ 1]
x X xl1 Yx m1 Z xn1 1T px xy X xl2 Yx m2 Z x n2 2 xz X xl3 Yx m3 Z xn3 3
微分方程。
§1.2 弹性力学的研究方法
Study Method of the Elasticity Mechanics
解析法(Analytical Method )
数值法(Numerical Method) 实验法(Experimental Method )
解析法
弹性力学问题
偏微分方程 分离变量法 级数解法 偏微分方程的边值问题 常微分方程 复变函数法 积分变换法
和
z 3 T 3 zx zy
1 3 T 2 3
T
(2-13)
因此，在新坐标系 o x y z 中，表示M点的应力状态的应力张量表示为
结构（如 桁架、刚架等）。 研究各种形状的弹性体，如 杆件、平面体、空间体、板 壳、薄壁结构等问题。
弹性力学
Elasticity Mechanics
Difference 2
材料力学
基 Material Mechanics 本 假 结构力学 设 Structural Mechanics 区 别
弹性力学
(2-15)
式(2-15)是求主平面的方向余弦 l , m, n 的线性方程组。 而它们不能同时为零。
l 2 m2 n2 1
(2-16)
由齐次方程组(2-15)可见，如果要使 l , m, n 有非零解，则 系数行列式的系数必须等于零。令：
材料力学计算简单而结果往往是近似的，但不少情 况下精度可以满足工程要求的 [例2] 徐变截面杆的分析
Example 2: Analysis of the bar with creep
section
o
x x
?
x
P x
P
Difference 3
取分离体(isolated body)方面
Elasticity Mechanics
除了基本假设之外，为了简化 数学推导，还有附加假设，结 论有一定近似。如:平面截面 假设及横力弯曲情况下，梁横 截面上剪应力的分布假设。 与材料力学基本相同 常只作基本假设，在此基础上运 用数学理论通过演绎与推理求解 力学模型，其分析更为精确。
[例1] 满载均荷简支梁 Example 1:The Simply Supported Beam under Simply Supported Beam
M τxz τzx σz B
A
o
y
x
cos( N , x) l , cos( N , y) m , cos( N , z ) n
C
z
τxy τyx σy τyz
N
pz
σx py pN
px
M τxz τzx σz B
τzy
A
o
y
x
F
x
0：
px dA x S BMC yx S AMC zx S AMB 0
材料力学
一般截取部 分杆段研究 一般截取微 单元体研究
得到力的平衡方程
Equilibrium Equation
Material Mechanics
弹性力学
得到偏微分方程
Elasticity Mechanics
Partial Differential Equations
Difference 4
数学计算(Numerical Computation)方面
y’
Yx
M
X x x l1 xy m1 xz n1 Yx yx l1 y m1 yz n1
y
Z x zx l1 zx m1 z n1
[ px ] [ ] [ 1]
x
X x
x’
l1, m1, n1
y’
Z x l3 , m3 , n3 z
yx l y m yz n p y zx l zy m z n pz
应力的边界值与面力分量间的关系表达式，即物 体的应力边界条件
面力边界条件
x l xy m xz n px
yx l y m yz n p y zx l zy m z n pz
pi ij n j (在S 上）
x l xy m xz n px
面力分量与 物体内部应 力分量之间 的关系
从微分单元体入手，严格考虑静力学、几何
弹性力学
Elasticity Mechanics
学、物理学三个方面的条件，边界上严格考 虑受力和约束条件，三维数学问题，求解偏 微分方程边值问题。 也考虑上述条件，但不是十分严格。常采
材料力学
Material Mechanics
用近似的假设如平面截面假设来简化问题 ，基本上是一维数学问题，基本方程是常
q
M
I
y
z
x
y
Qs ; I zb
y
0
公式成立的条件
Ｌ＞５ｈ； Ｌ—梁的垮长；ｈ—梁高；
q
y
x
x
y
2
z
My
I
Z
y y 3 q (4 2 ) h h 5
QS I zb
弹性力学的结果可以检验材料力学结果是否合理。
q y 2y 2 y 2 (1 h )(1 h )
1 1 dydz ldA S AMB dxdy ndA 2 2
px dA ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x S BMC yx S AMC zx S AMB 0
px dA xldA yxmdA zx ndA 0
px xl yxm zx n
第2章 应力分析 (Stress Analysis)
参考教材
《弹性力学》（第4版），徐芝纶主编，高等
教育出版社，2006 《弹性理论》（第3版），S.P.Timoshenko J.N. Goodier 主编，清华大学出版社，2007 《弹性力学》，徐秉业、王建学编著，清华 大学出版社，2007 《弹性力学与有限单元法》，蒋玉川、张建 海、李章政编著，科学出版社，2006
S AMC
z
1 dzdx mdA 2 C
τxy
S BMC
N
pz
σx pN
1 dydz ldA 2
dz
τyx σy
dA
τyz
py
px M τxz τzx σz
dy
dx
A
o
τzy
B
y
S AMB
1 dxdy ndA 2
x
S AMC
1 dzdx mdA 2
S BMC
S.P.Timoshenko Beams on elastic
foundation Timoshenko beam theory Mechanics of plates and shells Elastic vibration
弹性力学、材料力学、结构力学三者关系 The Relation of the Three Mechanics 分析各种结构物或其杆件在 弹性阶段(Elastic Stage)的应 共同点 力和位移，校验它们是否具
common ground 有所需的强度、刚度、稳定
性，并寻求或改进它们的计
算方法
Difference 1
材料力学
Material Mechanics
研究杆件（如梁、柱和轴） 的拉压、弯曲、剪切、扭 转和组合变形等问题。 在材料力学基础上研究杆系
研 究 对 象 区 别
结构力学
Structural Mechanics
x z
主平面
pz
N
px
N p py
o
图. 2-7
y
如图2-7所示，如果主应力 N 在 x , y , z 轴方向的应力分量 分别为
px N l,
p y N m,
pz N n
(a)
将(a)式代入式（2-4）,移项整理后得：
( x N )l xy m xz n 0 yx l ( y N )m yz n 0 zx l zy m ( Z N )n 0
z’
投影于 x , y , z 方向
xz
M x
xy
x
x’
X x
Yx l2 , m2 , n2
x X xl1 Yxm1 Z xn1 1 px
T
y
xy X xl2 Yx m2 Z x n2 2 T px
封闭的精确解
有限差分法
工程上的实 际问题能真 正获得解析 解的情况实 属少数
有限体积法
数值法
有限单元法 边界单元法 无单元法 DDA法 流形元法
§2-2 一点的应力状态 Stress at a Point
1.正截面应力
z
z
yx
zx
zy
y
O x
yz x yx zx zy z
M
y
x’
T l1 m1 n1 1 T [ ] l 2 m2 n2 2 T l3 m3 n3 3
x
显然新坐标系的各坐标平面可分别看作是旧坐标的 斜截面。
z
Z x
z’
例如，y’M’z’平面是外法线为x’轴的斜截面。
斜截面上总应力
2 2 2 pn px py pz
斜面上的正应力为总应力分量px、py、pz在斜面法线上的投影之和
n px l p y n pz m
n xl y n z m 2 xylm 2 yz mn 2 zx nl
2 2 2
y
xz xy
yz
y
2﹑斜截面的应力公式(Stress Equations on Oblique Plane)
C
z
τyx σy τyz τzy A τxy px pz
N
σx pN py M τxz τzx σz B
o
y
x
C
z
τxy τyx σy pz
N
σx py pN
τyz
τzy
px
x xy xz xy y yz T ij xz yz z
(2-14a)
§2.4 主应力 应力状态的不变量 Principal Stresses & Stress Invariants 过一点切应力为零的平面 称为主平面，主平面上的正 应力称为主应力，主平面的 外法线方向称为主方向。为 了建立复杂应力状态下的强 度条件，必须研究物体内任 意点的主应力和主方向。
斜截面上剪应力
p
2 n 2 n
2 n
§2.3 应力分量的坐标变换式
Coordinate Transformation of the stress Components z y’ ’ ， y’ ， z’ 对旧坐标 x ， 设新坐标系 x z’ y，z 的轴的方向余弦分别为， l1,m1,n1; l2,m2,n2; l3,m3,n3 。用矩阵表示为