(优辅资源)广东省汕头市高二下学期期末教学质量检测考试文科数学试卷 Word版含答案

绝密★启用前 试卷类型：A
汕头市2015~2016学年度普通高中教学质量监测
高二文科数学
本试卷共4页，24小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、学校、座位号、考生号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 选择题(共60分)
一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡相应的位置上) 1．已知集合}{11=-<<M x x ，{}24,N x x x Z =<∈，则
A. {}0M
N = B. N M ⊆
C. M N ⊆
D.
M N N =
2．设i 是虚数单位，R ∈a ，若(2)i ai +是一个纯虚数，则实数a 的值为
A. －1
2 B. 1- C. 0 D. 1
3．下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间(0,1)内单调递增的是
A ．3y x =
B ．cos y x =
C ．1ln
1x
y x
-=+ D ．x y e = 4．双曲线264x －2
136
y =的离心率为
A ．
4
5
B ．
54 C ．34
D ．4
3 5．已知变量x ，y 满足约束条件0
1
x x y x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪+≤⎩
，则z 122x y =+-的最大值是
A ．－
12 B ．0 C ．1
2
D ．1
6．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的弧线是
半径为1的四分之一个圆弧，则该几何体的体积为
A ．1 B. 2π
C. 14
π
-
D ．12
π
-
7．一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为
A ．10
11
B ．56
C ．5
11
D ．75
8．直线x y m -+=0与圆221x y +=相交的一个充分 不必要条件是
A ．0m <<1
B ．－4m <<2
C ．1<m
D ．－3m <<1
9．将函数()f x =sin(2x φ+)(φ<2
π
)的图象向左平移
6
π
个单位后的图象关于原点对称，则函数φ的可能值为
(第7题图)
A ．
6π B ．－6π C ．3π D ．－3
π 10．经过函数2
y x
=-图象上一点M 引切线l 与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，O 为坐
标原
点，记OAB ∆的面积为S ，则S =
A ．8
B ．4
C ．2
D ．1
11．已知向量1,2a b ==且0a b ⋅=，又2,,//c a b d ma nb c d =+=-，则m
n 等于
A. 1
2
-
B. 1-
C. 1
D. 2
12．已知0a >，函数2324ln ,0()34,0
⎧⋅->⎪=⎨--≤⎪⎩a x x x f x x a x x ，且方程()20f x a +=至少有三个不等实根，则实
数a 的取值范围是
A ．1,12⎛⎫
⎪⎝⎭ B ．(]1,2
C ．[)1,+∞
D ．()1,+∞
第Ⅱ卷 非选择题(共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在答卷相应的位置上)
13．如果1
sin()22
x π+=，则cos()x -= .
14．当0x <时，2
()f x x x
=--
的最小值是 . 15．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也
可以逆读．数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、…、99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是 .
16．已知正方体ABCD －1111A B C D 的棱长为4，点E 是线段1B C 的中点，则三棱锥1
A DED -外接球的体积为 .
三、解答题(6小题，共70分。

解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)
已知数列{}n a 的各项均是正数，其前n 项和为n S ，满足4n n S a =-. (1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)设1
log n
n n
a b a ⎧⎪
=⎨⎪⎩∈n N*)，求数列{}n b 的前2n 项和n T 2．
18．(本小题满分12分)
某校对高三部分学生的数学质检成绩做相应分析．
(1)按一定比例分层抽样抽取了20名学生的数学成绩，并用茎叶图记录，但部分数据不小心丢失了．已知数学成绩在[70，90)的频率是0.2，请补全下表并绘制相应频率分布直方图.
(2)为考察学生的物理成绩与数学成绩是否有关系，抽取了部分同学的数学成绩与物理成绩进行比较，得到统计数据如下：
能够有多大的把握认为物理成绩优秀与数学成绩优秀有关系？ 附：()
()()()()
2
2
-K =++++n ad bc a b c d a c b d
19．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P ABCD -中，侧棱PA PC PD ===ABCD 为直角梯形，其中//,BC AD AB AD ⊥,2AD =(1)求证：侧面PAD ⊥底面ABCD ； (2)求三棱锥P ACD -的表面积.
20．(本小题满分12分)
在直角坐标系xOy 中，曲线2
2:14
x C y +=的右顶点是A 、上顶点是B .
(1)求以AB 为直径的圆E 的标准方程；
(2)过点(0,2)D 且斜率为(0)k k >的直线l 交曲线C 于两点,M N 且0=⋅ON OM ，其中O 为坐标原点，求直线l 的方程.
21．(本小题满分12分)
已知函数()x f x e x =-. (1)求函数()f x 的极值；
(2)设函数()(1)g x m x n =-+，若对R x ∈∀，()f x 恒不小于()g x ，求m n +的最大值．
请考生在第(22)(23)(24)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲
如图，AB 是⊙O 的直径，AD ，DE 是⊙O 的切线， AD ，BE 的延长线交于点C ．
(1)求证：A O E D 、、、四点共圆；
(2)
若OA =，CE=1，B ∠=30°，求CD 长． 23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C
的极坐标方程是：cos sin 1ρθρθ+=，曲线D 的参数方程是：2cos sin x y α
α=-⎧⎨
=⎩
(α为参数)
(1)求曲线C 与曲线D 的直角坐标方程；
(2)若曲线C 与曲线D 相交于A 、B 两点，求|AB|．
24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
设函数()f x x x =-最大值为M ． (1)求实数M 的值；(2)若(
)2,(2x R f x t t ∀∈≥-+恒成立，求实数t 的取值范围．
参考答案
一、ACABD CBADB AC
二、13.21 14. 22 15. 9
4
16. π36
三、解答题
17. 已知数列{}n a 的各项均是正数，其前n 项和为n S ，满足n n a S -=4.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设⎪⎩⎪⎨⎧=为偶数）
为奇数）n a n a b n n n ((log 2
1（k *∈N ），求数列{}n b 的前n 2项和n T 2．
17.解：（1）由⎩⎨
⎧-=-=++11
44n n n
n a S a S 两式相减得n n n a a a +-=++11， 2分
得
2
1
1=+n n a a ， 3分 又1114a S a -==得21=a 4分
故数列{}n a 是以2为首项，
2
1
为公比的等比数列 5分 故21
)2
1
(212--=⎪
⎭
⎫
⎝⎛⋅=n n n a 6分
（2）⎪⎩⎪
⎨⎧⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-为偶数）为奇数）n n n b n n (21(22 7分
)()(24212312n n n b b b b b b T +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=- 8分
2
220212121)32(311-⎪
⎭
⎫
⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⋅⋅⋅+++-=n n 9分
1241313424
11)41
(12)321(-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=--+-+-=n n
n n n n 12分
18解：(1) （填表正确3分，频率分布直方图正确3分）
（2）假设学生的物理成绩与数学成绩没有关系， 7分
则828.1055.1418
222020)351715(402
2
>≈⨯⨯⨯⨯-⨯=
K 10分
由%1.0001.0)828.10(2
==>K P 11分
%9.99有∴的把握认为物理成绩优秀与数学成绩优秀有关系。

12分
19.证明：（1）取AD 中点O ，连接PO 、CO ，由PA PD ==，
得AD PO ⊥且1=PO 2分
又直角梯形ABCD 中AD AB AD BC ⊥,//，O 为AD 中点，故四边形ABCO 是正方形，故
AD CO ⊥且CO=1， 3分
故POC ∆中，
222PO CO PC +=,即
OC PO ⊥， 4分 又O CO AD = ,
故ABCD PO 平面⊥ 5分
PAD PO 平面⊂
故侧面PAD ⊥底面ABCD 6分 （2）
1122
1
21,1122121=⋅⋅=⋅==⋅⋅=⋅=
∆∆PO AD S CO AD S PAD ACD 8分 PAC ∆中2===PC PA AC , COD Rt ∆中222=+=OD CO CD , 9分
故PCD PAC ∆∆,都是边长为2的等边三角形，故
2
3
232221=⋅⋅⋅=
=∆∆PCD PAC S S 11分 ∴三棱锥ACD P -的表面积32+=S 12分
20解：（1）依题意点)0,2(A 、)1,0(B 1分 故线段AB 的中点)2
1
,1(E , 2分
所求圆E 的半径2
5
=
r ， 3分 故圆E 的标准方程为()4
5
)21(122
=
-+-y x 4分 （2）依题意，直线2:+=kx y l 5分
联立⎩⎨⎧+==+2
4422kx y y x 整理得01216)41(2
2=+++kx x k ， 6分
此时0)34(162
>-=∆k ，又0>k ，故2
3
>k 。

7分 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则2
2
12214112
,4116k x x k k x x +=+-
=+ 9分 0414164)1()(22
2
212
212121=+-=++++=+=⋅k k x x k x x k y y x x OM
，由0>k 得2=k 11分 故所求直线l 的方程是22+=x y . 12分
21解：（1）依题意1)(-='x
e x
f ， 1分
令0)(<'x f 得0<x
令0)(>'x f 得0>x 3分
故函数)(x f 在()0,∞-单调递减，在()+∞,0单调递增 4分 故函数)(x f 的极小值为1)0(=f ，没有极大值。

5分
（2）依题意对)()(,x g x f R x ≥∈∀,即n x m x e x
+-≥-)1(，即0≥--n mx e x 恒成立 令n mx e x u x
--=)(，则m e x u x
-=')(
① 若0≤m ，则0)(>'x u ，)(x u 在R 上单调递增，没有最小值，不符题意，舍去。

② 若0>m ，令0)(='x u 得m x ln =
当0)(>'x u ，即()m x ln ,∞-∈时，)(x u 单调递减； 当0)(>'x u ，即()+∞∈,ln m x 时，)(x u 单调递增。

故0ln ln )(ln )(ln min ≥--=-⋅-==n m m m n m m e
m u x u m
故m m m n m ln 2⋅-≤+
令m m m m q ln 2)(⋅-=，则m x q ln 1)(-=' 当),0(e m ∈时，0)(>'x q ，)(x q 单调递增； 当()+∞∈,e m 时，0)(<'x q ，)(x q 单调递减
故e e e e e q x q =⋅-==ln 2)()(max ，即e n m ≤+，即n m +的最大值是e 。

请考生在第(22)(23)(24)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22. 解：（1）证明：连接EO 1分
DE AD ,是⊙O 的切线
090=∠=∠∴DEO DAO , 2分
0180,180=∠+∠=∠+∠∴AOE ADE DEO DAO
4分
∴D E O A ,,,四点共线. 5分
(2)连接AE ，设1=CE ,则3=AO , 32=AB 6分
AB 是圆O 的直径，090=∠∴AEB
030=∠∆B ABE Rt 中，，故32
1
==
AB AE ,3=BE 7分 ADE ∆中，030=∠=∠=∠B DEA DAE
0120=∠∴ADE 8分
12
3
2330cos 210
===∴AE
AD 9分 又由切割线定理得4412=⨯=⋅=CB CE AC
故112=-=-=AD AC CD 10分
23解：（1）y x ==θρθρsin ,cos
∴曲线C 的直角坐标方程为：01=-+y x 2分
由⎪⎩
⎪⎨⎧=+=-=1sin cos sin 2cos 22ααααy x 得曲线D 的直角坐标方程为1)2(22=+-y x 5分 （2）法1：曲线D 是以点D ()0,2为圆心，1为半径的圆。

圆心D 到直线01=-+y x 的距
离2
2
2
12=
-=
d 8分
由勾股定理得222)2
1
(
r d AB =+，解得2=AB . 10分 法2：联立⎩⎨⎧=+-+-=1
)2(1
2
2y x x y 得交点A 、B 的坐标为()()1,2,0,1- 8分 故2=
AB 10分
24解：（1）⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥-<<---≤=+--=)
2(22)22(2)2(2222)(x x x x x x x f ， 3分
故不等式22)(max ==M x f 5分 （2） ()t t x f R x )22(,2+
-≥∈∀恒成立，又由（Ⅰ）知22)(min -=x f 6分
故22)()22(min 2
-=≤+
-x f t t 7分 即022)22(2
≤++
-t t 8分
故不等式的解集是区间
[
]
2,2 10分。