【必考题】高中必修一数学上期末一模试题(附答案)

【必考题】高中必修一数学上期末一模试题(附答案)
一、选择题
1．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是增函数，若对任意
[)x 1,∞∈+，都有()()f x a f 2x 1+≤-恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A ．[]2,0-
B ．(],8∞--
C ．[)2,∞+
D ．(]
,0∞- 2．已知函数()()2,2
11,2
2x
a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭
⎩, 满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --＜0
成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2)
B ．13,
8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
C ．(－∞，2]
D ．13,28⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
3．在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b a ⊕=；当
a b <时，2a b b ⊕=，已知函数()()()[]()1222,2f x x x x x =⊕-⊕∈-，则满足()()13f m f m +≤的实数的取值范围是（ ）
A ．1
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B ．1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．12,23
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．21,3
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
4．函数y ＝a |x |(a >1)的图像是( ) A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知函数ln ()x
f x x
=，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b c a <<
B ．b a c <<
C ．a c b <<
D ．c a b <<
6．[]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．已知函数2()log f x x =，正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，若()f x 在区间
2[,]m n 上的最大值为2，则,m n 的值分别为
A ．
12
，2 B ．
2
2
2 C ．
14
，2 D ．
14
，4 8．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(1)(3)0f x f x ++-=，且(1)0f ≠，若函数
6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，则(2019)f =（ ）
A ．1
B ．-1
C ．-3
D ．3
9．若二次函数()2
4f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有
()()
1212
0f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
B ．1,2⎡⎫
-
+∞⎪⎢⎣⎭
C ．1,02⎛⎫
-
⎪⎝⎭
D ．1,2⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
10．若函数y a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485
＝( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．若0.33a =，log 3b π=，0.3log c e =，则（ ）
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c a b >>
D ．b c a >>
12．已知()f x =22x x -+,若()3f a =,则()2f a 等于 A ．5
B ．7
C ．9
D ．11
二、填空题
13．已知1,0
()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩
，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集为______．
14．已知幂函数(2)m
y m x =-在(0,)+∞上是减函数，则m =__________．
15．已知()f x 是定义域为R 的单调函数，且对任意实数x 都有21
()213x
f f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦，则52(lo
g )f =__________.
16．已知函数()f x 满足1121-+⎛⎫
⎛⎫
+
=+ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
x x f f x x x ，其中x ∈R 且0x ≠，则函数()f x 的解析式为__________
17．如果函数()
2
2279
919m
m y m m x
--=-+是幂函数，且图像不经过原点，则实数
m =___________.
18．函数()()4log 5f x x =-+________.
19．已知()f x ､()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()2x
f x
g x x -=-，则
(1)(1)f g +=__________.
20．已知函数()()g x f x x =-是偶函数，若(2)2f -=，则(2)f =________
三、解答题
21．已知函数1
()21
x
f x a =-
+，()x R ∈. （1）用定义证明：不论a 为何实数()f x 在(,)-∞+∞上为增函数；
（2）若()f x 为奇函数，求a 的值；
（3）在（2）的条件下，求()f x 在区间[1，5]上的最小值.
22．已知()()()22log 2log 2f x x x =-++. (1)求函数()f x 的定义域； (2)求证：()f x 为偶函数；
(3)指出方程()f x x =的实数根个数，并说明理由.
23．节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业,积极响应国家要求,探索改良工艺,使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物
数量为32mg/m ,首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为3
1.94mg/m .设改良工艺
前所排放的废气中含有的污染物数量为0r ,首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为1r ,则第n 次改良后所排放的废气中的污染物数量n r ,可由函数模型
()0.5001)*(5n p n r r r r p R n N +-∈⋅=-∈，给出,其中n 是指改良工艺的次数.
（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型;
（2）依据国家环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过3
0.08mg/m ,试问
至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标. （参考数据:取lg 20.3=）
24．已知函数2,,
()lg 1,,
x x m f x x x m ⎧⎪=⎨+>⎪⎩其中0
1m <.
（Ⅰ）当0m =时，求函数()2y f x =-的零点个数；
（Ⅱ）当函数2
()3()y f x f x =-的零点恰有3个时，求实数m 的取值范围.
25．已知．
（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围； （2）若函数
在区间
上是递增的，求实数的取值范围．
26．某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养殖业，以增加收入.政府计划共投入72万元，全部用于甲、乙两个合作社，每个合作社至少要投入15万元，其中甲合作社养鱼，乙合作社养鸡，在对市场进行调研分析发现养鱼的收益M 、养鸡
的收益N 与投入a （单位：万元）满足425,1536,
49,3657,
a a M a ⎧⎪=⎨
<⎪⎩1202N a =+.设甲合作社的投入为x （单位：万元），两个合作社的总收益为()f x （单位：万元）. （1）若两个合作社的投入相等，求总收益；
（2）试问如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大?
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一、选择题
1．A 解析：A 【解析】 【分析】
根据偶函数的性质，可知函数在(],0-∞上是减函数，根据不等式在[)1,x ∈+∞上恒成立，可得：21x a x +≤-在[
)1,+∞上恒成立，可得a 的范围. 【详解】
()f x 为偶函数且在[)0,+∞上是增函数
()f x ∴在(],0-∞上是减函数
对任意[)1,x ∈+∞都有()()21f x a f x +≤-恒成立等价于21x a x +≤-
2121x x a x ∴-+≤+≤- 311x a x ⇒-+≤≤- ()()max min 311x a x ∴-+≤≤-
当1x =时，取得两个最值
3111a ∴-+≤≤- 20a ⇒-≤≤ 本题正确选项：A 【点睛】
本题考查函数奇偶性和单调性解抽象函数不等式的问题，关键在于能够通过单调性确定自变量之间的关系，得到关于自变量的不等式.
2．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：由题意有,函数()f x 在R 上为减函数,所以有220
{1
(2)2()1
2a a -<-⨯≤-,解出13
8
a ≤,选B. 考点：分段函数的单调性. 【易错点晴】
本题主要考查分段函数的单调性,属于易错题. 从题目中对任意的实数12x x ≠，都有
()()
1212
0f x f x x x -<-成立，得出函数()f x 在R 上为减函数,减函数图象特征:从左向右看,图
象逐渐下降,故在分界点2x =处,有2
1(2)2()12
a -⨯≤-,解出13
8
a ≤
. 本题容易出错的地方
是容易漏掉分界点2x =处的情况.
3．C
解析：C 【解析】
当21x -≤≤时，()1224f x x x =⋅-⨯=-； 当12x <≤时，()2
3
224f x x x x =⋅-⨯=-；
所以()3
4,21
4,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨
-<≤⎩
， 易知，()4f x x =-在[]2,1-单调递增，()3
4f x x =-在(]1,2单调递增， 且21x -≤≤时，()max 3f x =-，12x <≤时，()min 3f x =-，
则()f x 在[]22-,
上单调递增， 所以()()13f m f m +≤得：212
23213m m m m
-≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩
，解得12
23m ≤≤，故选C ．
点睛：新定义的题关键是读懂题意，根据条件，得到()3
4,21
4,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨
-<≤⎩
，通过单调性分析，得到()f x 在[]22-,
上单调递增，解不等式()()13f m f m +≤，要符合定义域和单调性的双重要求，则212
23213m m m m -≤+≤⎧⎪
-≤≤⎨⎪+≤⎩，解得答案．
4．B
解析：B 【解析】
因为||0x ≥，所以1x a ≥，且在(0,)+∞上曲线向下弯曲的单调递增函数，应选答案B ．
5．D
解析：D 【解析】 【分析】
可以得出11
ln 32,ln 251010
a c =
=，从而得出c ＜a ，同样的方法得出a ＜b ，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】
()ln 2ln 322210a f ==
=, ()1ln 25
5ln 5510
c f ===,根据对数函数的单调性得到a>c,
()ln 333b f ==
,又因为()ln 2ln8226a f ===，()ln 3ln 9
336
b f ===，再由对数函数的单调性得到a<b,∴
c ＜a ，且a ＜b ；∴c ＜a ＜b ． 故选D ． 【点睛】 考查对数的运算性质，对数函数的单调性．比较两数的大小常见方法有：做差和0比较，做商和1比较，或者构造函数利用函数的单调性得到结果.
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
先求出函数()ln 310f x x x =+-的零点的范围，进而判断0x 的范围，即可求出[]
0x . 【详解】
由题意可知0x 是()ln 310f x x x =+-的零点， 易知函数()f x 是（0，∞+）上的单调递增函数，
而()2ln2610ln240f =+-=-<，()3ln3910ln310f =+-=->， 即()
()230f f <
所以023x <<，
结合[]x 的性质，可知[]
02x =. 故选B. 【点睛】
本题考查了函数的零点问题，属于基础题．
7．A
解析：A 【解析】
试题分析：画出函数图像，因为正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，且()f x 在区间
2[,]m n 上的最大值为2，所以()()f m f n ==2，由2()log 2f x x ==解得1
2,2
x =，即
,m n 的值分别为12
，2．故选A ．
考点：本题主要考查对数函数的图象和性质．
点评：基础题，数形结合，画出函数图像，分析建立m,n 的方程．
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
由(1)(3)0f x f x ++-=结合()f x 为奇函数可得()f x 为周期为4的周期函数，则
(2019)(1)f f =-，要使函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，即
6(1)cos 43x f x ⋅-=只有唯一解，结合图像可得(1)3f =，即可得到答案．
【详解】
()f x 为定义在R 上的奇函数，
∴()()f x f x -=-，
又
(1)(3)0(13)(33)0f x f x f x f x ++-=⇔+++--=，
(4)()0(4)()()f x f x f x f x f x ++-=⇔+=--=∴， ∴()f x 在R 上为周期函数，周期为4， ∴(2019)(50541)(1)(1)f f f f =⨯-=-=-
函数6
()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，即6
(1)cos 43x f x ⋅-=只有唯一解，
令6
()m x x = ，则5
()6m x x '=，所以(,0)x ∈-∞为函数6
()m x x =减区间，(0,)
x ∈+∞为函数6
()m x x =增区间，令()(1)cos 43x f x ϕ=⋅-，则()x ϕ为余弦函数，由此可得函
数()m x 与函数()x ϕ的大致图像如下：
由图分析要使函数()m x 与函数()x ϕ只有唯一交点，则(0)(0)m ϕ=，解得(1)3f =
∴(2019)(1)3f f =-=-，
故答案选C ． 【点睛】
本题主要考查奇函数、周期函数的性质以及函数的零点问题，解题的关键是周期函数的判定以及函数唯一零点的条件，属于中档题．
9．A
解析：A 【解析】 【分析】
由已知可知，()f x 在()1
，-+∞上单调递减，结合二次函数的开口方向及对称轴的位置即可求解． 【详解】
∵二次函数()2
4f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有
()()
1212
0f x f x x x -<-，
∴()f x 在()1
，-+∞上单调递减， ∵对称轴12x a
=
， ∴0
1
12a a
<⎧⎪
⎨≤-⎪⎩，解可得102a -≤<，故选A ． 【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质及函数单调性的定义的简单应用，解题中要注意已知不等式与单调性相互关系的转化，属于中档题.
10．C
解析：C 【解析】 【分析】
先分析得到a ＞1，再求出a =2,再利用对数的运算求值得解. 【详解】
由题意可得a －a x ≥0，a x ≤a ，定义域为[0，1]， 所以a >1，
y
[0，1]上单调递减，值域是[0，1]， 所以f (0)
1，f (1)＝0， 所以a ＝2，
所log a
56＋log a 485＝log 256＋log 2485＝log 28＝3. 故选C 【点睛】
本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
11．A
解析：A 【解析】
因为00.31,1e <，所以0.3log 0c e =<，由于
0.30.3031,130log 31a b ππ>⇒=><<⇒<=<，所以a b c >>，应选答案A ．
12．B
解析：B
【解析】
因为()f x =22x x -+,所以()f a =223a a -+=,则()2f a =2222a a -+=2
(22)2a a -+-=7.
选B.
二、填空题
13．【解析】当时解得；当时恒成立解得：合并解集为故填：
解析：3
{|}2
x x ≤
【解析】
当20x +≥时，()()()22525x x f x x x +++≤⇔++≤，解得 3
22
x -≤≤
；当20x +<时，()()()22525x x f x x x +++≤⇔-+≤，恒成立，解得：2x <-，合并
解集为32x x ⎧⎫≤
⎨⎬⎩⎭ ，故填：32x x ⎧
⎫
≤⎨⎬⎩⎭
. 14．-3【解析】【分析】根据函数是幂函数可求出m 再根据函数是减函数知故可求出m 【详解】因为函数是幂函数所以解得或当时在上是增函数；当时在上是减函数所以【点睛】本题主要考查了幂函数的概念幂函数的增减性属于 解析：-3
【解析】 【分析】
根据函数是幂函数可求出m,再根据函数是减函数知0m <，故可求出m. 【详解】 因为函数是幂函数
所以||21m -=，解得3m =-或3m =. 当3m =时，3
y x =在(0,)+∞上是增函数； 当3m =-时，y x =在(0,)+∞上是减函数， 所以3m =-. 【点睛】
本题主要考查了幂函数的概念，幂函数的增减性，属于中档题.
15．【解析】【分析】由已知可得＝a 恒成立且f （a ）＝求出a ＝1后将x ＝log25代入可得答案【详解】∵函数f （x ）是R 上的单调函数且对任意实数x 都有f ＝∴＝a 恒成立且f （a ）＝即f （x ）＝﹣+af （a ）
解析：
23 【解析】 【分析】
由已知可得()2
21x f x ++＝a 恒成立，且f （a ）＝13
，求出a ＝1后，将x ＝log 25代入可得
答案． 【详解】
∵函数f （x ）是R 上的单调函数，且对任意实数x ，都有f[()2
21x
f x ++]＝13
， ∴()2
21x
f x +
+＝a 恒成立，且f （a ）＝13， 即f （x ）＝﹣
x 221++a ，f （a ）＝﹣x 2
21++a ＝13
， 解得：a ＝1，∴f （x ）＝﹣x 2
21
++1， ∴f （log 25）＝23
， 故答案为：23
． 【点睛】
本题考查的知识点是函数解析式的求法和函数求值的问题，正确理解对任意实数x ，都有
()21213x f f x ⎡
⎤+=⎢⎥+⎣
⎦成立是解答的关键，属于中档题．
16．【解析】【分析】用代换可得联立方程组求得再结合换元法即可求解【详解】由题意用代换解析式中的可得……（1）与已知方程……（2）联立（1）（2）的方程组可得令则所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函 解析：()1
1
(1)3
1
f x x x =-
≠-- 【解析】 【分析】
用x -代换x ，可得1121x x f f x x x +-⎛⎫
⎛⎫
+=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，联立方程组，求得
11
3
x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再结合换元法，即可求解. 【详解】
由题意，用x -代换解析式中的x ，可得1121x x f f x x x +-⎛⎫
⎛⎫
+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，…….（1） 与已知方程1121-+⎛⎫⎛⎫
+
=+ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
x x f f x x x ，……（2） 联立（1）（2）的方程组，可得11
3
x f x x +⎛⎫=-
⎪⎝⎭，
令1,1x t t x +=≠，则11x t ，所以()1131
f t t =--， 所以()11(1)31
f x x x =-≠--. 故答案为：()11(1)31
f x x x =-≠--. 【点睛】
本题主要考查了函数解析式的求解，解答中用x -代换x ，联立方程组，求得
113
x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭是解答的关键，着重考查了函数与方程思想，以及换元思想的应用，属于中档试题.
17．3【解析】【分析】根据幂函数的概念列式解得或然后代入解析式看指数的符号负号就符合正号就不符合【详解】因为函数是幂函数所以即所以所以或当时其图象不过原点符合题意;当时其图象经过原点不合题意综上所述:故 解析：3
【解析】
【分析】
根据幂函数的概念列式解得3m =,或6m =,然后代入解析式,看指数的符号,负号就符合,正号就不符合.
【详解】
因为函数()22279919m m y m m x --=-+是幂函数,
所以29191m m -+=,即29180m m -+=,
所以(3)(6)0m m --=,
所以3m =或6m =-,
当3m =时,12
()f x x -=,其图象不过原点,符合题意; 当5m =时,21()f x x =,其图象经过原点,不合题意.
综上所述:3m =.
故答案为:3
【点睛】
本题考查了幂函数的概念和性质,属于基础题.
18．【解析】【分析】根据题意列出不等式组解出即可【详解】要使函数有意义需满足解得即函数的定义域为故答案为【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题属于基础题；常见的形式有：1分式函数分母不能为0；2偶次 解析：[)0,5
【解析】
【分析】
根据题意，列出不等式组50210x x ->⎧⎨-≥⎩
，解出即可. 【详解】
要使函数()()4log 5f x x =-+有意义，
需满足50210
x x ->⎧⎨-≥⎩，解得05x <≤，即函数的定义域为[)0,5， 故答案为[)0,5.
【点睛】
本题主要考查了具体函数的定义域问题，属于基础题；常见的形式有：1、分式函数分母不能为0；2、偶次根式下大于等于0；3、对数函数的真数部分大于0；4、0的0次方无意义；5、对于正切函数tan y x =，需满足,2x k k Z ππ≠
+∈等等，当同时出现时，取其交
集. 19．【解析】【分析】根据函数的奇偶性令即可求解【详解】､分别是定义在上的偶函数和奇函数且故答案为：【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性属于容易题 解析：32
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性，令1x =-即可求解.
【详解】
()f x ､()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数, 且()()2x f x g x x -=- ∴13(1)(1)(1)(1)212f g f g ----=+=+=
, 故答案为：
32
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性，属于容易题. 20．6【解析】【分析】根据偶函数的关系有代入即可求解【详解】由题：函数是偶函数所以解得：故答案为：6【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求函数值难度较小关键在于根据函数奇偶性准确辨析函数值的关系
解析：6
【解析】
【分析】
根据偶函数的关系有()(2)2g g =-，代入即可求解.
【详解】
由题：函数()()g x f x x =-是偶函数，
(2)(2)24g f -=-+=，所以(2)(2)24g f =-=，
解得：(2)6f =.
故答案为：6
【点睛】
此题考查根据函数的奇偶性求函数值，难度较小，关键在于根据函数奇偶性准确辨析函数值的关系.
三、解答题
21．(1)见解析；(2)12a =
；(3) 16. 【解析】
【分析】
【详解】
(1)()f x 的定义域为R, 任取12x x <, 则121211()()2121x x f x f x a a -=--+++=121222(12)(12)
x x x x -++. 12x x <,∴1212220,(12)(12)0x x x x -++.
∴12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <.
所以不论a 为何实数()f x 总为增函数.
(2)()f x 在x ∈R 上为奇函数,
∴(0)0f =,即01021a -
=+. 解得12
a =. (3)由(2)知，11()221x f x =
-+, 由(1) 知，()f x 为增函数,
∴()f x 在区间[1,5)上的最小值为(1)f .
∵111(1)236
f =-=， ∴()f x 在区间[1,5)上的最小值为16
. 22．(1)()2,2-；(2)证明见解析；(3)两个，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据对数函数的真数大于0，列出不等式组求出x 的取值范围即可；
（2）根据奇偶性的定义即可证明函数()f x 是定义域上的偶函数．
（3）将方程()f x x =变形为()22log 4x x -=，即242x x -=，设()242x g x x =--（22x -≤≤），再根据零点存在性定理即可判断.
【详解】
解：（1） ()()()22log 2log 2f x x x =-++
2020x x ->⎧∴⎨+>⎩
，解得22x -<<，即函数()f x 的定义域为()2,2-； （2）证明：∵对定义域()2,2-中的任意x ，
都有()()()()22log 2log 2f x x x f x -=++-=
∴函数()f x 为偶函数；
（3）方程()f x x =有两个实数根，
理由如下：
易知方程()f x x =的根在()2,2-内，
方程()f x x =可同解变形为()22
log 4x x -=，即242x x -= 设()242x g x x =--（22x -≤≤）.
当[]2,0x ∈-时，()g x 为增函数，且()()20120g g -⋅=-<，
则在()2,0-内，函数()g x 有唯一零点，方程()f x x =有唯一实根，
又因为偶函数，在()0,2内，函数()g x 也有唯一零点，方程()f x x =有唯一实根， 所以原方程有两个实数根.
【点睛】
本题考查函数的定义域和奇偶性的应用问题，函数的零点，函数方程思想，属于基础题．
23．（1）()0.50.5*20.065
n n r n N -=-⨯∈ （2）6次 【解析】
【分析】
（1）先阅读题意，再解方程求出函数模型对应的解析式即可；
（2）结合题意解指数不等式即可.
【详解】
解:（1）由题意得02r =,1 1.94r =,
所以当1n =时,()0.510015
p r r r r +=--⋅, 即0.51.942(2 1.94)5p +=--⋅,解得0.5p =-,
所以0.50.520.065
*()n n r n -=-⨯∈N , 故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为()0.50.5*
20.065n n r n -=-⨯∈N .
（2）由题意可得,0.50.520.065
0.08n n r -=-⨯≤, 整理得,0505..1950..206
n -≥,即0.50.5532n -≥, 两边同时取常用对数,得lg3205055.lg .n -≥
, 整理得5lg 2211lg 2
n ≥⨯+-, 将lg 20.3=代入,得5lg 230211 5.31lg 27⨯
+=+≈-, 又因为*n ∈N ,所以6n ≥.
综上,至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.
【点睛】
本题考查了函数的应用，重点考查了阅读能力及解决问题的能力，属中档题.
24．（Ⅰ）零点3个. （Ⅱ）10,
100⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【解析】
【分析】
（I ）当0m =时，由()20f x -=，结合分段函数解析式，求得函数的零点，由此判断出()2y f x =-的零点的个数.
（II ）令2()3()0f x f x -=，解得()0f x =（根据分段函数解析式可知()0f x >，故舍
去.）或()3f x =.结合分段函数解析式，求得()3f x =的根，结合分段函数()f x 的分段点，求得m 的取值范围.
【详解】
（Ⅰ）当0m =时，2,0,()lg 1,0.x x f x x x ⎧⎪=⎨+>⎪⎩
令()20y f x =-=，得()2f x =，
则|lg |12x +=或||22x =.
解|lg |12x +=，得10x =或110
， 解||22x =，得1x =-或1x =（舍）. 所以当0m =时，函数()2y f x =-的零点为1-，
110，10，共3个. （Ⅱ）令2()3()0f x f x -=，得()0f x =或()3f x =.
由题易知()0f x >恒成立.
所以()3f x =必须有3个实根，即|lg |13x +=和||23x =共有3个根.
①解||23x =，得2log 3x =-或2log 31x =>（舍），故有1个根.
②解|lg |13x +=，得100x =或1100x =， 要使得两根都满足题意，则有1100m <
. 又01m <，所以10100
m <. 所以实数m 的取值范围为10,
100⎡⎫⎪⎢⎣⎭
. 【点睛】 本小题主要考查分段函数零点个数的判断，考查根据函数零点个数求参数的取值范围，属于中档题.
25．（1）（2） 【解析】 试题分析：（1）由于函数定义域为全体实数，故恒成立，即有，解得
；（2）由于在定义域上是减函数，故根据复合函数单调性有函数在上为减函数，结合函数的定义域有，解得
. 试题解析：（1）由函数
的定义域为可得: 不等式
的解集为，∴解得， ∴所求的取值范围是
（2）由函数在区间
上是递增的得： 区间
上是递减的， 且在区间上恒成立；
则
，解得 26．（1）87万元；（2）甲合作社投入16万元，乙合作社投入56万元
【解析】
【分析】 （1）先求出36x =，再求总收益；（2）（2）设甲合作社投入x 万元(1557)x ≤≤，乙
合作社投入72x -万元，再对x 分类讨论利用函数求出如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大.
【详解】
（1）两个合作社的投入相等，则36x =，
1
(36)253620872
f =++⨯+=（万元） （2）设甲合作社投入x 万元(1557)x ≤≤，乙合作社投入72x -万元.
当1536x ≤≤时，11()25(72)208122f x x x =+
-+=-+，
令t =6t ≤≤，则总收益221
1()481(4)8922
g t t t t =-++=--+， 当4t =即16x =时，总收益取最大值为89；
当3657x <≤时，11()49(72)2010522
f x x x =+-+=-+， ()f x 在(36,57]上单调递减，所以()(36)87f x f <=.
因为8987>，
所以在甲合作社投入16万元，乙合作社投入56万元时，总收益最大，最大总收益为89万元.
【点睛】
本题主要考查函数的应用和最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和应用能力.。