1 PPT-北邮随机信号分析第3章(随机过程的线性变换)2017 (1)

信号处理系统输出信号基本定理分析方法限带过程系统设计第3章随机过程的线性变换第3章随机过程的线性变换n⏹3.1 变换的基本概念和基本定理n⏹3.2 随机过程通过线性系统分析n⏹3.3 限带过程n⏹3.5 最佳线性滤波器n⏹3.6 线性系统输出端随机过程的概率分布第3章随机过程的线性变换n⏹3.1 变换的基本概念和基本定理n⏹3.2 随机过程通过线性系统分析n⏹3.3 限带过程n⏹3.5 最佳线性滤波器n⏹3.6 线性系统输出端随机过程的概率分布第3章随机过程的线性变换n⏹3.1 变换的基本概念和基本定理n⏹ 3.1.1 变换的基本概念n⏹3.2 随机过程通过线性系统分析n⏹3.3 限带过程n⏹3.5 最佳线性滤波器n⏹3.6 线性系统输出端随机过程的概率分布n⏹随机过程的变换n⏹定义给定一个随机过程X (t )，按照某种法则，对它的每一个样本函数x (t )，都指定一个对应函数y (t )，得到一个新的随机过程Y (t ) ，记为：T 就叫做从随机过程X (t ) 到Y (t ) 的变换。

TY t ()X t ()Y t ()=T X t ()⎡⎣⎤⎦ x 1t () x 2t () x 3t ()x 4t ()y 1t ()y 2t () y 3t ()y 4t ()n⏹线性时不变变换LY t () X t ()Y t ()=L X t ()⎡⎣⎤⎦ L A 1X 1t ()+A 2X 2t ()⎡⎣⎤⎦=A 1L X 1t ()⎡⎣⎤⎦+A 2L X 2t ()⎡⎣⎤⎦Y t +ε()=L X t +ε()⎡⎣⎤⎦n⏹时不变性：n⏹线性：其中A 1, A 2为随机变量，X 1(t ), X 2(t )为随机过程。

第3章随机过程的线性变换n⏹3.1 变换的基本概念和基本定理n⏹ 3.1.1 变换的基本概念n⏹ 3.1.2 线性变换的基本定理n⏹3.2 随机过程通过线性系统分析n⏹3.3 限带过程n⏹3.5 最佳线性滤波器n⏹3.6 线性系统输出端随机过程的概率分布n⏹定理1若，其中L 是线性变换，则。

Y t ()=L X t ()⎡⎣⎤⎦E Y t (){}=L E X t ()⎡⎣⎤⎦{}n⏹证明：Y (t )_____=1n [y 1(t )+y 2(t )+!+y n (t )] =1n {L [x 1(t )]+L [x 2(t )]+!+L [x n (t )]} =L {1n [x 1(t )+x 2(t )+!+x n (t )]} =L {X (t )_____}算子L 、E 可以交换次序n →∞X (t )______→E [X (t )] Y (t )______→E [Y (t )]根据大数定理，当时，，E Y t (){}=L E X t ()⎡⎣⎤⎦{}Se 1e e 2x 1t ()Ly 1t ()x 2t ()x t ()y 2t ()y t ()n⏹定理2设，其中L 是线性变换，则Y t ()=L X t ()⎡⎣⎤⎦R XY (t 1,t 2) = L t 2[R X (t 1,t 2)]R Y (t 1,t 2) = L t 1[R XY (t 1,t 2)] = L t 1•L t 2[R X (t 1,t 2)]L t 1L t 2其中表示对t 1 做L 变换，表示对t 2 做L 变换。

n⏹证明：R XY t 1,t 2()=E X t 1()Y t 2(){}=E X t 1()L t 2X t 2()⎡⎣⎤⎦{}=E L t 2X t 1()X t 2()⎡⎣⎤⎦{} =L t 2R X t 1,t 2()⎡⎣⎤⎦R Y (t 1,t 2) =E Y t 1()Y t 2(){}= E L t 1X t 1()⎡⎣⎤⎦L t 2X t 2()⎡⎣⎤⎦{}=L t 1E X t 1()L t 2X t 2()⎡⎣⎤⎦{}⎡⎣⎤⎦ =L t 1R XY t 1,t 2()⎡⎣⎤⎦n⏹定理1和定理2的应用和推广n⏹输出的均值和相关函数可以分别由输入的均值和相关函数确定。

n⏹推而广之，输出的k 阶矩可以由输入的相应阶矩来确定：n⏹对于线性时不变系统，若X (t )是严平稳的，则Y (t )是严平稳；若X (t )是广义平稳的，则Y (t )是广义平稳的。

E Y (t 1)Y (t 2)Y (t 3){}=L t 1⋅L t 2⋅L t 3E [X (t 1)X (t 2)X (t 3)]{}第3章随机过程的线性变换n⏹3.1 变换的基本概念和基本定理n⏹3.2 随机过程通过线性系统分析n⏹3.3 限带过程n⏹3.5 最佳线性滤波器n⏹3.6 线性系统输出端随机过程的概率分布L Y第3章随机过程的线性变换n⏹3.1 变换的基本概念和基本定理n⏹3.2 随机过程通过线性系统分析n⏹ 3.2.1 冲激响应法n⏹3.3 限带过程n⏹3.5 最佳线性滤波器n⏹3.6 线性系统输出端随机过程的概率分布h(t)第3章随机过程的线性变换n⏹3.1 变换的基本概念和基本定理n⏹3.2 随机过程通过线性系统分析n⏹ 3.2.1 冲激响应法n⏹ 3.2.*关于输入输出平稳性的讨论n⏹ 3.2.2 频谱法n⏹3.3 限带过程n⏹3.5 最佳线性滤波器n⏹3.6 线性系统输出端随机过程的概率分布n⏹概念介绍n⏹因果系统（物理可实现系统）1）物理意义：输出不超前于输入2）数学定义：，h t()=0t≤0n⏹因果信号（物理可实现信号）1）定义：t＝0 后接入系统的信号称为因果信号2）对因果信号的理解3）对“系统起始状态为0”的理解平稳过程X (t )线性时不变系统平稳过程线性时不变因果系统从平稳过程X (t )平稳过程Y (t )=X (t −u )h (u )du −∞+∞∫=X (t −u )h (u )du+∞∫m Y =m X h (u )du0+∞∫ R XY (t +τ,t )=E X (t +τ)Y (t ){}=E X (t +τ)X (t −u )h (u )du+∞∫{}=R X (τ+u )0+∞∫h (u )duR Y (t +τ,t )=E [Y (t +τ)Y (t )] =R X (τ+v −u )h (u )h (v )dudv 0+∞∫0+∞∫ =E X (t +τ−u )h (u )du 0+∞∫Y (t ){}=R XY (τ−u )h (u )du 0+∞∫平稳过程X (t )线性时不变系统平稳过程因果系统从X (t )U (t )非平稳过程非平稳过程0()()()tY t X t u h u du=−∫ R XY (t 1,t 2)=E [X (t 1)Y (t 2)]m Y =m X h (u )du0t∫=R X (t 1,t 2−u )h (u )du 0t 2∫=E [X (t 1)X (t 2−u )0t 2∫h (u )du ]=R X (τ+u )h (u )dut 2∫R Y (t 1,t 2)=E [Y (t 1)Y (t 2)] =R XY (t 1−u ,t 2)h (u )du 0t 1∫ =E [X (t 1−u )h (u )duY (t 2)0t 1∫] =R XY (τ−u )h (u )du 0t 1∫=R X (τ−u +v )h (v )h (u )dv dut 2∫t 1∫平稳过程X (t )线性时不变系统平稳过程因果系统t X (t )U (t )非平稳过程非平稳过程达到稳态（平稳过程）从第3章随机过程的线性变换n⏹3.1 变换的基本概念和基本定理n⏹3.2 随机过程通过线性系统分析n⏹ 3.2.1 冲激响应法n⏹ 3.2.2 频谱法n⏹3.3 限带过程n⏹3.5 最佳线性滤波器n⏹3.6 线性系统输出端随机过程的概率分布n 利用系统的传递函数来分析输出的统计特性GXY (ω)=H*(ω)GX(ω)GY (ω)=H(ω)GXY(ω)GY (ω)=H*(ω)H(ω)GX(ω)=|H(ω)|2GX(ω)GYX (ω)=H(ω)GX(ω)GY (ω)=H*(ω)GYX(ω)时域冲激响应法频域频谱法系统特性描述h(t)H(ω)适用范围平稳／非平稳平稳特点适用于h(t)简单的情况便于计算第3章随机过程的线性变换n⏹3.1 变换的基本概念和基本定理n⏹3.2 随机过程通过线性系统分析n⏹3.3 限带过程n⏹3.5 最佳线性滤波器n⏹3.6 线性系统输出端随机过程的概率分布第3章随机过程的线性变换n⏹3.1 变换的基本概念和基本定理n⏹3.2 随机过程通过线性系统分析n⏹3.3 限带过程n⏹ 3.3.1 低通过程n⏹3.5 最佳线性滤波器n⏹3.6 线性系统输出端随机过程的概率分布低通随机过程的功率谱理想低通随机过程的自相关函数第3章随机过程的线性变换n⏹3.1 变换的基本概念和基本定理n⏹3.2 随机过程通过线性系统分析n⏹3.3 限带过程n⏹ 3.3.1 低通过程n⏹ 3.3.2 带通过程n⏹3.5 最佳线性滤波器n⏹3.6 线性系统输出端随机过程的概率分布RX (τ)=1πGX(ω)+∞∫cosωτdω=Nωcπ•sinωcτωτ•cosωτ=1πN2ω0−ωcω0+ωc∫cosωτdω3.3.2 带通过程n⏹平均功率的计算n⏹对于带通系统，输出平均功率：n⏹对于低通系统，输出平均功率：R Y (0)=12π•F Y (ω)d ω0+∞∫ =12πΔωe F Y (ω0)=N 0Δf e |H (ω0)|2R Y (0)=12π•F Y (ω)d ω0+∞∫ =12πΔωe F Y (0)=N 0Δf e |H (0)|2例3.7 白噪声通过如图所示的RC电路，分析输出的统计特性。

α2RC电路第3章随机过程的线性变换n⏹3.1 变换的基本概念和基本定理n⏹3.2 随机过程通过线性系统分析n⏹3.3 限带过程n⏹3.5 最佳线性滤波器n⏹3.6 线性系统输出端随机过程的概率分布3.5 最佳线性滤波器n⏹1 为什么要使用最佳线性滤波器？n⏹2 最佳线性滤波器的原理n⏹3 最佳线性滤波器的物理意义n⏹4 匹配滤波器n⏹5 （拓展）广义匹配滤波器3.5 最佳线性滤波器n⏹1 为什么要使用最佳线性滤波器？n⏹2 最佳线性滤波器的原理n⏹3 最佳线性滤波器的物理意义n⏹4 匹配滤波器n⏹5 （拓展）广义匹配滤波器。