拓扑相关热载荷作用下稳态热传导结构拓扑优化_张晖
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[ 4] [ 3]
料, 我们通常采用惩罚中间密度方法解决, 常用的 有 SIMP 方 法 和 RAMP 方 法 。本文 采用 Guest 等 [ 10] 提出的正则化的 H eaviside 函数压缩 中间密度材料。 采用正则化的 H eaviside 函数表示的材料密 度和结构热导率的插值表达式为
收稿日期 : 2008
07
10
基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 ( 10572030, 10721062) 、 国 家重点基础研 究发展 计划资 助项 目 ( 2006CB601205 ) ; 教 育部 新 世纪优秀人才支持计划资助项目 ( N CET - 04- 0272)
[ 4]
O h S R, M ankala K, A gr awal S K , et al. D ynamic M o deling and Ro bust Contro ller Desig n o f a T w o stage P arallel Cable Robot [ C] / / P ro ceedings of the 2004 IEEE Int er national Conference on Ro bo tics & A ut omatio n. 3683. N ew O rleans, U SA , 2004: 3678 [ 9] [ 8]
Topology Optimization of Steady- state Heat Conduction Problems with Design- dependent Heat Loads Zhang H ui1 L iu Shut ian 1 Zhang Xiong 2 1. St at e Key L abo rat or y o f Str uctural Analysis fo r Indust rial Equipm ent s, Dalian U niversit y of T echno logy , Dalian, 116024 2. Korea Advanced Inst it ut e o f Science and T echnolo gy, Daejeon, 305- 701 Abstract: T opolo gy opt im ization of steady - st ate heat conduct ion problems w it h t opolog y dependent heat so ur ces w as studied herein. T he nodal t emperat ur e v ar iance in the desig n reg ion w as pro posed as t he object iv e funct ion t o est imat e t he ex tent of t he unif orm ity of t emperat ur e dist ribut ion and t he t ot al vo lum e of high heat conductive mat erial w as used as the const raint . T he desig n dependent heat lo ads derived f rom the heat source densit y w ere t aken int o considerat io n in the opt imizat ion. T he reg ularized H eaviside f unction w as ado pt ed t o relat e t he mat erial densit y t o the mat erial heat propert y and the discret e 0/ 1 design w as o bt ained. Several num erical ex amples demonst rat e t he validit y of t he proposed o bject ive f unct ion and t he o pt imizat ion met ho d. Key words: to polo gy opt im ization; heat conduction; t opolog y- dependent load; H eaviside funct ion
作者简介 : 刘
[ 5]
訾斌 , 杜敬利 , 段宝岩 . 索支 撑柔性 结构的 动力学 分 析与控制 [ J] . 中国机 械工 程 , 2006, 17( 12) : 1249 1253.
( 编辑
张
洋)
[ 6]
Ro ber t L W
, Gallina P , V adia J. Planar T r ans-
拓扑相关热载荷作用下稳态热传导结构拓扑优化
张 晖
刘书田
张
雄
拓扑相关热载荷作用下稳态热传导结构拓扑优化
张 晖1 刘书田1 张 雄2
1. 大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室, 大连, 116024 2. 韩国科学技术院, 大田, 305- 701
摘要 : 针对热源随结构形式变化的稳态结构热传导拓扑优化问题 , 提出了以温度方差为目标函数来 评价设计域内温度分布的均匀程度的方法, 同时考虑结构内热源引起的热载荷的拓扑相关性 , 以高热导 率材料的体积用量为约束建立了拓扑优化模型。 采用正则化的 H eaviside 函数建立了材料插值模型, 获得了清晰的 0/ 1 拓扑。 数值算例验证了所提出的目标函数以及采用的求解方法的合理性与有效性。 关键词: 拓扑优化; 热传导 ; 拓扑相关载荷 ; H eaviside 函数 中图分类号 : O39 文章编号 : 1004 132X( 2009) 11 13 哈尔 滨工 程大学 机电 工程 学
lational Cable - direct - dr iven Robot s[ J] . Jour nal of R obotic Sy stems, 2003, 20( 3) : 107 - 120. [ 7] Fang Shiqing , Franit za D, T or lo M , et al. M otion Contro l of a T endon - based Par allel M anipulator U sing Optimal T ension Distr ibubito n [ J ] . IEEE/
Find min s. t.
i
f = ( T - T) T ( T - T) KT = P
n
V=
i= 1
i
v i = V0Vf
i
( 3) ,N
n
0<
1 , 1) T
i = 1, 2, t= 1 n
T = t( 1 , 1 ,
ti
i= 1
式中 , T 为节点温度列阵 ; t 为节点平均温度 ; t i 为第 i 个节 点的温度值 ; n 为设计域内节点 的个数 ; K 为热传 导矩阵 ; P 为热载荷向量 ; V 为高热导率材料 体积 ; v i 为单元体积 ; V 0 为设计域体积 ; V f 为给定高热导率 材料体积分数比 ; N 为设计域中单元的个数。
由图3a可见高热导率材料沿等温线分布在散热边界这种材料分布方式一方面可保证高热导率材料拓扑内边界上各节点温度接近从而使结构内部低热导率材料区域的温度均匀分布极大地降低了设计域内的温度方差有效提高了结构内的温度均匀分布状况最优拓扑的温度分布云图3b也证实了这一点这说明了本文提出的目标函数及灵敏度求解的正确性和有效性且采用heaviside插值函数获得了清晰的拓扑便于实际结构的制造
当 = 0 时 , 材料密度和材料热导率之间为线 性插值; 当 数, 即
ki = k0 k min 当 当
i i
时 , 插值函数变为 H eaviside 函
> 0 = 0
( 2)
与 SIM P 和 RAM P 方法相比 , 正则化的 H eav iside 函数作为材料插值函数可以获得接近 0/ 1 的清晰 拓扑。 实际计算中, 通常取一个比较大的数。 本文采用设计域内温度方差最小化作为目标 来描述结构中温度均匀分布的程度 , 以高热导率 材料的用量为约束, 在给定边界条件下 , 建立稳态 热传导问题的拓扑优化模型。 拓扑优化的数学模型为
k i = kmi n + ( 1 - ei
[ 11]
[ 12]
以散
热弱度为目标函数 , 同时在优化问题的求解中考 虑了热载荷的拓扑相关性 , 并分析了载荷拓扑相 关性引 入优 化问 题进行 计算 的必 要性。 Zhang 等 基于拓扑优化方法研究了体 - 点问题的导热 通道优化设计, 并与仿生优化的结果进行了比较。 左孔 天 等[ 6] 以 最 小 化 散 热 弱 度 为 目 标 , 基 于 SIM P ( so lid isot ropic mat erial w it h penalizat ion) 材料插值模型, 研究了不同初始边界条件下具有 最佳散热效果的传热结构拓扑。李家春等[ 7] 基于 PAM P( rational approx im at ion of mat erial prop ert ies) 模型和准则法求解了稳态热传导结构拓扑 优化问题。龙凯等 将 ICM ( independent con t inuo us m apping) 法推广到稳态热传导结构拓扑 优化问题中 , 讨论了单元总热能、 节点温度、 区域 内节点温度平方和三种性能指标下的材料分布, 并研究了多工况下的稳态热传导拓扑优化问题。 然而 , 某些实际结构如取暖器或者电子器件, 往往 希望结构内温度能够均匀分布。但现有研究中常 用的如基于结构总热能的散热弱度最小化或者给 定节点处的温度最小化等散热指标只能在一定程 度上近似描述温度均匀分布, 不能准确描述这一 类问题。事实上 , 总能量一定的条件下 , 温度均匀 分布与最高温度最低具有类似的效果。 本文基于正则化的 H eaviside 函数[ 10] 光滑设 计变量, 以设计域内温度分布均匀化为目标建立 稳态热传导拓扑优化模型 , 同时考虑结构内热载 荷的拓扑相关性, 研究稳态热传导下的拓扑优化 问题 , 推导目标函数的灵敏度表达式, 并对数值算 例进行分析。
0
引言
航空、 航天以及热动力机械需要满足一定的
散热要求以保证关键零部件的正常工作。通过设 计结构的拓扑形式 , 将输入的热量迅速有效地导 入到 散热部位, 可以有效提 高结构的散热性能。 国内外已有很多学者对这类热传导结构优化问题 进行 了 研 究。 L i 等[ 1- 2] 基 于 ESO ( evolut ionary st ruct ural opt imizat io n) 方法 , 以结构指定点处的
院博士研究生。研究方向为机器人技术、 绳索牵引系统。发表 论 文 5 篇。 张立勋 , 男 , 1962 年生。哈尔滨工 程大学机 电工程学 院 教授、 博士研 究生 导师。 王克义 , 男 , 1979 年生。哈 尔滨 工程 大 学机电工程学院博士研究生。 张今瑜 , 女 , 1962 年 生。哈尔滨 工 程大学机电工程学院教授、 博士研究生导师。
1339
中国机械工程第 20 卷第 11 期 2009 年 6 月上半月
温度最低为目标, 通过删除或弱化具有负灵敏度 值的单 元, 得 到 了 稳态 热 传 导 下 的结 构 拓 扑。 Gersbo rg- H ansen 等 将有限体积法运用到稳 态热传导优化问题的求解中, 并以散热弱度为目 标, 获得了最优的散热结构形式。 Gao 等
[8 - 9] [ 5]
+
i
e- ) ( k0 - kmi n )
( 1)
式中 , ki 为插值之 后的单元 i 的热 导率 ; k min 、 k 0 分别为 低 热导率材料和高热导率材料的热导率 ; 参数。
i
为单元 i 中高 热 为控 制
导率材料的 密度 , 即 高热导率 材料的 存在状 态 ;
A SM E transact ions o n mechatro nics, 2004, 9 ( 3) : 561 - 567. 郑亚青 , 林 麒 , 刘雄伟 . 低 速风洞绳 牵引并 联支撑 系 统的机构与模型姿 态控制 方案设 计 [ J] . 航空 学报 , 2005, 26( 6) : 774 -778. 张立勋 , 王 克义 , 张 今瑜 , 等 . 基于 绳索 牵引 的骨 盆 运动并联康复机器人的可控性研究 [ J] . 哈尔滨工 程 大学学报 , 2007, 28( 7) : 790 - 794.
料, 我们通常采用惩罚中间密度方法解决, 常用的 有 SIMP 方 法 和 RAMP 方 法 。本文 采用 Guest 等 [ 10] 提出的正则化的 H eaviside 函数压缩 中间密度材料。 采用正则化的 H eaviside 函数表示的材料密 度和结构热导率的插值表达式为
收稿日期 : 2008
07
10
基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 ( 10572030, 10721062) 、 国 家重点基础研 究发展 计划资 助项 目 ( 2006CB601205 ) ; 教 育部 新 世纪优秀人才支持计划资助项目 ( N CET - 04- 0272)
[ 4]
O h S R, M ankala K, A gr awal S K , et al. D ynamic M o deling and Ro bust Contro ller Desig n o f a T w o stage P arallel Cable Robot [ C] / / P ro ceedings of the 2004 IEEE Int er national Conference on Ro bo tics & A ut omatio n. 3683. N ew O rleans, U SA , 2004: 3678 [ 9] [ 8]
Topology Optimization of Steady- state Heat Conduction Problems with Design- dependent Heat Loads Zhang H ui1 L iu Shut ian 1 Zhang Xiong 2 1. St at e Key L abo rat or y o f Str uctural Analysis fo r Indust rial Equipm ent s, Dalian U niversit y of T echno logy , Dalian, 116024 2. Korea Advanced Inst it ut e o f Science and T echnolo gy, Daejeon, 305- 701 Abstract: T opolo gy opt im ization of steady - st ate heat conduct ion problems w it h t opolog y dependent heat so ur ces w as studied herein. T he nodal t emperat ur e v ar iance in the desig n reg ion w as pro posed as t he object iv e funct ion t o est imat e t he ex tent of t he unif orm ity of t emperat ur e dist ribut ion and t he t ot al vo lum e of high heat conductive mat erial w as used as the const raint . T he desig n dependent heat lo ads derived f rom the heat source densit y w ere t aken int o considerat io n in the opt imizat ion. T he reg ularized H eaviside f unction w as ado pt ed t o relat e t he mat erial densit y t o the mat erial heat propert y and the discret e 0/ 1 design w as o bt ained. Several num erical ex amples demonst rat e t he validit y of t he proposed o bject ive f unct ion and t he o pt imizat ion met ho d. Key words: to polo gy opt im ization; heat conduction; t opolog y- dependent load; H eaviside funct ion
作者简介 : 刘
[ 5]
訾斌 , 杜敬利 , 段宝岩 . 索支 撑柔性 结构的 动力学 分 析与控制 [ J] . 中国机 械工 程 , 2006, 17( 12) : 1249 1253.
( 编辑
张
洋)
[ 6]
Ro ber t L W
, Gallina P , V adia J. Planar T r ans-
拓扑相关热载荷作用下稳态热传导结构拓扑优化
张 晖
刘书田
张
雄
拓扑相关热载荷作用下稳态热传导结构拓扑优化
张 晖1 刘书田1 张 雄2
1. 大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室, 大连, 116024 2. 韩国科学技术院, 大田, 305- 701
摘要 : 针对热源随结构形式变化的稳态结构热传导拓扑优化问题 , 提出了以温度方差为目标函数来 评价设计域内温度分布的均匀程度的方法, 同时考虑结构内热源引起的热载荷的拓扑相关性 , 以高热导 率材料的体积用量为约束建立了拓扑优化模型。 采用正则化的 H eaviside 函数建立了材料插值模型, 获得了清晰的 0/ 1 拓扑。 数值算例验证了所提出的目标函数以及采用的求解方法的合理性与有效性。 关键词: 拓扑优化; 热传导 ; 拓扑相关载荷 ; H eaviside 函数 中图分类号 : O39 文章编号 : 1004 132X( 2009) 11 13 哈尔 滨工 程大学 机电 工程 学
lational Cable - direct - dr iven Robot s[ J] . Jour nal of R obotic Sy stems, 2003, 20( 3) : 107 - 120. [ 7] Fang Shiqing , Franit za D, T or lo M , et al. M otion Contro l of a T endon - based Par allel M anipulator U sing Optimal T ension Distr ibubito n [ J ] . IEEE/
Find min s. t.
i
f = ( T - T) T ( T - T) KT = P
n
V=
i= 1
i
v i = V0Vf
i
( 3) ,N
n
0<
1 , 1) T
i = 1, 2, t= 1 n
T = t( 1 , 1 ,
ti
i= 1
式中 , T 为节点温度列阵 ; t 为节点平均温度 ; t i 为第 i 个节 点的温度值 ; n 为设计域内节点 的个数 ; K 为热传 导矩阵 ; P 为热载荷向量 ; V 为高热导率材料 体积 ; v i 为单元体积 ; V 0 为设计域体积 ; V f 为给定高热导率 材料体积分数比 ; N 为设计域中单元的个数。
由图3a可见高热导率材料沿等温线分布在散热边界这种材料分布方式一方面可保证高热导率材料拓扑内边界上各节点温度接近从而使结构内部低热导率材料区域的温度均匀分布极大地降低了设计域内的温度方差有效提高了结构内的温度均匀分布状况最优拓扑的温度分布云图3b也证实了这一点这说明了本文提出的目标函数及灵敏度求解的正确性和有效性且采用heaviside插值函数获得了清晰的拓扑便于实际结构的制造
当 = 0 时 , 材料密度和材料热导率之间为线 性插值; 当 数, 即
ki = k0 k min 当 当
i i
时 , 插值函数变为 H eaviside 函
> 0 = 0
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与 SIM P 和 RAM P 方法相比 , 正则化的 H eav iside 函数作为材料插值函数可以获得接近 0/ 1 的清晰 拓扑。 实际计算中, 通常取一个比较大的数。 本文采用设计域内温度方差最小化作为目标 来描述结构中温度均匀分布的程度 , 以高热导率 材料的用量为约束, 在给定边界条件下 , 建立稳态 热传导问题的拓扑优化模型。 拓扑优化的数学模型为
k i = kmi n + ( 1 - ei
[ 11]
[ 12]
以散
热弱度为目标函数 , 同时在优化问题的求解中考 虑了热载荷的拓扑相关性 , 并分析了载荷拓扑相 关性引 入优 化问 题进行 计算 的必 要性。 Zhang 等 基于拓扑优化方法研究了体 - 点问题的导热 通道优化设计, 并与仿生优化的结果进行了比较。 左孔 天 等[ 6] 以 最 小 化 散 热 弱 度 为 目 标 , 基 于 SIM P ( so lid isot ropic mat erial w it h penalizat ion) 材料插值模型, 研究了不同初始边界条件下具有 最佳散热效果的传热结构拓扑。李家春等[ 7] 基于 PAM P( rational approx im at ion of mat erial prop ert ies) 模型和准则法求解了稳态热传导结构拓扑 优化问题。龙凯等 将 ICM ( independent con t inuo us m apping) 法推广到稳态热传导结构拓扑 优化问题中 , 讨论了单元总热能、 节点温度、 区域 内节点温度平方和三种性能指标下的材料分布, 并研究了多工况下的稳态热传导拓扑优化问题。 然而 , 某些实际结构如取暖器或者电子器件, 往往 希望结构内温度能够均匀分布。但现有研究中常 用的如基于结构总热能的散热弱度最小化或者给 定节点处的温度最小化等散热指标只能在一定程 度上近似描述温度均匀分布, 不能准确描述这一 类问题。事实上 , 总能量一定的条件下 , 温度均匀 分布与最高温度最低具有类似的效果。 本文基于正则化的 H eaviside 函数[ 10] 光滑设 计变量, 以设计域内温度分布均匀化为目标建立 稳态热传导拓扑优化模型 , 同时考虑结构内热载 荷的拓扑相关性, 研究稳态热传导下的拓扑优化 问题 , 推导目标函数的灵敏度表达式, 并对数值算 例进行分析。
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引言
航空、 航天以及热动力机械需要满足一定的
散热要求以保证关键零部件的正常工作。通过设 计结构的拓扑形式 , 将输入的热量迅速有效地导 入到 散热部位, 可以有效提 高结构的散热性能。 国内外已有很多学者对这类热传导结构优化问题 进行 了 研 究。 L i 等[ 1- 2] 基 于 ESO ( evolut ionary st ruct ural opt imizat io n) 方法 , 以结构指定点处的
院博士研究生。研究方向为机器人技术、 绳索牵引系统。发表 论 文 5 篇。 张立勋 , 男 , 1962 年生。哈尔滨工 程大学机 电工程学 院 教授、 博士研 究生 导师。 王克义 , 男 , 1979 年生。哈 尔滨 工程 大 学机电工程学院博士研究生。 张今瑜 , 女 , 1962 年 生。哈尔滨 工 程大学机电工程学院教授、 博士研究生导师。
1339
中国机械工程第 20 卷第 11 期 2009 年 6 月上半月
温度最低为目标, 通过删除或弱化具有负灵敏度 值的单 元, 得 到 了 稳态 热 传 导 下 的结 构 拓 扑。 Gersbo rg- H ansen 等 将有限体积法运用到稳 态热传导优化问题的求解中, 并以散热弱度为目 标, 获得了最优的散热结构形式。 Gao 等
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e- ) ( k0 - kmi n )
( 1)
式中 , ki 为插值之 后的单元 i 的热 导率 ; k min 、 k 0 分别为 低 热导率材料和高热导率材料的热导率 ; 参数。
i
为单元 i 中高 热 为控 制
导率材料的 密度 , 即 高热导率 材料的 存在状 态 ;
A SM E transact ions o n mechatro nics, 2004, 9 ( 3) : 561 - 567. 郑亚青 , 林 麒 , 刘雄伟 . 低 速风洞绳 牵引并 联支撑 系 统的机构与模型姿 态控制 方案设 计 [ J] . 航空 学报 , 2005, 26( 6) : 774 -778. 张立勋 , 王 克义 , 张 今瑜 , 等 . 基于 绳索 牵引 的骨 盆 运动并联康复机器人的可控性研究 [ J] . 哈尔滨工 程 大学学报 , 2007, 28( 7) : 790 - 794.