理解导数 8Y

选定一个中心点x0 ，从坐标的角度讲，可以看成是把原点平移；从物理角度说，是给定一个初始点；从观察角度议，是选好一个边际点。

微量分析考虑的问题是：在x0 点邻近，如果自变量x 有一个增量Δx ,则函数相应该有增量Δy = f（x0+Δx－f（x0），我们如何表述，研究及估计这个Δy 呢？
最自然的第一考虑是―变化率‖。

中国人把除法称为―归一法‖。

无论Δx 的绝对值是多少，Δy／Δx 总表示，―当自变量变化一个单位时，函数值平均变化多少。

‖
定义令Δx 趋于零，如果增量商Δy／Δx 的极限存在，就称函数在点x0 可导。

称极限值为函数在点x0 的导数。

记为Δx → 0 ，lim（Δy／Δx）= f ′(x0) 或Δx → 0 ，lim (（f（x0+Δx）－f（x0））／(x－x0）) = f ′(x0) 或x →x0，lim (（f（x）－f（x0））／(x－x0）) = f ′(x0)
理解1你首先要熟悉“增量”这个词。

它代表着一个新的思维方式。

增量Δy 研究好了，在x0邻近，f（x）= f（x0）+ Δy ，函数就有了一个新的表述方式。

回头用―增量‖语言说连续，则―函数在点x0连续‖ 等价于―Δx 趋于0 时，相应的函数增量Δy 一定趋于0‖
理解2要是以产量为自变量x，生产成本为函数y ，则Δy／Δx 表示，在已经生产x0件产品的状态下，再生产一件产品的平均成本。

导数则是点x0 处的―边际成本‖。

（画外音：―生产‖过程中诸元素的磨合，自然会导致成本变化。

）
如果用百分比来描述增量，则（Δy/y）／（Δx/x）表示，在x0 状态下，自变量变化一个百分点，函数值平均变化多少个百分点。

如果Δx 趋于零时极限存在，称其（绝对值）为y 对x 的弹性。

理解3 如果函数f 在区间的每一点处可导，就称f 在此区间上可导。

这时，区间上的点与导数值的对应关系构成一个新的函数。

称为f 的导函数。

简称导数。

函数概念由此得到深化。

用定义算得各个基本初等函数的导数，称为―求导公式‖。

添上―和，差，积，商求导法则‖与―复合函数求导法则‖，我们就可以计算初等函数的导数。

例24 设函数f(x) =（n→∞）lim(（1 + x）∕（1 + x 的2 n次方）), 讨论函数f(x) 的间断点，其结论为（A）不存在间断点（B）存在间断点x = 1 （C）存在间断点x = 0 （D）存在间断点x = －1 分析这是用极限定义的函数，必须先求出f(x) 的解析表达式，再讨论其连续性。

任意给定一点x ，(视为不变。

)此时，把分母中的―x的2n次方‖项看成是―（x平方）的n次方‖，这是自变量为n 的指数函数。

令n→∞ 求极限计算相应的函数值。

鉴于指数函数分为两大类，要讨论把x 给定在不同区间所可能的影响。

（潜台词：函数概念深化，就在这变与不变。

哲学啊！）算得－1＜x＜1 时，f(x) = 1 + x ；f(1)=1 ；f(－1) = 0
而x＜－1 或x＞1 时，恒有f(x) = 0 ，观察得x →1 时，lim f(x) = 2 ；应选（B）。

理解4 运用定理（2），―极限存在的充分必要条件为左、右极限存在且相等。

‖则
“函数在点x0可导”等价于“左，右导数存在且相等”。

讨论分段函数在定义分界点x0处的可导性，先看准，写下中心点函数值f（x0），然后分别在x0两側算左导数，右导数。

例25（1）h 趋于0+ 时，lim( f(h)－f(0）)/h 存在不等价于函数在0 点可导，因为它只是右导数。

（2）h 趋于0 时，lim (f(2h)－f（h））/h 存在不等价于函数在0 点可导，因为分子中的函数増量不是相对于中心点函数值的増量。

请对比: 如果f（x）函数在0 点可导，则h→0 时，lim (f(2h)－f（h））/ h = lim (f(2h)－f(0）+ f(0）－f（h））/ h = 2lim (f(2h)－f(0）) / 2h －lim (f（h）－f(0))/ h = 2 f ′(0) －f ′(0) = f ′(0)
（画外音：我把上述恒等变形技术称为―添零项获得增量‖。

考试中心认为你一定会这个小技术。

（2）中的不等价，要点在于，即便（2）中的极限存在，f（x）在0 点也可能不可导。

你可以作上述恒等变形，但是，你无法排除“不存在－不存在= 存在”）
例26 若函数f（x）满足条件f（1+x）= a f（x），且f ′(0) = b，数a≠0，b≠0 则
（A）f（x）在x = 1不可导。

（B）f ′(1) = a （C）f ′(1) = b （D）f ′(1) =a b 分析将f ′(0) = b 还原为定义lim (f(0+h)－f（0））/ h = b ,
要算f ′(1) ，考查lim (f(1+h)－f（1））/ h ；如何向f ′(0) 的定义式转化？！只能在已知恒等式上下功夫。

显然f(1+h)= a f（h）；而f（1）= f（1+0）= a f（0）lim (f(1+h)－f（1））/ h = lim a (f(h)－f（0））/ h = ab 应选（D）。

*理解5 两个无穷小的商求极限，就可以看成是两个无穷小的比较。

于是，
连续函数f（x）在点x0 可导的充分必要条件是，x →x0时，函数增量Δy 是与Δx 同阶，或较Δx 高阶的无穷小。

考研的小题目中，经常在原点讨论可导性，且往往设函数在原点的值为零。

我称这为―双特殊情形‖。

这时，要讨论的增量商简化为f（x）/x ，联想一下高低阶无穷小知识，可以说，―双特殊情形‖下函数在原点可导，等价于x 趋于0 时，函数是与自变量x 同阶或比x 高阶的无穷小。

如果函数结构简单，你一眼就能得出结论。

例27 设函数f（x）在点x = 0 的某邻域内有定义，且恒满足∣f (x)∣≤ x 平方，则点x = 0 必是f (x) 的（A）间断点。

（B）连续而不可导点。

（C）可导点，且f ′(0) = 0 （D）可导点，且 f ′(0) ≠ 0
分析本题中实际上有夹逼关系0 ≤∣f (x)∣≤ x 平方，在x = 0 的某邻域内成立。

这就表明f（0）= 0 ，且∣f (x) / x∣≤∣ x∣，由夹逼定理得，f ′(0) = 0，应选（C）。

例28 设有分段函数f (x)：x ＞0 时，f (x) = (1－cosx)∕√x ；x ≤ 0 时，f (x) = x 平方g(x)
其中，g(x) 为有界函数。

则 f (x) 在点x = 0
（A）不存在极限。

（B）存在极限，但不连续。

（C）连续但不可导。

（D）可导。

分析由定义得中心点函数值f（0）= 0 ；本题在―双特殊情形‖下讨论。

x ＞0 时，显然f (x) 是比x 高阶的无穷小。

右导数为0 （潜台词：1－cosx 是平方级无穷小。

）x ≤ 0 时，f (x) / x = xg(x) ，用夹逼法可判定左导数为0 ；应选（D）。

*理解6运用定理（3），若f（x）函数在点x0 可导，即有已知极限Δx → 0 ，lim（Δy／Δx）= f ′(x0)
于是Δy／Δx = f ′(x0) + α(x)（无穷小）；即Δy = f ′(x0) Δx + α(x)Δx 由此即可证明，函数在点x0可导，则一定在x0连续。

―如果分母是无穷小，商的极限存在，则分子也必定是无穷小。

”
经济类的考生可以这样来体验―可导一定连续‖。

考数学一，二的同学则应将此结论作为一个练习题。

把导数定义中的极限算式记得用得滚瓜烂熟，你就既不会感到它抽象，也不会感到有多难。

考研的题目设计都很有水平，如果側重考概念，题目中的函数结构通常都比较简单。

Ѡ函数在一点x0可导，其导数值也就是函数图形在点（x0，f（x0））处的切线斜率。

从这个意义出发，我们有时把函数可导说成是―函数光滑‖。

1 典型的不可导
可导一定连续。

函数的间断点自然是不可导点。

这是平凡的。

我们感兴趣的是函数连续而不可导的点。

最简单也最实用的反例是绝对值函数y =∣x∣。

这是一个分段函数。

还原成分段形式后，在点x = 0 两侧分别用定义计算，易算得右导数为1 ，左导数是－1
进一步的反例是y =∣sinx∣在点x = 0 和y =∣lnx∣在点x = 1 连续而不可导。

从图形变化上去看一个连续函数取绝对值，那是件非常有趣的事情。

连续函数在相邻的两个零点之间不变号。

如果恒正，每一个正数的绝对值就是自已。

在这两个零点间的函数图形不变。

如果恒负，每一个负数的绝对值都是它的相反数。

这两个零点间的函数图形由x轴下面对称地反射到了x 轴上方。

y =sinx 在原点的左侧邻近为负，右侧邻近为正。

它的图形在原点右侧段不变，将左侧段对称地反射到上半平面，就是y =∣sinx∣的图形。

反射使得图形在原点处形成一个尖角，不光滑了。

这是否是一个普遍规律？不是！比如y = x立方与y = | x立方| 在x = 0 点都可导。

函数y = x立方的图形叫―立方抛物线‖。

在点x = 0，函数导数为0，图形有水平的切线横穿而过。

（潜台词：真有特色啊，突破了我们原有的切线印念。

）要是取绝对值，图形的原点左侧段对称地反射到上半平面，但水平的切线保持不变。

新函数仍然光滑。

这里的关键在于，函数值为0，导数值也为0，x = 0 是立方函数的重零点。

综合上述, 在f (x) 恒为正或恒为负的区间上，曲线y = | f (x) | 和曲线y = f (x) 的光滑性是一致的。

只有在f (x) 的零点处，才可能出现曲线y = f (x)光滑而曲线y = | f (x) | 不光滑的状况。

例31 f (x) 在点x = a 可导，则| f (x) | 在x = a 不可导若函数的充分必要条件是
（A）f (a) = 0且f ′(a) = 0 （B）f (a) = 0 且f ′(a) ≠ 0 （C）f (a) > 0 且f ′(a) > 0 （D）f (a) > 0 且f ′(a) ＜0分析如果没有思路，首先联想y = x 与y = | x | 即可排除（A）；
俗语说，连续函数“一点大于0，则一段大于0”；相应绝对值就是自己。

（C）（D）显然都错；只有选（B）。

（画外音：如果用代数语言，f (x)可导，f (a) = 0，而f ′(a) ≠ 0，则点a是f (x)的单零点。

这道题该算擦边题。

）2．讨论深化
我在讲座（2）中举例，―连续A + 不连续B = ？‖ 如果，―连续A + 不连续B = 连续C‖ 则― 连续C －连续A = 不连续B‖这与定理矛盾。

所以有结论：连续函数与不连续函数的和一定不连续。

推理的关键在于，逆运算减法可行。

自然类似有：可导A +（连续）不可导B = 不可导C。

比如y = x +∣sinx∣在点x = 0 不可导。

例32 函数f（x）=∣sin x∣+∣cos x∣的不可导点是（？）
分析函数为―和‖结构。

无论是∣sin x∣的不可导点或∣cos x∣的不可导点，都是f 的不可导点。

即x = kπ 与x = kπ +π/2 ，k = 0，±1，±2，…更深化的问题是：可导A × (连续)不可导B ，是可导还是不可导？比如y = x ∣x∣在点0可导吗？与―和‖的情形相比，积的逆运算不一定可行。

当且仅当A≠0 时，才有C/A = B 所以
结论1，若f（x）在点x0 可导，且f（x0）≠ 0，g（x）在点x0 连续不可导，则积函数y= f（x）g（x）在点x0 一定不可导。

结论2（*例33）已知函数f (x) 在点x = a 可导，函数g (x) 在点x = a 连续而不可导，试证明
积函数F（x）= f（x）g（x）在点x = a 可导的充分必要条件是 f (a) = 0.
证明先证充分性，设 f (a) = 0 则 F (a) = 0
令h→0 , F ′(a) = lim (F(a+h)－F（a））/ h = lim f(a+h) g（a+h）/ h= (lim (f(a + h) －f（a）)/ h ) lim g（a + h）= f ′(a) g（a）再用反证法证必要性。

设函数F (x)在点x = a可导而f (a) ≠ 0.，则由连续函数的性质可知函数f（x）在点x = a的某邻域内恒不为零。

逆运算除法可行。

由结论1知矛盾。

例34 设函数f（x）可导，F（x）= f（x）（1+∣sinx∣），则f（0）= 0 是F(x)在x = 0处可导的
（A）充分必要条件。

（B）充分而非必要条件。

（C）必要而非充分条件。

（D）既非充分又非必要条件。

（选（A））分析1+∣sinx∣是可导函数+连续不可导函数类型，在0点仍然连续但不可导。

由上例结论知应选（A）例35 函数y =（x平方－x－2）∣x立方－x∣的不可导点的个数是
（A）3 （B）2 （C）1 （D）0
分析函数y 具―积‖结构。

y = f（x）g（x），可导函数f（x）= x平方－x－2 只有两个零点x = –1，x = 2，而连续函数g（x）= ∣x立方－x∣有不可导点x = 0，x = 1，x = –1；（即x3－x 的三个零点。

）其中有两个不是f（x）的零点。

积函数在这两点不可导。

（选（B））。

实际上，x = –1 是积函数的而重零点。

3．函数求导（以下所涉及的函数都是可导函数）
函数求导越熟练，高等数学的感觉越好。

只要回忆一下，小时候，九九表你背了用了多少年？！初中时，有理数运算算了多少年？！中学里，代数式运算你又算了多少年？！而学习微积分，你花了多少时间作求导计算？！自己就明白问题之所在了。

求函数的导数，第一设问是，我对什么类型的函数求导？
对初等函数求导，要点是学会熟练地对初等函数作结构分析。

应该设问（步步设问）：“是对复合结构求导还是对四则运算结构求导？”
对含有多个变量（有参变量）的表达式求导，要始终提醒自己：―是对表达式中的哪一个变元求导？”
对分段函数求导，各段分别求导；定义分界点用定义求导
对幂指型函数求导，视y = f（x）为恒等式，先取对数再求导，最后解出y ′
还有隐函数的求导法则；参数式所表述的函数求导；求乘积函数高阶导数的Leibnitz（莱布尼兹）公式。

没办法。

这是首先必须要苦力干活的。

没有捷径可循，
已知函数f（x）满足f（0）= 0 ，fˊ（0）= 0 ，f ″（0）> 0x→0 时，求极限lim f（x）/ x fˊ（x）= ？
思考1，中心点处有这么丰富的信息，赶快用泰勒公式试试
f（x）=（f ″(0) /2）x ² + ο（x ²） f ′(x) = f ″(0) x + ο（x）（潜台词：逐阶运用已知信息，基本技术。

）
原极限= lim（（f ″(0) /2）x ² + ο（x ²））/（f ″(0) x ² + ο（x ²））分子分母同除以x ²，（类型参看讲座（15）。

）可算得原极限= 1/2
思考2，通常用洛必达法则对付抽象函数的极限，要先考查导函数的连续性。

本题中，有三个思考点― f ″（0）存在‖，隐含f ′(x) 在原点邻近存在，且f ′(x) 在0点连续，可以用一次洛必达法则。

一眼晃去，如果用一次洛必达法则，分母变两项，分子还是1项，故可以考虑倒过来求。

用一次洛必达法则后，将出现f ″(x) ，无法计算下去。

（画外音：用洛必达法则的念头快，还是用中值定理，泰勒公式的念头快，这是水平的标志之一。

）
思考3，条件很强的―双特殊情形‖啊，能否用导数定义？
原极限= lim （f（x）/x）/ fˊ（x），不行！非零的因式才能先取极限。

何况分母还是0极限。

如果分子分母再同除以x ，那分母就可以对fˊ（x）在0 点用导数定义。

分子又怎么办呢？
这时，―分子‖为f（x）/x ²，用一次洛必达法则后，与分母一样处理就行了。

请比较。

泰勒公式最深刻，过程最简洁。

在清晰的基本概念，基本理论，基本方法状态下思考。

这是提高的关键。

Ѡ函数在一点连续，隐含函数在此点邻近有定义。

函数在一点可导，则函数必定在此点连续。

―可导‖条件强于―连续‖。

函数在一点二阶可导，则函数的一阶导数必定在此点连续，且一阶导数在此点邻近有定义。

函数在一点连续的充分必要条件是，（以此点为参照。

）当Δx 趋于0 时必有Δ y 趋于0
若函数f (x) 在某区间内有定义，且对区间内任意两点x1 ，x2 总有∣f (x1)-f (x2) ∣≤ C∣x1-x2 ∣，C为常数
就称函数f (x) 在该区间内满足里普希兹条件。

此时，若任选区间内一点为中心点，自然有∣Δ y∣≤ C∣Δx ∣（潜台词：函数增量被自变量增量所控制。

）
这就表明，函数f (x) 必定连续。

―里普希兹条件‖强于―连续‖。

但是，进一步只能有∣Δ y / Δx∣≤ C ，有界不一定有极限。

满足里普希兹条件，不能说明函数可导。

若函数f (x) 在某区间内可导，且导数有界，∣fˊ(x) ∣≤ M则, 对区间内任意两点x1、x2，总可以运用拉格郎日公式得
∣f (x1)-f (x2) ∣=∣fˊ(ξ)∣∣x1-x2 ∣，ξ在x1与x2之间
于是∣f (x1)-f (x2) ∣≤ M∣x1-x2 ∣，即函数f (x) 在该区间内满足里普希兹条件。

综合上述，有―可导‖条件强于―里普希兹条件‖，―里普希兹条件‖强于―连续‖。

有趣的是，函数f (x) 可不可能在某区间内满足下述条件呢？
对区间内任意两点x1 ，x2 总有∣f (x1)-f (x2) ∣≤ C∣x1-x2 ∣的（1+α）次方，C，α 都是正常数
此时，若任选区间内一点x0为中心点，自然有∣Δ y∣≤ C∣Δx∣的（1+α）次方，即∣Δ y / Δx∣≤ C的α次方
令Δx 趋于0 ，可得∣fˊ(x0)∣= 0
由点x0的任意性知，在某区间内∣fˊ(x)∣≡ 0 ，即fˊ(x)≡ 0，f (x) 必为常函数。

逆向思维，这个条件太苛刻了。

一般函数都不能满足它。

一元微积分讲究条件，基本条件要记得准确。

Ѡ考研数学指导（10）微分是个新起点
微分学研究函数的方法，是用函数的导数回头去研究函数。

这和物理学用速度及加速度去研究物体运动是一个道理。

微分则是运用导数研究函数的起点。

线性关系是最简单的函数关系。

我们在生活中遇到的正比例问题举不胜举。

而讨论非线性问题，总是件很困难的事。

到朋友家要上楼，如果他们家的楼梯是非线性的，多半你会摔个跟头。

―能否把非线性问题线性化？‖这是人们在经验基础上的自然思考。

实际上，非线性问题就是非线性问题，所谓“线性化”，只是用一个“合适的”线性模型去近似非线性模型。

即非线性模型= 线性模型+ 尾项（尾项= 非线性模型－线性模型），关键在于表示尾项，研究尾项！找到尾项可以被控制的逼近模型。

把这个思想落实到函数上，就是，在中心点x0邻近，能否有Δy = AΔx + 尾项，尾项= Δy－AΔx 能否是比Δx 高阶的无穷小？
如果能，就称函数在点x0可微分。

简称可微。

记dy = AΔx ，称为函数的微分，又称为函数的线性主部。

将可微定义等式两端同除以Δx，令Δx趋于零取极限即知，若函数在点x0可微，则
A就是函数在点x0的导数f ′(x0)；从而Δy = f ′(x0)Δx +ο(Δx) ；ο(Δx)表示―比Δx高阶的无穷小。

‖
或Δy = dy +ο(Δx) ；dy = f ′(x0)Δx = f ′(x0) dx
要是需要，我们可以丢去尾项，微局部地得到函数值的（线性的）近似计算式。

由于丢去的尾项是比Δx高阶的无穷小，如果∣Δx∣＜0.01 ,那么，绝对誤差也小于0.01
不丢尾项，我们得到函数的一个新的（微局部地）有特定含义的表达式：
f（x）= f（x0）+ Δy = f（x0）+ f ′(x0)Δx +ο(Δx)历史上，这个表达式称为，―带皮阿诺余项的一阶泰勒公式‖。

近一步可以证明，可微与可导等价。

例41 设函数f（u）可导，y = f（x平方）当自变量x在点x = －1取得增量Δx =－0.1时，相应的函数增量Δy的线性主部为0.1，则f ′(1) = _______
分析Δy的线性主部即是微分dy ，而y′(x)= f′(u)2x , y′(1) =－2f′(1)
故dy= y′(x) dx 具体为0.1 = y′(1)( －0.1) ，解得 f ′(1) = 1/2
函数f（x）在一个区间上可导时，我们记微分dy = f ′(x)dx 。

但是不能忘了微分的微局部意义。

函数可微，且f ′(x0)≠0时，还可以把可微定义等式变形为Δy / f ′(x0)Δx = 1 + ο(Δx)∕f ′(x0)Δx
令Δx → 0 取极限，即知Δy和dy是等价无穷小。

为了考试，要尽可能记住一些常用的等价无穷小，例如在x → 0过程中
sinx ～x ；ln（1+x）～x ；e xp（x）－1 ～x ；√（1+ x）－1～x∕2
它们都是在原点计算Δy和dy而获得的。

最好再记住1－cosx ～x 平方∕2
两条经验：（1）常用等价无穷小的拓展——例如，若在某一过程中，若α（x）是无穷小，则
sinα（x）～α（x）；ln（1+ α（x））～α（x）；e α（x）－1 ～α（x）
√（1+ α（x））－1 ～α（x）∕2 ；1－cos α（x）～α（x）平方∕2
（2）等价无穷小的差为高阶无穷小。

例42 设当x → 0时，（1－cosx）ln（1+x平方）是比x（sinx的n次方）高阶的无穷小；
而x (sinx的n次方) 是比exp（x平方）－1 高阶的无穷小，则正整数n = ？
分析x → 0 时，（1－cosx）ln（1+x平方）为4 次方级的无穷小；x(sinx的n次方) 是n+1次方级；
exp（x平方）－1 是2 次方级，由已知，2＜n+1＜4 ，只有n = 2
我们还可以学会主动选定中心点，计算Δy和dy来获得等价无穷小。

例43设在区间[1/2，1）上，f（x）= 1/πx + 1/sinπx－1/π（1－x），试补充定义函数值f（1），使函数在闭区间上连续。

分析（1）点1是右端点，按照连续的定义，应该补充定义f（1）为函数在点1的左极限。

（2）观察函数结构，第一项是连续函数求极限。

第二，三项形成―无穷－无穷‖未定式。

（3）―计算无穷－无穷，能通分时先通分‖。

通分后化为0/0型未定式。

求商的极限是否顺利，关健在于分母。

要尽可能先简化分母。

（4）公分母为π(1－x）sinπx ,可以考虑在点 1 计算sinπx 的等价无穷小因为sinπ= 0 ,故Δy = sinπx ；而dy =πconπΔx =－π（x－1）作等价无穷小因式替换，分母变成二次函数，再用洛必达法则求极限，一定顺利。

学习本是为了用，该出手时就出手。

你不妨直接用洛必达法则求通分后的0/0型未定式极限。

作个对比。

例44 设函数f (x)在x = 0的某邻域内有连续的一阶导数，且f (0)≠0，f ′(0) ≠0，若
a f（h）+
b f（2h）－f（0）在h → 0时是较h高阶的无穷小，试确定数a和b的值。

分析由高阶无穷小的定义得h → 0时lim (a f（h）+ b f（2h）－f（0）) / h = 0
记F(h)= a f（h）+ b f（2h）－f（0），F连续。

于是（用―基本推理‖）由极限式与连续性推出F(0)= lim F(h)=（a + b + 1）f（0）= 0 ，只有 a + b + 1 = 0
同时（F(h)－F(0)) / h = F(h) / h，再由极限式得F ′(0)= 0实际上，F ′(h) = af ′(h) + 2b f ′(2h)，F ′(0) = （a + 2b）f ′(0) = 0这就有第二个方程 a + 2b = 0 ；联解之，a = －2 ，b = 1
*分析二换一个思考方法，可微分定义式给了函数一个新的（微局部意义的）表达式。

试用一下。

设想h充分靠近0，则f（x）= f（0）+ f ′(0)x +ο(x) （中心点是原点，Δx = x －0 = x）
故f（h）= f（0）+ f ′(0)h +ο(h) f（2h）= f（0）+ f ′(0)2h +ο(h)
从而 a f（h）+ b f（2h）－f（0）=（a+b－1）f（0）+（a+2b）f ′(0)h +ο(h)
要它在h → 0时是比h高阶的无穷小，常数项和h项系数必需为0，获得两个方程。

考研数学指导（11）洛尔定理做游戏
洛尔定理既为中值定理做准备，又在函数零点讨论方面具有独立意义。

洛尔定理的证明中，逻辑推理既有典型性，又简明易懂。

因而洛尔定理成为考研数学的一个特色考点。

我国的大学数学教材，通常把―费尔玛引理‖的证明夹在洛尔定理的证明中，使得证明显得冗长。

我先把它分离出来。

（画外音：这可是个难得的好习题。

）
1 费尔玛引理——若可导函数在区间内一点取得最值，则函数在此点的导数为0
分析我们复习一下―构造法‖。

已知或讨论函数在某一点的导数，不仿先写出导数定义算式，观察分析增量商。

这是基本思路。

―老老实实‖地写：设函数在区间内一点x0取得最大值。

写出增量商(f（x）－f（x0）)/（x－x0）
―实实在在‖地想：它有什么特点呢？f（x0）最大，分子函数增量恒负，分母自变量增量左负右正。

这样一来，
增量商在x0左侧恒正，（负负得正）。

其左极限即左导数非负。

（潜台词：极限可能为0）
增量商在x0右侧恒负。

故右极限即右导数非正。

函数可导，左，右极限存在且相等，导数只能为0
（画外音：导数为0，不是直接算出来，而是由逻辑推理判断得到的。

你能否由此体会到一点数学美呢。

）
2 洛尔定理——若函数f（x）在闭区间[a，b] 连续，在（a，b）内可导，且端值相等。

则
必在（a，b）内一点ξ 处导数为0 分析函数在闭区间[a，b] 连续→ 函数必有最大最小值
端值相等→ 只要函数不是常数，端值最多只能占最值之一。

至少有一最值在区间内。

函数在（a，b）内可导→ 内部的最值点处导数为0
请看看，分离证明，前段运用导数定义，符号推理非常典型。

后段逻辑有夹逼味道，十分简明。

运用洛尔定理，关键在于要对各种说法的―端值相等‖有敏感性。

例47 设函数f（x）二阶可导，且函数有3个零点。

试证明二阶导数f "（x）至少有一个零点。

分析―函数有两个零点‖，意味着两个函数值相等！它俩组成一个区间，就满足―端值相等‖条件。

可以应用洛尔定理得到函数的一阶导数的零点。

设函数的3个零点由小到大依次为x1，x2 ，x3
顺次取区间[x1，x2]，[x2，x3]，分别在每个区间上对函数用洛尔定理，得到其一阶导数的两个零点，ξ1，ξ2，且ξ1 ＜ξ2ξ1，ξ2 客观存在。

它们组成区间[ξ1，ξ2] ，且f ′(x) 在此区间上端值相等。

已知二阶导数f "（x）存在，即f ′(x)可导。

对函数f ′(x) 用洛尔定理就得本题结论。

本例同时展示了―逐阶运用洛尔定理‖的思路。

不要怕―点ξ‖，不要去想它有多抽象。

客观存在，为我所用。

只是要留心它的范围。

(画外音：怕啥子嘛，你不是学了哲学，学了辩证法吗。

)
3 “垒宝塔”游戏如果函数n阶可导，且函数有n +1个互不相同的零点。

由此可以得到什么信息？
我们可以象上例那样，先把这n +1个零点由小到大排序编号，x1，x2 ，x3 ，…… ，x n ，x (n+1)
再顺次组成n个区间，[x1，x2]，[x2，x3]，…… ，[x n ，x (n+1)]
分别在每个区间上对函数用洛尔定理，得到其一阶导数的n个零点，且有大小排序
ξ11 ＜ξ12 ＜…… ＜ξ1n
同理，顺次取区间[ξ11，ξ12] ，[ξ12，ξ13] ，…… ，[ξ1（n－1），ξ1n]
共计n－1个区间，分别对一阶导函数f ′(x) 用洛尔定理，得到二阶导数的n－1个零点，由小到大依次记为ξ21，ξ22，……ξ2（n－1）…… ……
再一次次逐阶运用洛尔定理，最后可以得到结论：函数的n阶导数有1个零点。

这是微分学的一个经典题目，结论好似一个倒置的―杨辉三角形‖。

就当是做游戏吧。

一个―垒宝塔‖ 游戏。

4 研考典型大题
考研数学有时在这个考点上出大题，基本模式为
“已知……，证明区间内至少有一点ξ，使得一个含有导数的等式成立。

”
例48 设f（x）在[0，1] 上连续，在（0，1）内可导，且f（1）= 0，试证（0，1）内至少有一点ξ ，使得
f（ξ）+ ξf ′(ξ) = 0分析（综合法）ξ只是一个特殊点。

ξ就是方程f（x）+ xf ′(x) = 0 的根。

方程的根转化为函数g（x）= f（x）+ x f ′(x) 的零点讨论。

（潜台词：我们有―介值定理‖，―洛尔定理‖两件兵器哦。

）由于关系式中有含导数的项，可以猜想，ξ 应当是我们对某个函数运用洛尔定理后，得到的导函数的零点。

即g（x）是某个函数F（x）的导函数？！
再仔细观察g（x）的结构，它多象是一个乘积函数求导公式啊。

（画外音：求导不熟练，肯定反应慢。

）
实际上它的确是积函数F（x）= x f（x）的导函数，且恰好端值相等。

证明时只需从―作辅助函数F（x）= x f（x），…… ‖说起。

啊，典型的欧氏方法，困难的逆向思维。

考研数学指导（12）中值公式不为算
数学公式基本上可以分为两类，一类用于计算。

一类用于描述。

中值定理的公式（有限增量公式）就是描述型的数学公式。

非数学专业的本科学生感到数学难学，一个基本原因在于观念。

以为数学公式都是计算公式，遇上了描述型的公式，他们毫无思想准备。

描述型的数学公式意义深远。

从根本上说，数学科学企图描述世界的任何过程。

描述型的数学公式并不难学。

什么条件下可以用什么样的公式描述，你记住公式，完整地写出来不就行了。

微局部地研究函数，焦点在于讨论增量。

我说微分是个新起点，指的就是，若函数f（x）在点x0可微，则函数实际上就有了一个（微局部的）新的表达式：
f（x）= f (x0) + f ′(x0)(x－x0) +ο(Δx)（尾项，比Δx高阶的无穷小）
历史上，这个表达式称为，―带皮阿诺余项的一阶泰勒公式‖。

之所以是―微局部‖的描述公式，是因为只有在x0的充分小的邻域内，“高阶无穷小”的描述才有实际意义。

不要认为这有多抽象。

这是线性化思维的一个自然结果，一个客观事实。

知道其存在，能对几个简单的基本初等函数按过程写出来，就算掌握了。

比如，在原点邻近，可以有，sinx = x +ο(x)，（请对比sinx ～x）。

由此近一步有
x －sinx = x －（x +ο（x））=ο（x）（潜台词：表达式嘛，那就可以代进去。

）
这就是描述型的思路。

它告诉我们，x趋于0时，x －sinx是比x高阶的无穷小。

在求极限时，我们只可以对（分子或分母）的“无穷小因式”作等价无穷小替换。

但是，只要对运算有利，我们就可以把函数的（带高阶无穷小尾项）表达式代到任何一个位置去。

在运用函数的导数来研究函数的过程中，这个思路沿着两个方向延拓。

（1）对尾项的描述能否更具体？（2）能否提高描述的精度？即能否把函数写成
f（x）= 以x0为中心的n次多项式+ 尾项（比(Δx的n次方)高阶的无穷小）
《高等数学》在方向（1）上，讲了―拉格郎日公式‖；在方向（2）上则讲带有―拉格郎日型尾项的泰勒公式‖。

（后者只征对考数学一，二的考生）。

拉格郎日公式若函数在闭区间[a，b] 上连续，在（a，b）内可导，则（a，b）内至少有一点ξ ，使得
f (b)－f (a) = f ′(ξ)（b－a）教科书上是增量商的形式，我更喜欢用乘积形式。

定理说的是区间，应用时不能太死板。

在满足条件的区间内取任意两点，实际上也组成一个（子）区间。

比如，在区间内任意选定一点x0，对于区间内任意一点x，（潜台词：任给一点，相对不变。

）也可以有
f（x）－f（x0）= f ′(ξ)（x－x0），ξ 在x与x0之间，即f（x）= f（x0）+ f ′(ξ)（x－x0），ξ 在x与x0之间，（画外音：一个x相应有一个ξ，理论上构成一个函数关系。

）
这样一来，中值定理也给了函数一个新的表达式。

带ξ 的项是尾项。

（拉格朗日尾项）。

思考题目时，只要看到有导数条件及函数增量式，你就可以考虑先用拉格朗日公式转换描述方式，迈出第一步。

再考虑如何利用导数条件及ξ 所属范围处理尾项。

例51已知f（x）在[0，1]可导，且导函数单增，试将f′(0)，f′(1),f (1)－f（0）三个数按大小排序。