初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第8讲由常量数学到变量数学

第八讲由常量数学到变量数学数学漫长的发展历史大概历经四个期间：以自然数、分数系统形成的萌芽期；以代数符号系
统形成的常量数学期间；以函数观点产生的变量数学期间；以会合论为标记的现代数学期间．
函数是数学中最重要的观点之一，它是变量数学的标记，“函数”是从量的侧面去描绘客
观世界的运动变化、互相联系，从量的侧面反应了客观世界的动向和它们的互相限制性．
函数的基本知识有：与平面直角坐标系有关的观点、函数观点、函数的表示法、函数图象
观点及画法．
在座标平面内，由点的坐标找点和由点求坐标是“数”与“形”互相变换的最基本形式．点
的坐标是解决函数问题的基础，函数分析式是解决函数问题的重点，因此，求点的坐标、探
求函数分析式是研究函数的两大重要课题．
【例题求解】
【例 1】在平面直角坐标系内，已知点A(2，2)，B(2，-3)，点P在y轴上，且△ APB为直
角三角形，则点P 的个数为．
思路点拨先在直角坐标平面内描出 A 、 B 两点，连接 AB ，因题设中未指明△ APB 的哪个角是直角，故应分别就∠ A 、∠ B、∠ C 为直角来议论，设点 P(0， x)，运用几何知识成立 x 的方程．
注：点的坐标是数与形联合的桥梁，求点的坐标的基本方法有：
(1)利用几何计算求；
(2)经过分析式求；
(3)解由分析式联立的方程组求．
【例 2】如图，向放在水槽底部的烧杯灌水(流量必定 )，注满烧杯后，
持续灌水，直至注满水槽．水槽中水面上涨高度h 与灌水时间t 之间的
函数关系，大概是以下图象中的()
思路点拨向烧杯灌水需要时间，而且水槽中水面上涨高h0 ．
注：实质生活中量与量之间的关系能够形象地经过图象直观地表现出来，如心电图、，股市
行情走势图等，图象中包含着丰富的图象信息，要擅长从图象的形状、地点、发展变化趋向
等有关信息中获取启迪．
【例 3】南方 A 市欲将一批简单变质的水果运往 B 市销售，共有飞机、火车、汽车三种运
输方式，现只可选择此中的一种，这三种运输方式的主要参照数据以下表所示：
运输工具途中速度 (千米／时 )途中花费 (元／千米 )装卸花费 (元 )装卸时间 (小时 )飞机2001610002
火车100420004
汽车50810002
若这批水果在运输(包含装卸)过程中的消耗为200 元 /小时，记 A 、B两市间的距离为x 千米．
求出(1) 假如用 W l、W 2、W 3分别表示使用飞机、火车、汽车运输时的总支出花
费
W l、W 2、W 3与小 x 间的函数关系式．
(包含消耗)，(2) 应采纳哪一种运输方式，才使运输时的总支出花费最小?
思路点拨每种运输工具总支出花费＝途中所需花费(含装卸花费 )+消耗资用；总支出花费
随距离变化而变化，由W l— W 2＝ 0， W 2一 W 3=0，先确立自变量的特定值，经过议论选择
最正确运输方式．
【例 4】已知在菱形ABCD 中，∠ BAD ＝ 60°，把它放在直角坐标系中，使AD 边在 y 轴上，点 C 的坐标为 (2 3 ， 8)．
(1)画出符合题目条件的菱形与直角坐标系；
(2)写出 A、 B 两点的坐标；
(3)设菱形 ABCD 的对角线交点为 P．问：在 y 轴上能否存在一点 F，使得点 P 与点对于菱形ABCD 的某条边所在的直线对称，假如存在，写出点 F 的坐标；假如不存在，请说明原因．
F
思路点拨(1)重点是探究点A 是在y 轴正半轴上、负半轴上仍是坐标原点，只须判断∠COy 与∠CAD 的大小； (2)利用解直角三角形求 A ，B 两点坐标； (3) 设轴上存在点 F(0，y)，则 P 与 F 只可能对于直线 DC 对称．
注：成立函数关系式，实质上都是依据详细的实质问题和一些特别的关系、
纳成立函数的模型．
数据而抽象、归
【例 5】如图，已知在 Rt△ ABC 中，∠ B＝ 90°， BC＝ 4cm， AB ＝ 8cm， D、 E、 F 分别为AB 、 AC 、 BC 边上的中点，若 P 为 AB 边上的一个动点， PQ∥ BC，且交 AC 于点 Q，以 PQ 为一边，在点 A 的右边作正方形 PQMN ，记 PQMN 与矩形 EDBF 的公共部分的面积为
y．
(1)当 AP ＝ 3cm 时，求的值；
(2)设 AP=cm 时，求 y 与 x 的函数关系式；
(3)当 y=2cm2，试确立点P 的地点． (2001 年天津市中考题 )
思路点拨对于 (2) ，因为点P 的地点不一样， y 与 x 之间存在不一
样的
函数关系，故需分类议论；对于(3) ，由相应函数分析式求 x 值．
注：确立几何元素间的函数关系式，第一是借助几何知识与方法把相应线段用自变量表示，
再代入相应的等量关系式，需要注意的是：
(1)当图形运动致使图形之间地点发生变化，需要分类议论；
(2)确立自变量的几何意义，常用到运动变化、考虑极端情况、特别情况等思想方法．
学力训练
1．如图，在直角坐标系中，已知点A(4 ， 0)、 B(4 ， 4) ，∠ OAB ＝ 90°，有直角三角形与Rt△ ABO 全等且以AB 为公共边，请写出这些直角三角形未知极点的坐标．2．在直角坐标系中有两点A(4 ，0)， B(0 ， 2)，假如点C 在 x 轴上 (C 与 A 不重合 )，当点 C
的坐标为时，使得由点B、O、C 构成的三角形与△AOB 相像 (起码找出两个知足
条件的点的坐标)．
3．依据指令 [S，A](S ≥ 0， 0° <A<180 ° )，机器人在平面上能达成以下动作：先原地逆时针
旋转角度 A ，再朝其面对的方向沿直线行走距离S．现机器人在直角坐标系的坐标原点，且
面对 x 轴的正方向， (1)若给机器人下了一个指令[4， 60° ]，则机器人应挪动到点；
(2) 请你给机器人下一个指令，使其挪动到点 ( 一 5， 5)．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 x 轴的夹角为60°，且点 A 的坐标为 (一 2，0)，点 B 在 x 轴上方，设 AB ＝a，那么点 B 的横坐标为 ()
A ．2a
B ．2
a
C．2
a
2
a 22
D ．
2
2
5．一天，小军和爸爸去爬山，已知山脚到山顶的行程为300 米，小军先走了一段行程，爸爸才开始出发．图中两条线段分别表示小军和爸爸走开山脚爬山的行程(米) 与爬山所用的时
间( 分钟的关系 )(从爸爸开始爬山时计时)，依据图象，以下说法错误的选项是
()
A ．爸爸爬山时，小军已走了50 米
B ．爸爸走了 5 分钟，小军仍在爸爸的前方
C．小军比爸爸晚到山顶
D ．爸爸前 10 分钟爬山的速度比小军慢，10 分钟以后爬山的速度比小军快
6．若函数 y1的自变量 x 的取值范围为一确实数，则m 的取值范围是() 2x m
x2
A ． m<l
B ． m=1C． m>l D． m≤ 1
7．如图，在直角坐标系中，已知点A(4 ，0)、点 B(0 ，3)，若有一个直角三角形与Rt△ABO 全等，且它们有一条公共边，请写出这个直角三角形未知极点的坐标(不用写出计算过程 )．8．如图，用相同规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请察看以下图形并解答有关问
题：
（ 1）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y ，请写出 y 与n ( n表示第n个图形 )的函数关系式；
(2) 按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506 块瓷砖，求此时n 的值；
(3) 若黑瓷砖每块 4 元，白瓷砖每块3元，在问题(2)中，共需花多少元钱购置瓷砖?
(4) 能否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等情况?请经过计算说明为何?
9．如图，在平面直角坐标系中有一个正方形ABCD ，它的 4 个极点为A(10 ，0)，B (0 ，10)，C(一 10， 0)，D(0 ，一 10)，则该正方形内及界限上共有个整点(即纵横坐标都是整数的点 )．
10．如图，已知边长为l 的正方形OABC 在直角坐标系中， A 、 B 两点在第一象限内，OA 与 x 轴的夹角为30°，那么点 B 的坐标是．
11．如图，一个粒子在第一象限运动，在第一分钟内它从原点运动到(1， 0)，
尔后它接着按图所示在与x 轴、y轴平行的方向上往返运动，且每分钟挪动1
个单位长度，那么在1989 分钟后这个粒子所处地点为．
12．在直角坐标系中，已知A(1 ， 1)，在x轴上确立点P，使△ AOP 为等腰三角形，则切合
条件的点 P共有()
A．1个B．2个C． 3个D．4个
13．已知点 P 的坐标是 ( 2 a l，2 b )，这里 a 、 b 是有理数，PA、PB分别是点P 到x轴
和 y 轴的垂线段，且矩形 OAPB 的面积为2，则 P 点可能出现的象限有（）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
14．甲、乙二人同时从 A 地出发，沿同一条道路去 B 地，途中都使用两种不一样的速度V l与V 2(Vi<V2) ，甲用一半的行程使用速度V l、另一半的行程使用速度V 2；对于甲乙二人从A
地抵达 B 地的行程与时间的函数图象及关系，有图中 4 个不一样的图示剖
析．此中横轴 t表示
时间，纵轴 s 表示行程，此中正确的图示剖析为()
A ．图 (1)
B ．图 (1) 或图 (2)C．图 (3)D．图 (4)
15．依法纳税是每个公民应尽的义务．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民每个月工
资、薪金收入不超出800 元，不需交税；超出 800 元的部分为全月应纳税所得额，都应交税，且依据超出部分的多少按不一样的税率交税，详尽的税率以下表：
级别全月应纳税所得额税率 (％)
1不超出 500 元部分5
2超出 500 元至 2000 元部分10
3超出 2000 元至 5000 元部分15
(1) 某公民 2002 年 10月的总收人为 1350 元，问他应交税款多少元?
(2)设表示每个月收入 (单位：元 )， y 表示应交税款 (单位：元 )，当 1300<x ≤2800 时，请写出 y 对于 x 的函数关系式；
(3) 某公司高级职员2002 年 11 月应交税款55 元，问该月他的总收入是多少元?
16．如图，在△ ABC 中，∠ C＝ 90°， AC ＝ 3，BC ＝4，点 D 是 AB 上随意一点 (A 、B 两点除外 )，过 D 作 AB 垂线与△ ABC 的直角边订交于 E，设 AD= x，△ ADE 的面积为 y ，当点 D 在 AB 上挪动时，求 y 对于x之间的函数关系式．
17．现计划把甲种货物1240 吨和乙种货物880 吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有
A 、
B 两种不一样规格的货车厢共40 节，使用 A 型车厢每节花费6000 元，使用月型车厢每节
花费为 8000 元．
(1)设运送这批货物的总花费为 y 万元，这列货车挂 A 型车厢x节，试写出 y 与x之间的函数关系式；
(2)假如每节 A 型车厢最多可装甲种货物 35 吨和乙种货物 15 吨，每节月型 B 车厢最多可
装甲种货物25 吨和乙种货物35 吨，装货时按此要求安排
哪几种安排车厢的方案?
A 、
B 两种车厢的节数，那么共有
(3)在上述方案中，哪个方案运费最高?最少运费为多少元 ?
18．如图，梯形O ABC 中， O 为直角坐标系的原点，A 、 B 、C 的坐标分别为 (14， 0)， (14，
3)， (4，3)．点 P、 Q 同时从原点出发，分别作匀速运动，此中点P 沿 OA 向终点 A 运动，速度为每秒 1 个单位；点Q 沿 OC、CB 向终点 B 运动，当这两点中有一点抵达自己的终点时，另一点也停止运动．
(1) 设从出倡始运动了上或在 CB 上时的坐标x 秒，假如点Q 的速度为每秒
(用含x的代数式表示)；
2 个单位，试分别写出这时点Q 在OC
(2) 设从出倡始运动了x 秒，假如点P 与点 Q 所经过的行程之和恰巧为梯形OABC 的周长的一半，①试用含x 的代数式表示这时点Q 所经过的行程和它的速度；②试问：这时直线PQ 能否可能同时把梯形OABC 的面积也分红相等的两部分?若有可能，求出相应的x 的值和P、Q 的坐标；如不行能，请说明原因．
参照答案。