2021年高二上学期第二次学情调研测试 数学 含答案

2021年高二上学期第二次学情调研测试数学含答案
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．）
1．在中，，则；
2．已知等差数列的前项和为，若，，则公差等于；
3．在中，若，则；
4．不等式的解集是；
5．已知数列的前项和为，则通项公式；
6．在中，内角的对边分别为，若，，则边的长为；
7．已知数列成等差数列，成等比数列，则的值为；
8．若数列满足，则；
9．已知正数满足，则的最小值是；
10．设为等差数列的前项和，若,公差,，则的值等于；
11．等比数列中，，则；
12．已知变量满足则的最大值为；
13．在中，内角所对的边分别为，给出下列结论：
①若，则；
②若，则为等边三角形；
③必存在，使成立；
④若，则必有两解．
其中，结论正确的编号为；
14．已知关于的一元二次不等式的解集为，若，则的取值范围是。

二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域
．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本题满分14分）
在中，内角的对边分别为，已知，，
（1）求角；
（2）求的值。

16．（本题满分14分）
已知函数
（1）若，，解关于的不等式；
（2）若关于的不等式的解集为，求实数的值。

17．（本题满分14分）
若等比数列的前n项和．
（1）求实数的值；
（2）求数列的前n项和．
18．（本题满分16分）
在中，内角的对边分别为，且成等差数列。

（1）若，，求的面积；
（2）若成等比数列，试判断的形状。

19．（本题满分16分）
如图，某海域内的岛屿上有一直立信号塔，设延长线与海平面交于点O ．测量船在点O 的正东方向点处，测得塔顶的仰角为，然后测量船沿方向航行至处，当米时，测得塔顶的仰角为．
（1）求信号塔顶到海平面的距离；
（2）已知米，测量船在沿方向航行的过程中，
设，则当为何值时，使得在点处观测信号塔的视角最大．
20．（本题满分16分）
已知数列的前项和（为常数），且对于任意的，构成等比数列。

（1）求数列的通项公式；
B A O D C
（2）设数列的前项和为，求使不等式成立的的最大值。

参考答案
1． 2．2 3． 4． 5． 6． 7．
8． 9．18 10．4 11．-6 12．12 13．①④ 14．
15．
16．略
17．解⑴； （2）．
18．解：因为A ，B ，C 成等差数列，所以。

又A ＋B ＋C ＝，所以。

（1）解法一：因为，，所以 由正弦定理得，即，
即，得。

因为，所以，即C 为锐角，所以，从而。

所以。

解法二：由余弦定理得， 即，得。

所以32232421sin 21=⨯⨯⨯==B ac S ABC △。

（2）因为，，成等比数列，所以。

由正弦定理得； 由余弦定理得。

所以，即，即。

又因为，所以△ABC 为等边三角形。

19．⑴由题意知，在中，，
………2分
所以，得， ………5分
在直角中，，所以（米）； ………7分
⑵设，由⑴知，米，
则， ………9分
210048tan tan 52tan tan()100481tan tan 4800
1x x x ADB x x x
αβαβαβ--∠=-===+⋅++⋅， 11分 所以52133tan 480048002ADB x x x x
∠=≤=+⋅， ……13分 当且仅当即亦即时，
取得最大值， ………14分
此时点处观测信号塔的视角最大． ………15分
20．
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